ナイキスト安定基準

制御理論と安定性理論において、ナイキスト安定条件またはストレッカー・ナイキスト安定条件は、1930年にシーメンスの^{ドイツ人電気技師フェリックス・ストレッカー} [de]と1932年にベル電話研究所のスウェーデン^系アメリカ人電気技師ハリー・ナイキスト^[4]^によって独立に発見され、線形動的システムの安定性を決定するグラフィカルな手法である。

この手法は開ループシステムのナイキスト線図のみを扱うため、閉ループシステムまたは開ループシステムの極と零点を明示的に計算することなく適用できます（ただし、右半平面の各タイプの特異点の数は既知である必要があります）。その結果、遅延を伴うシステムなど、非有理関数で定義されるシステムにも適用できます。ボード線図とは異なり、右半平面の特異点を持つ伝達関数を扱うことができます。さらに、航空機の制御システムなど、複数の入力と複数の出力を持つより複雑なシステムにも自然に一般化できます。

ナイキスト安定判定基準は、電子工学や制御システム工学をはじめ、フィードバックを持つシステムの設計・解析において広く用いられています。ナイキストは最も一般的な安定性テストの一つですが、依然として線形時不変（LTI）システムに限定されています。しかしながら、円基準や非線形作用素のスケール相対グラフなど、ナイキスト基準（およびプロット）を非線形システムに一般化したものも存在します。^{[5]さらに、}リアプノフ法などの他の安定判定基準も非線形システムに適用できます。

ナイキスト法はグラフィカルな手法ですが、システムが安定または不安定である理由や、不安定なシステムを安定させる方法に関して、直感的な説明は限定的です。ボード線図などの手法は、汎用性は低いものの、より有用な設計ツールとなる場合があります。

ナイキスト線図

ナイキスト線図は、自動制御および信号処理で使用される周波数応答のパラメトリックプロットです。ナイキスト線図の最も一般的な用途は、フィードバックを備えたシステムの安定性を評価することです。直交座標では、伝達関数の実部がX軸にプロットされ、虚部がY軸にプロットされます。周波数はパラメーターとしてスイープされ、周波数ごとに 1 つの点が生成されます。同じプロットを極座標を使用して記述することもできます。極座標では、伝達関数のゲインがラジアル座標、伝達関数の位相が対応する角度座標です。ナイキスト線図は、ベル研究所の元エンジニアであるハリーナイキストにちなんで名付けられました。

閉ループ負帰還システムの安定性評価は、開ループシステム（つまり、フィードバックループを除いた同一システム）のナイキスト線図にナイキスト安定基準を適用することによって行われます。この手法は、遅延やその他の非有理伝達関数を持つシステムにも容易に適用でき、他の手法では解析が困難に見える場合があります。安定性は、点 (-1, 0) の周回回数で判定します。システムが安定するゲインの範囲は、実軸の交差回数で判定できます。

ナイキスト線図は伝達関数の形状に関するいくつかの情報を提供します。例えば、伝達関数の零点と極の数の違いを、曲線が原点に近づく角度によって表すことができます^{[6] 。}

手書きで描く場合、ナイキスト線図の漫画版が用いられることがあります。これは曲線の直線性を示しますが、関心領域の詳細を示すために座標が歪められています。計算的にプロットする場合は、関心のあるすべての周波数をカバーするように注意する必要があります。これは通常、広い範囲の値をカバーするために、パラメータを対数的に掃引することを意味します。

背景

数学ではラプラス変換を使用します。これは、時間領域の積分と微分をs領域の単純な乗算と除算に変換します。

伝達関数がであるシステムを負帰還を持つ閉ループに配置すると、閉ループ伝達関数(CLTF) は次のようになります。 $G(s)$ $H(s)$

{\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}

安定性は、例えばラウス配列を用いて感度係数多項式の根を調べることで判断できますが、この方法はやや面倒です。また、開ループ伝達関数（OLTF）のボード線図、あるいは本稿のようにナイキスト基準を用いた極座標線図を調べることでも結論を導き出すことができます。 $1+G(s)H(s)$ $G(s)H(s)$

任意のラプラス領域の伝達関数は、 2つの多項式の比として表すことができます。 ${\mathcal {T}}(s)$

{\mathcal {T}}(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.

