正規ウィッシュハート分布

ノーマル・ウィシャート
表記	${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )}$
パラメータ	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}\in \mathbb {R} ^{D}\,}$位置（実数のベクトル）（実数）スケール行列（正定義）（実数） ${\displaystyle \lambda >0\,}$ ${\displaystyle \mathbf {W} \in \mathbb {R} ^{D\times D}}$ ${\displaystyle \nu >D-1\,}$
サポート	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{D};{\boldsymbol {\Lambda }}\in \mathbb {R} ^{D\times D}}$共分散行列（正定義）
PDF	${\displaystyle f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})\ {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )}$

確率論と統計学において、正規ウィシャート分布（またはガウスウィシャート分布）は、多変量4パラメータ連続確率分布族の一種である。これは、平均と精度行列（共分散行列の逆行列）が未知の多変量正規分布の共役事前分布である。 ^{[ 1 ]}

意味

仮定する

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Lambda }}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})}$

は平均と共分散行列を持つ多変量正規分布に従う。ここで ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$ ${\displaystyle (\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu \sim {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )}$

はウィシャート分布に従う。そして、 正規ウィシャート分布に従う。 ${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu ).}$

キャラクター設定

確率密度関数

${\displaystyle f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})\ {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )}$

プロパティ

スケーリング

周辺分布

構築により、上の周辺分布はウィシャート分布であり、上の条件付き分布は多変量正規分布である。上の周辺分布は多変量t分布である。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$

パラメータの事後分布

観測後、パラメータの事後分布は ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{n},\lambda _{n},\mathbf {W} _{n},\nu _{n}),}$

どこ

${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda +n,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{n}={\frac {\lambda {\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\boldsymbol {\bar {x}}}}{\lambda +n}},}$

${\displaystyle \nu _{n}=\nu +n,}$

${\displaystyle \mathbf {W} _{n}^{-1}=\mathbf {W} ^{-1}+\sum _{i=1}^{n}({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})^{T}+{\frac {n\lambda }{n+\lambda }}({\boldsymbol {\bar {x}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})({\boldsymbol {\bar {x}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})^{T}.}$^{[ 2 ]}

正規ウィッシュハート確率変数の生成

ランダム変数の生成は簡単です。

1. パラメータと​​​ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \nu }$
2. 平均と分散を持つ多変量正規分布からのサンプル ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$ ${\displaystyle (\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1}}$

関連ディストリビューション

• 正規逆ウィシャート分布は、本質的には、精度ではなく分散によってパラメータ化された同じ分布です。
• 正規ガンマ分布は1 次元版に相当します。
• 多変量正規分布とウィシャート分布は、この分布を構成する成分分布です。

注記

1. ビショップ、クリストファー・M. (2006).パターン認識と機械学習.シュプリンガー・サイエンス+ビジネスメディア. 690ページ.
2. クロス検証済み、 https://stats.stackexchange.com/q/324925

参考文献

• ビショップ、クリストファー・M. (2006).パターン認識と機械学習.シュプリンガー・サイエンス+ビジネスメディア.

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