確率と統計における表記法

確率論と統計には、標準的な数学表記法と数学記号に加えて、一般的に使用される規則がいくつかあります。

確率論

• 確率変数は通常、や のように大文字のローマ字で表記されます。この文脈における確率変数は、連続変数の場合は「被験者の身長」、離散変数の場合は「学校の駐車場にある車の台数」、カテゴリ変数の場合は「次の自転車の色」のように、言葉で表現されるものを指します。確率変数は単一の数値やカテゴリを表すものではありません。例えば、 と表記する場合、これは確率変数（身長、車の台数、自転車の色など）の特定の実現値Xが、特定の値またはカテゴリ（1.735 m、52、紫など） に等しい確率を表します。とを同じ意味に混同しないことが重要です。は概念であり、は値です。これらは明らかに関連していますが、意味が同一ではありません。 ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\displaystyle P(X=x)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle x}$
• 確率変数の特定の実現は、対応する小文字で表記されます。例えば、は確率変数 に対応する 標本です。累積確率は、確率変数とその実現を区別するために正式に表記されます。^[1] ${\textstyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle P(X\leq x)}$
• 確率は、他の関数と区別するために、また「Pは確率である」と定義しなくて済むようにPを測定するために と表記されることもあります。 は の略で、は事象空間、は の関数である（つまり に依存する）ランダム変数、 はによって指定されたドメイン内の関心のある結果（たとえば、特定の高さや車の特定の色）です。表記法が代わりに使用されます。 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)}$ ${\displaystyle P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\})}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Pr(A)}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)}$または、事象Aと事象Bの両方が発生する確率を示します。確率変数XとYの結合確率分布はと表され、結合確率質量関数または確率密度関数は 、結合累積分布関数は と表されます。 ${\displaystyle \mathbb {P} [B\cap A]}$ ${\displaystyle P(X,Y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle F(x,y)}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)}$または、イベントAまたはイベントBのいずれかが発生する確率を示します(この場合の「または」は、いずれか一方または両方を意味します)。 ${\displaystyle \mathbb {P} [B\cup A]}$
• σ-代数は通常、大文字のカリグラフィで書かれる（例えば、確率Pを定義する集合の集合）。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• 確率密度関数(pdf) と確率質量関数は、 、 または のように小文字で表されます。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$
• 累積分布関数(cdf) は、 、 、 のように大文字で表されます。 ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle F_{X}(x)}$
• 生存関数または補完累積分布関数は、累積分布関数の記号の上にバーを付けることによって表されることが多い。または、 ${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$ ${\displaystyle S(x)}$
• 特に、標準正規分布のpdfは、そのcdfは で表されます。 ${\textstyle \varphi (z)}$ ${\textstyle \Phi (z)}$
• 一般的な演算子:

• ${\textstyle \mathrm {E} [X]}$: Xの期待値
• ${\textstyle \operatorname {var} [X]}$: Xの分散
• ${\textstyle \operatorname {cov} [X,Y]}$: XとYの共分散

• XはYとは独立であるとよく書かれるし、Wが与えられた場合、XはYとは独立であるとよく書かれる。 ${\displaystyle X\perp Y}$ ${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\,|\,W}$または

${\displaystyle X\perp Y\,|\,W}$

• ${\displaystyle \textstyle P(A\mid B)}$条件付き確率は、与えられた^[2]の確率である。 ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

統計

• ギリシャ文字（例：θ、β）は、未知のパラメータ（母数パラメータ）を表すためによく使用されます。^[3]
• 人口または分布 パラメータによく使用される記号を以下に示します。
  • 母平均、 ${\textstyle \mu }$
  • 母分散、 ${\textstyle \sigma ^{2}}$
  • 母集団標準偏差、 ${\textstyle \sigma }$
  • 人口相関 、 ${\textstyle \rho }$
  • 人口キュムラント 、 ${\textstyle \kappa _{r}}$
• チルダ (~) は「確率分布を持つ」ことを示します。
• 真のパラメータの上にハット記号またはキャレット（サーカムフレックスとも呼ばれる）を置くと、そのパラメータの推定値であることを示します。たとえば、は の推定値です。 ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ ${\displaystyle \theta }$
• 一連の値の算術平均は、多くの場合、記号の上に「オーバーバー」を配置して示されます ( 「バー」と発音)。 ${\textstyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\textstyle x}$
• サンプル統計でよく使用される記号をいくつか以下に示します。
  • 標本平均 、 ${\displaystyle {\bar {x}}}$
  • 標本分散 、 ${\textstyle s^{2}}$
  • 標本標準偏差 、 ${\textstyle s}$
  • 標本相関係数 、 ${\textstyle r}$
  • サンプルキュムラント。 ${\textstyle k_{r}}$
• ${\displaystyle x_{(k)}}$は順序統計量として使用され、ここではサンプルの最小値、は合計サンプルサイズ からのサンプルの最大値です。^[4] ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle x_{(1)}}$ ${\displaystyle x_{(n)}}$ ${\textstyle n}$

