ナイキスト・シャノンのサンプリング定理

ナイキスト・シャノン標本化定理は、デジタル信号処理において信号の周波数範囲と、エイリアシングと呼ばれる歪みを回避するために必要なサンプルレートを結びつける重要な原理です。この定理によれば、エイリアシングを回避するには、サンプルレートは信号帯域幅の少なくとも2倍でなければなりません。実際には、この定理は、アナログ信号をサンプリングする際、またはデジタル信号処理機能内でサンプルレートを変更する際に、エイリアシングを許容範囲内に抑えるための帯域制限フィルタを選択するために使用されます。

帯域制限関数のフーリエ変換の振幅の例

ナイキスト・シャノン標本化定理は、信号処理分野における定理であり、連続時間信号と離散時間信号の間の基本的な橋渡しとして機能します。この定理は、離散サンプル列が有限帯域幅の連続時間信号からすべての情報を取得できるサンプリングレートの十分条件を確立します。

厳密に言えば、この定理は、有限の周波数領域外でフーリエ変換がゼロになる数学関数のクラスにのみ適用されます。直感的には、連続関数を離散列に縮小し、それを連続関数に補間すると、結果の忠実度は元のサンプルの密度 (またはサンプル レート) に依存すると予想されます。サンプリング定理は、サンプリング処理で実際の情報が失われないように、特定の帯域幅に帯域制限される関数のクラスに対して完全な忠実度を得るのに十分なサンプル レートの概念を導入します。十分なサンプル レートは、関数のクラスの帯域幅で表されます。この定理は、サンプルから元の連続時間関数を完全に再構築するための式も導きます。

サンプルレート基準が満たされない場合でも、信号に関する他の制約が既知であれば、完全な再構成が可能な場合があります（後述の§ 非ベースバンド信号のサンプリングおよび圧縮センシングを参照）。場合によっては（サンプルレート基準が満たされない場合）、追加の制約を利用することで近似的な再構成が可能になります。これらの再構成の忠実度は、ボホナーの定理を用いて検証および定量化できます。^[1]

ナイキスト・シャノン標本化定理という名称は、ハリー・ナイキストとクロード・シャノンに敬意を表して名付けられたものですが、この定理はそれ以前にE・T・ウィテカーによっても発見されており（1915年に発表）、シャノンは自身の研究の中でウィテカーの論文を引用しています。そのため、この定理はウィテカー・シャノン標本化定理、ウィテカー・シャノン、ウィテカー・ナイキスト・シャノンとも呼ばれ、補間の基数定理とも呼ばれます。

導入

サンプリングとは、信号（例えば、連続時間または空間の関数）を値の列（離散時間または空間の関数）に変換するプロセスです。シャノンの定理は次のように述べられています。 ^[2]

定理-関数にBヘルツよりも高い周波数が含まれていない場合、その関数は、数秒未満の間隔で配置された一連の点の座標から完全に決定できます。 ${\displaystyle x(t)}$  ${\displaystyle 1/(2B)}$

したがって、十分なサンプルレートとは、1秒あたりのサンプル数よりも大きいレートのことです。同様に、与えられたサンプルレート に対して、帯域制限 において完全な再構成が可能であることが保証されます。 ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle B<f_{s}/2}$

帯域制限が高すぎる場合（または帯域制限がない場合）、再構成にはエイリアシングと呼ばれる不完全さが見られます。この定理の現代的な記述では、 が周波数 で正弦波成分を含んではならない、または がサンプル レートの半分より厳密に小さくなければならない、と注意深く明示的に述べられることがあります。この閾値はナイキスト レートと呼ばれ、サンプリングされる連続時間入力の属性です。サンプル レートは、 を十分に表現するために、ナイキスト レートを超えている必要があります。この閾値はナイキスト周波数と呼ばれ、サンプリング装置の属性です。適切にサンプリングされた の意味のある周波数成分はすべて、ナイキスト周波数より下にあります。これらの不等式によって記述される条件は、ナイキスト基準、またはラーベ条件と呼ばれます。この定理は、デジタル画像の場合の空間など、他のドメインの関数にも適用できます。他のドメインの場合の唯一の違いは、およびに割り当てられる測定単位です。 ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t).}$ ${\displaystyle f_{s}/2}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle f_{s},}$ ${\displaystyle B.}$

