正規化周波数（信号処理）

Frequency divided by a characteristic frequency

デジタル信号処理（DSP）において、正規化周波数とは、システムに関連付けられた可変周波数（ ）と定数周波数（サンプリングレート、など）の比です。一部のソフトウェアアプリケーションでは、正規化された入力を必要とし、正規化された出力を生成します。これらの出力は、必要に応じて物理単位に再スケーリングできます。数学的な導出は通常、幅広いアプリケーションに関連する正規化された単位で行われます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{s}}$

正規化の例

特性周波数の典型的な選択肢は、連続信号からデジタル信号を生成する際に用いられるサンプリングレート（ ）である。正規化された量 は、元の信号が時間または距離の関数であるかどうかにかかわらず、サンプルあたりのサイクル数を単位とする。例えば、がHz（1秒あたりのサイクル数）で表される場合、 は1秒あたりのサンプル数で表される。^[1] ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle f'={\tfrac {f}{f_{s}}},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{s}}$

実数値係数を持つフィルタを設計する一部のプログラム（ MATLABツールボックスなど）では、周波数基準としてナイキスト周波数が優先されます。これにより、対象となる周波数を表す数値範囲が サイクル/サンプルから半サイクル/サンプルに変更されます。したがって、正規化された結果を物理単位に変換する際には、正規化された周波数単位が重要になります。 ${\displaystyle (f_{s}/2)}$ ${\displaystyle \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

頻度分布のサンプルを「ビン」（整数値）単位でプロットする例。スケール係数0.7812は、ビン番号を対応する物理単位（ヘルツ）に変換します。

一般的な方法としては、サンプリングされたデータの周波数スペクトルを、任意の整数の周波数間隔でサンプリングする方法があります（§ DTFTのサンプリングを参照）。サンプル（周波数ビンと呼ばれることもある）には、周波数正規化^{[2] : p.56 eq.(16)  [3]}による連続番号が付けられます。 正規化されたナイキスト周波数は、単位⁠ ${\displaystyle {\tfrac {f_{s}}{N}},}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\tfrac {f_{s}}{N}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {N}{2}}}$1/北⁠^番目の サイクル/サンプル。

角周波数は で表され、単位はラジアン/秒で、同様に正規化できます。 がサンプリングレートを基準として正規化されている場合、正規化ナイキスト角周波数はπ ラジアン/サンプルです。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega '={\tfrac {\omega }{f_{s}}},}$

次の表は、 kHz、サンプル/秒（多くの場合44.1 kHzと表記されます）、および 4 つの正規化規則の正規化周波数の例を示しています。 ${\displaystyle f=1}$ ${\displaystyle f_{s}=44100}$

量	数値範囲	計算	逆行する
${\displaystyle f'={\tfrac {f}{f_{s}}}}$	[ 0, ⁠1/2⁠ ] サイクル/サンプル	1000 / 44100 = 0.02268	${\displaystyle f=f'\cdot f_{s}}$
${\displaystyle f'={\tfrac {f}{f_{s}/2}}}$	[0, 1] 半サイクル/サンプル	1000 / 22050 = 0.04535	${\displaystyle f=f'\cdot {\tfrac {f_{s}}{2}}}$
${\displaystyle f'={\tfrac {f}{f_{s}/N}}}$	[ 0, ⁠北/2⁠ ] ビン	1000 × N / 44100 = 0.02268 N	${\displaystyle f=f'\cdot {\tfrac {f_{s}}{N}}}$
${\displaystyle \omega '={\tfrac {\omega }{f_{s}}}}$	[0,  π ] ラジアン/サンプル	1000 × 2π / 44100 = 0.14250	${\displaystyle \omega =\omega '\cdot f_{s}}$

参照

• プロトタイプフィルター

参考文献

1. カールソン、ゴードン・E. (1992).信号と線形システム解析. ボストン、マサチューセッツ州: ©Houghton Mifflin Co. pp. 469, 490. ISBN 8170232384。
2. Harris, Fredric J. (1978年1月). 「離散フーリエ変換を用いた調和解析におけるWindowsの使用について」(PDF) . Proceedings of the IEEE . 66 (1): 51– 83. Bibcode :1978IEEEP..66...51H. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi :10.1109/PROC.1978.10837. S2CID  426548. 
3. Taboga, Marco (2021). 「離散フーリエ変換 - 周波数」, 行列代数の講義. https://www.statlect.com/matrix-algebra/discrete-Fourier-transform-frequencies.

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