の根はの零点と呼ばれ、の根はの極と呼ばれます。の極は特性方程式の根とも呼ばれます。 $N(s)$ ${\mathcal {T}}(s)$ $D(s)$ ${\mathcal {T}}(s)$ ${\mathcal {T}}(s)$ $D(s)=0$

の安定性はその極の値によって決まります。安定性のためには、すべての極の実部は負でなければなりません。もしが開ループ伝達関数の周囲に負の単位フィードバックループを閉じることによって形成される場合、 ${\mathcal {T}}(s)$ ${\mathcal {T}}(s)$

G(s)H(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}

すると、特性方程式の根はの零点、あるいは単にの根でもあります。 $1+G(s)H(s)$ $A(s)+B(s)=0$

コーシーの議論原理

複素解析から、関数の任意の数の零点と極を包含するが通過しない複素平面上に描かれた等高線は、関数によって別の平面（plane と呼ばれる）に写像される。正確には、等高線上の各複素点は新しい平面上の点に写像され、新しい等高線が得られる。 $\Gamma _{s}$ $s$ $F(s)$ $F(s)$ $F$ $s$ $\Gamma _{s}$ $F(s)$ $F(s)$

のナイキスト線図、つまり等高線は平面上の点をで囲みます。ここで、コーシーの論証原理によります。ここで、とはそれぞれ、等高線内のの零点との極の数です。平面上の包囲は等高線と同じ意味で数え、反対方向の包囲は負の包囲となることに注意してください。つまり、時計回りの包囲は正、反時計回りの包囲は負とみなします。 $F(s)$ $\Gamma _{F(s)}=F(\Gamma _{s})$ $s={-1/k+j0}$ $F(s)$ $N$ $N=P-Z$ $Z$ $P$ $1+kF(s)$ $F(s)$ $\Gamma _{s}$ $F(s)$ $\Gamma _{s}$

1932年にハリー・ナイキストが発表した原論文では、コーシーの議論原理の代わりに、より洗練されたアプローチが用いられています。ここで説明するアプローチは、同じくベル研究所に勤務していたリロイ・マッコール（「サーボ機構の基礎理論」1945年）やヘンドリック・ボーデ（「ネットワーク解析とフィードバック増幅器の設計」1945年）が用いたアプローチに類似しています。このアプローチは、現代の制御理論の教科書のほとんどに掲載されています。

意味

まず、複素平面の右半分を囲むナイキスト曲線を構築します。

からまで軸に沿って上方に移動するパス。 $j\omega$ $0-j\infty$ $0+j\infty$
半径の半円弧で、から始まり、時計回りにまで進みます。 $r\to \infty$ $0+j\infty$ $0-j\infty$

関数にマッピングされたナイキスト曲線は、複素平面におけるのプロットを生成します。議論の原理により、原点を時計回りに周回する回数は、右半複素平面におけるの零点の数から右半複素平面におけるの極の数を引いた数でなければなりません。代わりに、ナイキスト曲線が開ループ伝達関数にマッピングされた場合、結果はのナイキスト線図になります。結果として得られる等高線による −1 の周回を数えることで、の右半複素平面における極と零点の数の差がわかります。の零点が閉ループシステムの極であり、の極がの極と同じであることを考慮すると、ナイキスト基準が次のように示されます。 $1+G(s)$ $1+G(s)$ $1+G(s)$ $1+G(s)$ $G(s)$ $G(s)$ $1+G(s)$ $1+G(s)$ $1+G(s)$ $G(s)$

ナイキスト曲線が与えられたとき、がで囲まれたの極の数、がで囲まれたの零点の数であるとします。あるいは、より重要な点として、が右半平面における閉ループシステムの極の数、が右半平面における開ループ伝達関数の極の数である場合、結果として得られる -平面の曲線は、となるように、点を（時計回りに）回周回するものとします。 $\Gamma _{s}$ $P$ $G(s)$ $\Gamma _{s}$ $Z$ $1+G(s)$ $\Gamma _{s}$ $Z$ $P$ $G(s)$ $G(s)$ $\Gamma _{G(s)}$ $(-1+j0)$ $N$ $N=Z-P$

システムが元々開ループ不安定である場合、システムを安定化するにはフィードバックが必要です。右半平面（RHP）の極はその不安定性を表します。システムの閉ループ安定性のためには、s平面の右半面における閉ループ根の数はゼロでなければなりません。したがって、反時計回りの円周の数は、RHPにおける開ループ極の数と等しくなければなりません。開ループ周波数応答（低周波数から高周波数まで判断した場合）が臨界点を時計回りに円周している場合、ループが閉じている場合、フィードバック制御システムが不安定になることを示します。 (RHP ゼロを使用して RHP 極を「キャンセル」しても不安定性は解消されませんが、フィードバックが存在する場合でもシステムが不安定なままになることが保証されます。これは、閉ループルートがフィードバックの存在下で開ループ極とゼロの間を移動するためです。実際、RHP ゼロによって不安定な極が観測不能になり、フィードバックによって安定化できなくなります。) $-1+j0$