正規化されたsinc 関数: sin(π x ) / (π x ) ... x = 0で中央のピークを示し、xの他の整数値でゼロ交差を示します。

記号は、隣接するサンプル間の間隔を表すために慣習的に使用され、サンプル周期またはサンプリング間隔と呼ばれます。関数のサンプルは、 のすべての整数値に対して、一般的に^[3]（または古い信号処理の文献では）で表されます。乗数は、連続時間から離散時間への移行の結果であり（離散時間フーリエ変換#フーリエ変換との関係を参照）、 が変化しても信号のエネルギーを維持するために必要です。 ${\displaystyle T\triangleq 1/f_{s}}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x[n]\triangleq T\cdot x(nT)}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

シーケンスを補間する数学的に理想的な方法は、sinc関数を使用することです。シーケンス内の各サンプルは、サンプルの元の位置を時間軸の中心とするsinc関数に置き換えられ、sinc関数の振幅はサンプル値にスケーリングされます。その後、sinc関数は連続関数に合計されます。数学的に同等の方法は、ディラックコムを使用し、1つのsinc関数をサンプル値で重み付けされた一連のディラックデルタパルスで畳み込むことで処理を進めます。どちらの方法も数値的には実用的ではありません。代わりに、有限の長さのsinc関数の近似が使用されます。近似に起因する不完全性は補間誤差として知られています。 ${\displaystyle nT,}$ ${\displaystyle x(nT).}$

実用的なデジタル-アナログ変換器は、スケーリングされ遅延された同期関数や理想的なディラックパルスを生成しません。代わりに、スケーリングされ遅延された矩形パルスの区分的に一定のシーケンス（ゼロ次ホールド）を生成します。通常、このシーケンスの後には、元のベースバンド信号の不要な高周波レプリカ（イメージ）を除去するためのローパスフィルタ（「アンチイメージングフィルタ」と呼ばれる）が続きます。

エイリアシング

2 つの正弦波のサンプルは、少なくとも 1 つのサンプルの周波数がサンプル レートの半分を超える場合、同一になります。

フーリエ変換を持つ関数は次の場合です。 ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(f)}$

${\displaystyle X(f)\ \triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ {\rm {d}}t,}$

すると、のサンプルはの周期的な和を作成するのに十分です（離散時間フーリエ変換#フーリエ変換との関係を参照）。 ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(f).}$

${\displaystyle X_{1/T}(f)\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-i2\pi fnT},}$

式1

${\displaystyle X(f)}$(上の青) と(下の青) は、2 つの異なる関数の連続フーリエ変換で、(図示せず) です。関数がレート でサンプリングされる場合、シーケンスの離散時間フーリエ変換 (DTFT) を調べると、画像 (緑) が元の変換 (青) に追加されます。この仮説的な例では、DTFT は同一であり、つまり、元の連続事前サンプリング関数が同一でなくても、サンプリングされたシーケンスは同一であることを意味します。これらがオーディオ信号である場合、と は同じようには聞こえない可能性があります。しかし、それらのサンプル (レート で取得) は同一であり、同一の再生音になります。したがって、はこのサンプルレートでののエイリアスです。 ${\displaystyle X_{A}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{A}(t)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{A}(t)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle x_{A}(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

これは周期関数であり、係数が であるフーリエ級数として等価に表現されます。この関数は、サンプルシーケンスの離散時間フーリエ変換(DTFT)としても知られています。 ${\displaystyle x[n]}$

