無効定理

零定理は、分割行列の逆行列に関する数学定理であり、行列内のブロックの零定理は、その逆行列の相補ブロックの零定理に等しいことを述べています。ここで、零定理は核の次元です。この定理は、抽象的な設定ではGustafson (1984) によって証明され、行列についてはFiedler & Markham (1986) によって証明されました。

行列とその逆行列を 4 つの部分行列に分割します。

{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}.

右側のパーティションは、左側のパーティションの転置である必要があります。つまり、Aがm行n列のブロックである場合、 E はn行m列のブロックである必要があります。

無効定理の記述は、右側のブロックの無効性が左側のブロックの無効性と等しいというものである (Strang & Nguyen 2004)。

{\begin{aligned}\operatorname {nullity} \,A&=\operatorname {nullity} \,H,\\\operatorname {nullity} \,B&=\operatorname {nullity} \,F,\\\operatorname {nullity} \,C&=\operatorname {nullity} \,G,\\\operatorname {nullity} \,D&=\operatorname {nullity} \,E.\end{aligned}}

より一般的には、行のインデックスが{ i ₁ , i ₂ , …, i _m }、列のインデックスが{ j ₁ , j ₂ , …, j _n }で構成される部分行列の場合、相補部分行列は行のインデックスが{1, 2, …, N } \ { j ₁ , j ₂ , …, j _n }、列のインデックスが{1, 2, …, N } \ { i ₁ , i ₂ , …, i _m }で構成される。ここで、Nは行列全体の大きさである。零定理は、任意の部分行列の零性は、その逆行列の相補部分行列の零性と等しいことを述べている。

参考文献

グスタフソン、ウィリアム H. (1984)、「行列逆行列に関するノート」、線形代数とその応用、57 : 71–73、doi : 10.1016/0024-3795(84)90177-0、ISSN 0024-3795。
フィードラー、ミロスラフ; マーカム、トーマス・L. (1986)、「逆行列の特定の要素が指定された場合の行列完成」、線形代数とその応用、74 ( 1– 3): 225– 237、doi : 10.1016/0024-3795(86)90125-4、ISSN 0024-3795。
Strang, Gilbert ; Nguyen, Tri (2004)、「部分行列のランクの相互作用」（PDF）、SIAM Review、46 (4): 637– 646、Bibcode :2004SIAMR..46..637S、doi :10.1137/S0036144503434381、hdl : 1721.1/3885、ISSN 1095-7200。