虚軸上に極を持つシステムのナイキスト条件

上記の考察は、開ループ伝達関数が虚軸上に極（すなわち、の形の極）を持たないという仮定に基づいて行われた。これは、等高線が写像関数のどの極も通過できないという議論原理の要件から生じる。最も一般的なケースは、積分器（極がゼロ）を持つシステムである。 $G(s)$ $0+j\omega$

虚軸上に極を持つシステムを解析するために、ナイキスト曲線を修正して点を通過しないようにすることができます。その方法の一つは、を起点として反時計回りにまで進む、を中心とする半径の半円弧を描くことです。この修正により、位相子は（は虚軸上の極の多重度）だけ無限半径の円弧に沿って移動することになります。 $0+j\omega$ $r\to 0$ $0+j\omega$ $0+j(\omega -r)$ $0+j(\omega +r)$ $G(s)$ $-l\pi$ $l$

数学的導出

スカラーゲインKを持つ統一負帰還システムG

このプロセスを通して、ゲインkを持つユニティフィードバックシステムの伝達関数の安定性を確認することが私たちの目標です。ゲインkは次のように与えられます。

T(s)={\frac {kG(s)}{1+kG(s)}}

つまり、上記の伝達関数の特性方程式が、

D(s)=1+kG(s)=0

開いた左半平面の外側にゼロを持ちます (通常、OLHP として初期化されます)。

関数の零点や極を通過させないように、必要に応じて窪みを付けた時計回り（つまり負の向き）の等高線が右半平面を囲んでいるとする。コーシーの議論原理によれば、 $\Gamma _{s}$ $G(s)$

-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=N=Z-P

ここではの零点の数を表し、は同じの極の数を表す。整理するととなり、 $Z$ $D(s)$ $P$ $D(s)$ $Z=N+P$

Z=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds+P

ここで、はと全く同じ極を持つことに気づく。したがって、の極を数えることで、等高線内、つまり開右半平面（ORHP）内に現れるを見つけることができる。 $D(s)=1+kG(s)$ $G(s)$ $P$ $G(s)$

ここで、上記の積分を置換によって整理してみましょう。つまり、とおくと、 $u(s)=D(s)$

N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du

次に、と設定してさらに代入すると、 $v(u)={\frac {u-1}{k}}$

N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{v(u(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv

ここで、はの等高線図、つまりナイキスト線図のイメージを与えることに注意する。積分をさらに簡約することができる。 $v(u(\Gamma _{s}))={{D(\Gamma _{s})-1} \over {k}}=G(\Gamma _{s})$ $G(s)$

N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{G(\Gamma _{s}))}{\frac {1}{v+1/k}}\,dv

コーシーの積分公式を適用することで、この式を導くことができる。実際、上記の積分は、ナイキスト線図が点を時計回りに周回する回数と正確に一致することがわかる。したがって、最終的に次のように言える。 $-1/k$

{\begin{aligned}Z={}&N+P\\[6pt]={}&{\text{(number of times the Nyquist plot encircles }}{-1/k}{\text{ clockwise)}}\\&{}+{\text{(number of poles of }}G(s){\text{ in ORHP)}}\end{aligned}}

したがって、上で定義したは、上で評価したが 0 に等しいときに、安定したユニティフィードバックシステムに対応することがわかります。 $T(s)$ $Z$

重要性

ナイキスト安定判定基準は、フィードバック制御システムなどの動的システムの安定性を決定するグラフィカルな手法です。これは、引数原理とシステムの開ループ伝達関数のナイキスト線図に基づいています。遅延のあるシステムなど、有理関数で定義されないシステムにも適用できます。また、ボード線図とは異なり、右半平面に特異点を持つ伝達関数も扱うことができます。ナイキスト安定判定基準は、システムの位相余裕とゲイン余裕を求めるためにも使用でき、これらは周波数領域制御器の設計において重要です。^[7]

まとめ

開ループ伝達関数が多重度の零極を持つ場合、ナイキスト線図はで不連続になります。以降の解析では、位相器が無限半径の半円に沿って時計回りに回移動すると仮定する必要があります。この規則を適用した後、零極は無視されます。つまり、他に不安定な極がない場合、開ループ伝達関数は安定しているとみなされます。 $G(s)$ $l$ $\omega =0$ $l$ $G(s)$
開ループ伝達関数が安定している場合、ナイキスト線図が点 -1 を少なくとも 1 回囲む場合にのみ、閉ループシステムは不安定になります。 $G(s)$
開ループ伝達関数が不安定な場合、閉ループシステムが安定するためには、複素平面の右半分の各極に対して、反時計回りの −1 の円周が1 つ存在する必要があります。 $G(s)$ $G(s)$
余剰包囲の数（N + Pが 0 より大きい）は、閉ループシステムの不安定な極の数と正確に一致します。
しかし、グラフが点を通過する場合、システムの限界安定性を決定することさえ困難になり、グラフから引き出せる唯一の結論は、軸上にゼロが存在するということだけになります。 $-1+j0$ $j\omega$