図に示すように、 のコピーはサンプリング レートの倍数だけシフトされ、加算によって結合されます。 帯域制限された関数で十分に大きい場合は、コピーを互いに区別したままにすることができます。 しかし、ナイキスト条件が満たされない場合、隣接するコピーは重なり合い、一般に、明確な を識別することは不可能です。より高い周波数成分は、コピーの 1 つに関連付けられたエイリアスと呼ばれる低周波成分と区別できません。 このような場合、慣習的な補間手法では、元の成分ではなくエイリアスが生成されます。 サンプリング レートが他の考慮事項 (業界標準など) によって事前に決定されている場合、は通常、サンプリングされる前に、高周波数を許容レベルまで下げるためにフィルタリングされます。 必要なフィルタの種類はローパス フィルタで、このアプリケーションではアンチエイリアシング フィルタと呼ばれます。 ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle f_{s}=1/T}$ ${\displaystyle (X(f)=0,{\text{ for all }}|f|\geq B)}$ ${\displaystyle f_{s},}$ ${\displaystyle X(f).}$ ${\displaystyle f_{s}/2}$ ${\displaystyle x(t)}$

適切にサンプリングされた帯域制限信号（青）のスペクトルと、重なり合わない隣接するDTFT画像（緑）です。ブリックウォールローパスフィルタ は画像を除去し、元のスペクトル を残し、そのサンプルから元の信号を復元します。 ${\displaystyle X_{s}(f)}$ ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle X(f)}$

左の図は、関数（灰色/黒）がサンプル密度を徐々に増加させながらサンプリングされ、再構成（金色）される様子を示しています。一方、右の図は、灰色/黒の関数の周波数スペクトルを示しており、このスペクトルは変化しません。スペクトルの最高周波数は、スペクトル全体の幅の半分です。徐々に増加するピンク色の陰影の幅は、サンプルレートに等しくなります。この陰影が周波数スペクトル全体を包含する場合、その幅は最高周波数の2倍になり、再構成された波形がサンプリングされた波形と一致するようになります。

ポアソン和の特別な場合としての微分

のコピー（「イメージ」とも呼ばれる）が重なり合わない場合、式 1の項は次の積で復元できます。 ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle k=0}$

$${\displaystyle X(f)=H(f)\cdot X_{1/T}(f),}$$

どこ：

$${\displaystyle H(f)\ \triangleq \ {\begin{cases}1&|f|<B\\0&|f|>f_{s}-B.\end{cases}}}$$

サンプリング定理は、 が一意に を決定することから証明されます。 ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$

残っているのは、再構成のための式を導出することだけです。 は、その領域ではゼロであるため、その領域で正確に定義する必要はありません。しかし、最悪のケースはナイキスト周波数の場合です。このケースと、それほど深刻ではないすべてのケースに十分な関数は、次のとおりです。 ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle [B,\ f_{s}-B]}$ ${\displaystyle X_{1/T}(f)}$ ${\displaystyle B=f_{s}/2,}$

$${\displaystyle H(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)={\begin{cases}1&|f|<{\frac {f_{s}}{2}}\\0&|f|>{\frac {f_{s}}{2}},\end{cases}}}$$

ここでは長方形関数です。したがって、 ${\displaystyle \mathrm {rect} }$

${\displaystyle X(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)\cdot X_{1/T}(f)}$

${\displaystyle =\mathrm {rect} (Tf)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf}}$      （  上記式1より）。

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect} (Tf)\cdot e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\right\}}.}$     ^[あ]

両辺を逆変換すると、ウィテカー・シャノン補間式が得られる。

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right),}$

これは、サンプル を組み合わせて を再構築する方法を示しています。 ${\displaystyle x(nT)}$ ${\displaystyle x(t)}$

• 必要以上に大きい（ の値が小さい）はオーバーサンプリングと呼ばれ、再構成結果に影響を与えず、が中間値を自由に取れる遷移帯域を残すという利点があります。エイリアシングを引き起こすアンダーサンプリングは、一般に可逆な操作ではありません。 ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H(f)}$
• 理論的には、補間式はローパスフィルタとして実装できます。このフィルタのインパルス応答は 、入力は信号サンプルによって変調されたディラック櫛形関数です。実際のデジタル-アナログコンバータ（DAC）は、ゼロ次ホールドのような近似を実装しています。その場合、オーバーサンプリングによって近似誤差を低減できます。 ${\displaystyle \mathrm {sinc} (t/T)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT),}$

