通常の演算子

(on a complex Hilbert space) continuous linear operator

数学、特に関数解析において、複素ヒルベルト空間上の正規作用素は、そのエルミート随伴作用素と可換な連続線型作用素である。つまり、次のようになる。^[1] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N\colon H\rightarrow H}$ ${\displaystyle N^{\ast }}$ ${\displaystyle N^{\ast }N=NN^{\ast }}$

正規作用素はスペクトル定理が成り立つため重要である。正規作用素のクラスはよく理解されている。正規作用素の例としては、

• ユニタリ演算子: ${\displaystyle U^{\ast }=U^{-1}}$
• エルミート演算子（すなわち自己随伴演算子）: ${\displaystyle N^{\ast }=N}$
• 歪エルミート演算子: ${\displaystyle N^{\ast }=-N}$
• 正の演算子:いくつかの場合(したがってNは自己随伴です)。 ${\displaystyle N=M^{\ast }M}$ ${\displaystyle M}$

正規行列は、ヒルベルト空間上の正規演算子の行列表現です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

プロパティ

正規作用素はスペクトル定理によって特徴付けられる。コンパクト正規作用素（特に有限次元 内積空間上の正規作用素）はユニタリ対角化可能である。^[2]

を有界演算子とします。以下は同値です。 ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle T}$正常です。
• ${\displaystyle T^{\ast }}$正常です。
• ${\displaystyle \|Tx\|=\|T^{\ast }x\|}$すべてに( を使用)。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\langle T^{\ast }Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{\ast }x\|^{2}}$
• の自己随伴部分と反自己随伴部分は可換である。つまり、が と書かれ、そして[^{注 1]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=T_{1}+iT_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}}$ ${\displaystyle i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},}$ ${\displaystyle T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.}$

が有界正規作用素である場合、と は同じ核と同じ値域を持つ。したがって、 の値域が稠密であるためには、が単射となることが必要条件となる。^{[説明が必要]}言い換えれば、正規作用素の核はその値域の直交補である。したがって、 の核は任意のに対して の核と一致する。したがって、正規作用素のすべての一般化固有値は真である。が正規作用素の固有値である場合、かつその複素共役が の固有値である場合に限る。異なる固有値に対応する正規作用素の固有ベクトルは直交し、正規作用素はその固有空間のそれぞれの直交補を安定化する。^{[3]これは、通常のスペクトル定理を意味する。つまり、有限次元空間上のすべての正規作用素は、ユニタリ作用素によって対角化可能である。また、}射影値測度で表されるスペクトル定理の無限次元バージョンも存在する。正規作用素の残差スペクトルは空である。^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{*}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{k}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$ ${\displaystyle N^{*}.}$

交換可能な正規演算子の積もまた正規である。これは自明ではないが、フーグルデの定理から直接導かれる。フーグルデの定理は、次のように述べている（パトナムによって一般化された形式）。

およびが正規演算子であり、 が有界線形演算子である場合、 となります。 ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle N_{1}A=AN_{2},}$ ${\displaystyle N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}}$

正規演算子の演算子ノルムは、その数値半径^{[説明が必要]}とスペクトル半径に等しくなります。

正規演算子はそのAluthge 変換と一致します。

有限次元の場合の特性

有限次元実数^{[説明が必要]}または複素ヒルベルト空間（内積空間）H上の正規作用素Tが部分空間Vを安定化する場合、その直交補空間V⊥^{も安定化する。（この記述は、} Tが自己随伴である場合は自明である。）

証明。P _{V を}Vへの直交射影とします。すると、 V ^⊥への直交射影は1 _H − P _Vとなります。TがVを安定化するという事実は、 ( 1 _H − P _V ) TP _V = 0、またはTP _V = P _V TP _Vと表すことができます。目標は、P _V T ( 1 _H − P _V ) = 0 であることを示すことです。

X = P _V T ( 1 _H − P _V )とおく。( A , B ) ↦ tr( AB* ) はHの準同型空間上の内積なので、tr( XX* ) = 0を示せば十分である。まず、

${\displaystyle {\begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{aligned}}}$

ここで、トレースの特性と直交投影の特性を使用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{using the hypothesis that }}T{\text{ stabilizes }}V\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{aligned}}}$

無限次元ヒルベルト空間におけるコンパクト正規作用素についても同様の議論が成り立ち、そこではtr( AB* )を適切に解釈すれば定義されるヒルベルト・シュミット内積が用いられる。 ^[4]しかし、有界正規作用素の場合、安定部分空間の直交補空間は安定ではない可能性がある。^[5]したがって、ヒルベルト空間は一般に正規作用素の固有ベクトルによって張られることはない。例えば、に作用する両側シフト（または両側シフト）を考えてみよう。これは正規であるが、固有値を持たない。 ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

ハーディ空間に作用するシフトの不変部分空間は、バーリングの定理によって特徴付けられます。

代数の正規元

正規演算子の概念は、反転代数に一般化されます。

反転代数の元が正規元であるとは、次の場合を言います。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\ast }x=xx^{\ast }}$

自己随伴要素とユニタリ要素は正常です。

最も重要なケースは、そのような代数がC*-代数である場合です。

無制限正規演算子

正規作用素の定義は、ある種の非有界作用素に自然に一般化される。明示的に、閉作用素Nが正規作用素であるとは、

${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}.}$

ここで、随伴N*が存在するためには、 Nの定義域が稠密であることが必要であり、等式にはN*Nの定義域がNN*の定義域に等しいという主張が含まれますが、これは一般には必ずしも当てはまりません。

同値な正規演算子とは、^[6]

${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad }$

と

${\displaystyle {\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).}$

スペクトル定理は非有界（正規）作用素に対しても成立する。証明は有界（正規）作用素への還元によって成立する。^{[7] [8]}

一般化

正規作用素の理論の成功は、交換性要件を弱めることで一般化を試みるいくつかの試みにつながった。正規作用素を含む作用素のクラスは以下の通りである（包含順）。

• 超正規化演算子
• ノーマルロイド
• 超常現象オペレーター
• 準正規演算子
• 非正規演算子

参照

• 連続線形作用素 – 位相ベクトル空間間の関数
• 縮約（作用素論）  - 部分単位ノルムを持つ有界作用素

注記

1. 対照的に、量子場理論などの重要なクラスの生成消滅作用素については、それらは交換しない。

参考文献

1. ホフマン、ケネス;クンツェ、レイ(1971) 『線形代数（第2版）』、イングルウッドクリフス、ニュージャージー州: プレンティス・ホール社、p. 312、MR  0276251
2. ホフマン&クンツェ (1971)、p. 317.
3. Naylor, Arch W.; Sell George R. (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Sciences. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3. 2021年6月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年6月26日閲覧。
4. 安藤剛 (1963). 「コンパクト正規作用素の不変部分空間に関するノート」. Archiv der Mathematik . 14 : 337–340 . doi :10.1007/BF01234964. S2CID  124945750.
5. Garrett, Paul (2005). 「ヒルベルト空間上の演算子」(PDF) . 2011年9月18日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2011年7月1日閲覧。
6. ワイドマン、ヒルバートロイメンの Lineare Operatoren、第 4 章、セクション 3
7. Alexander Frei, Spectral Measures, Mathematics Stack Exchange, Existence Archived 2021-06-26 at the Wayback Machine , Uniqueness Archived 2021-06-26 at the Wayback Machine
8. ジョン・B・コンウェイ『関数解析講座』第2版、第10章、第4節

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