参照

参考文献

^ クルト・ラインシュケ (2014). 「第 4.3 章。ストレッカー・ナイキストの安定性」。Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie (ドイツ語) (第 2 版)。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 184.ISBN 978-3-64240960-8. 2019年6月14日閲覧。
^ Bissell, Christopher C. (2001). 「『ブラックボックス』の発明：通信工学の歴史において無視されてきた実現技術としての数学」（PDF）。 2019年6月14日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF）。 2019年6月14日閲覧。
^ フェリックス・ストレッカー[ドイツ語] (1947). Die elektrische Selbsterregung mit einer Theorie der aktiven Netzwerke (ドイツ語)。シュトゥットガルト、ドイツ: S. Hirzel Verlag [de]。(注: 以前の作品は文学セクションにあります。)
^ ナイキスト、ハリー（1932年1月）「再生理論」ベルシステム技術ジャーナル11 （ 1）米国：アメリカン・テレフォン・アンド・テレグラフ・カンパニー（AT&T）：126–147 . doi :10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x. S2CID 115002788.
^ Chaffey, Thomas; Forni, Fulvio; Sepulchre, Rodolphe (2023). 「グラフィカル非線形システム解析」. IEEE Transactions on Automatic Control . 68 (10): 6067– 6081. arXiv : 2107.11272 . Bibcode :2023ITAC...68.6067C. doi :10.1109/TAC.2023.3234016. ISSN 0018-9286. S2CID 236318576.
^ ナイキスト図 2008年9月30日アーカイブ at the Wayback Machine
^ “12.2: 安定性のためのナイキスト基準”. Mathematics LibreTexts . 2017年9月5日. 2023年12月25日閲覧。

さらに読む

フォークナー、EA（1969）：線形システム理論入門；チャップマン＆ホール；ISBN 0-412-09400-2
ピパード、AB（1985）：レスポンス＆スタビリティ；ケンブリッジ大学出版局；ISBN 0-521-31994-3
ゲッシング、R.（2004）：制御の基礎；シレジア工科大学；ISBN 83-7335-176-0
フランクリン、G.（2002）：動的システムのフィードバック制御；プレンティスホール、ISBN 0-13-032393-4

外部リンク

変更可能なパラメータを持つアプレット
EISスペクトラムアナライザー - インピーダンススペクトルの解析とシミュレーションのためのフリーウェアプログラム
動的システムモデルの周波数応答のナイキスト線図を作成するための MATLAB 関数。
PIDナイキスト線図の整形 - 無料のインタラクティブ仮想ツール、制御ループシミュレータ
ナイキスト線図を作成するためのMathematica関数
電気回路のナイキスト線図

[Reinschke_2014-1] クルト・ラインシュケ (2014). 「第 4.3 章。ストレッカー・ナイキストの安定性」。Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie (ドイツ語) (第 2 版)。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 184.ISBN 978-3-64240960-8. 2019年6月14日閲覧。

[Bissel_2001-2] Bissell, Christopher C. (2001). 「『ブラックボックス』の発明：通信工学の歴史において無視されてきた実現技術としての数学」（PDF）。 2019年6月14日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF）。 2019年6月14日閲覧。

[Strecker_1947-3] フェリックス・ストレッカー[ドイツ語] (1947). Die elektrische Selbsterregung mit einer Theorie der aktiven Netzwerke (ドイツ語)。シュトゥットガルト、ドイツ: S. Hirzel Verlag [de]。(注: 以前の作品は文学セクションにあります。)

[Nyquist_1932-4] ナイキスト、ハリー（1932年1月）「再生理論」ベルシステム技術ジャーナル11 （ 1）米国：アメリカン・テレフォン・アンド・テレグラフ・カンパニー（AT&T）：126–147 . doi :10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x. S2CID 115002788.

[5] Chaffey, Thomas; Forni, Fulvio; Sepulchre, Rodolphe (2023). 「グラフィカル非線形システム解析」. IEEE Transactions on Automatic Control . 68 (10): 6067– 6081. arXiv : 2107.11272 . Bibcode :2023ITAC...68.6067C. doi :10.1109/TAC.2023.3234016. ISSN 0018-9286. S2CID 236318576.

[Bucknell-6] ナイキスト図 2008年9月30日アーカイブ at the Wayback Machine

[7] “12.2: 安定性のためのナイキスト基準”. Mathematics LibreTexts . 2017年9月5日. 2023年12月25日閲覧。