臨界値

確率分布のα水準上側臨界値とは、確率 で上回る値、つまりとなる値であり、ここで は累積分布関数である。統計学でよく用いられる分布の上側臨界値には、標準的な表記法がある。 ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle x_{\alpha }}$ ${\textstyle F(x_{\alpha })=1-\alpha }$ ${\textstyle F}$

• ${\textstyle z_{\alpha }}$または標準正規分布の場合 ${\textstyle z(\alpha )}$
• ${\textstyle t_{\alpha ,\nu }}$または自由度t分布の場合 ${\textstyle t(\alpha ,\nu )}$ ${\textstyle \nu }$
• ${\displaystyle {\chi _{\alpha ,\nu }}^{2}}$または自由度を持つカイ二乗分布の場合 ${\displaystyle {\chi }^{2}(\alpha ,\nu )}$ ${\textstyle \nu }$
• ${\displaystyle F_{\alpha ,\nu _{1},\nu _{2}}}$または自由度が と であるF分布の場合 ${\textstyle F(\alpha ,\nu _{1},\nu _{2})}$ ${\textstyle \nu _{1}}$ ${\textstyle \nu _{2}}$

線形代数

• 行列は通常、太字の大文字で表されます (例 ) 。 ${\textstyle {\mathbf {A}}}$
• 列ベクトルは通常、太字の小文字で表されます (例 ) 。 ${\textstyle {\mathbf {x}}}$
• 転置演算子は、上付き文字 T (例) またはプライム記号(例) で表されます。 ${\textstyle {\mathbf {A}}^{\mathrm {T} }}$ ${\textstyle {\mathbf {A}}'}$
• 行ベクトルは列ベクトルの転置として表されます。たとえば、または。 ${\textstyle {\mathbf {x}}^{\mathrm {T} }}$ ${\textstyle {\mathbf {x}}'}$

略語

一般的な略語は次のとおりです。

• ほとんどどこでも
• ほぼ 確実に
• CDF 累積分布関数
• CMF 累積質量関数
• df 自由度（また） ${\displaystyle \nu }$
• iid 独立かつ同一に分布する
• pdf 確率密度関数
• pmf 確率質量関数
• rv ランダム変数
• 確率でwp ;確率1でwp1
• io無限に頻繁に、すなわち ${\displaystyle \{A_{n}{\text{ i.o.}}\}=\bigcap _{N}\bigcup _{n\geq N}A_{n}}$
• 最終的に、すなわち ${\displaystyle \{A_{n}{\text{ ult.}}\}=\bigcup _{N}\bigcap _{n\geq N}A_{n}}$

参照

• 確率と統計の用語集
• 組み合わせと順列
• 数学表記法の歴史

参考文献

1. 「累積分布関数から確率を計算する」2021年8月9日. 2024年2月26日閲覧。
2. 「確率と確率過程」、応用確率過程、チャップマン・アンド・ホール/CRC、pp.  9– 36、2013年7月22日、doi :10.1201/b15257-3、ISBN 978-0-429-16812-3、 2023年12月8日取得
3. 「ギリシャ語アルファベットの文字とその統計的用途の一部」les.appstate.edu/ . 1999年2月13日. 2024年2月26日閲覧。
4. 「注文統計」（PDF）colorado.edu . 2024年2月26日閲覧。

• ハルペリン、マックス；ハートレー、HO；ホエル、PG（1965）「統計記号と表記に関する推奨標準．COPSS記号と表記委員会」アメリカ統計学者、19（3）：12-14、doi：10.2307/2681417、JSTOR  2681417

外部リンク

• 確率と統計における記号の最も初期の使用。Jeff Miller によって管理されています。

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