シャノンのオリジナルの証明

ポアソンは、式1のフーリエ級数は、およびに関わらず、の周期的な和を生成することを示しています。しかし、シャノンは の場合のみ級数係数を導出しています。シャノンの原論文を引用すると、以下のようになります。 ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{s}=2B}$

のスペクトルを  次のようにする。 ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle x(t).}$

${\displaystyle x(t)={1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ,}$

はバンドの外側ではゼロであると仮定されるので  、 が任意の正または負の整数であるとすると、次の式が得られる。 ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle \left|{\tfrac {\omega }{2\pi }}\right|<B.}$ ${\displaystyle t={\tfrac {n}{2B}},}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x\left({\tfrac {n}{2B}}\right)={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega )e^{i\omega {n \over {2B}}}\;{\rm {d}}\omega .}$

式2

左側には、サンプリング点における の値があります。右側の積分は、本質的に^[a]区間を基本周期とする関数 のフーリエ級数展開における係数として認識されます。これは、サンプル値が の級数展開におけるフーリエ係数を決定することを意味します。  したがって、は よりも高い周波数では がゼロであり、 よりも低い周波数では がフーリエ係数が決定されれば決定されるため、 が決定されます。しかし、 は元の関数を完全に決定します。関数はスペクトルが既知であれば決定されるからです。したがって、元のサンプル値は関数を完全に決定します。 ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle X(\omega ),}$ ${\displaystyle -B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x(n/2B)}$ ${\displaystyle X(\omega ).}$ ${\displaystyle X(\omega ),}$ ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

シャノンによる定理の証明はこの時点で完了しているが、彼はsinc関数による再構成、すなわち上述のように現在ウィテカー・シャノン補間公式と呼ばれるものについて議論を続ける。彼はsinc関数の性質を導出したり証明したりしていない。なぜなら、 rect （直交関数）とsinc関数の間のフーリエ対関係は当時既によく知られていたからである。^[4]

をサンプルとします。すると関数は次のように表されます。 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}{\sin(\pi (2Bt-n)) \over \pi (2Bt-n)}.}$

他の証明と同様に、元の信号のフーリエ変換の存在が想定されているため、この証明では、サンプリング定理が帯域制限された定常ランダムプロセスに拡張されるかどうかは述べられていません。

注記

1. 式2の両辺にを掛けると、左側にポアソンの式（式1 ）のスケールされたサンプル値が生成され、右側にフーリエ展開係数の実際の式が生成されます。 ${\displaystyle T=1/2B}$ ${\displaystyle (T\cdot x(nT))}$

多変数信号と画像への応用

モアレ模様を示すサブサンプリング画像

適切にサンプリングされた画像

サンプリング定理は通常、一変数関数に対して定式化されます。したがって、この定理は時間依存信号に直接適用可能であり、通常はそのような文脈で定式化されます。しかし、サンプリング定理は任意の多変数関数にも容易に拡張できます。例えば、グレースケール画像は、行と列のサンプル位置の交点に位置するピクセル（画素）の相対的な強度を表す実数の2次元配列（または行列）として表現されることがよくあります。そのため、画像では各ピクセルを一意に指定するために、行と列にそれぞれ1つずつ、2つの独立変数（インデックス）が必要です。

カラー画像は通常、3つの独立したグレースケール画像を組み合わせたもので、各画像は三原色（赤、緑、青、略してRGB）を表します。3次元ベクトルを用いる他の色空間には、HSV、CIELAB、XYZなどがあります。シアン、マゼンタ、イエロー、ブラック（CMYK）などの色空間では、4次元で色を表現できます。これらはすべて、2次元のサンプリング領域におけるベクトル値関数として扱われます。

1次元離散時間信号と同様に、画像もサンプリング解像度、つまりピクセル密度が不十分な場合、エイリアシングの影響を受ける可能性があります。例えば、縞模様のシャツのデジタル写真（つまり、縞模様の間隔が狭い）は、カメラの画像センサーでサンプリングされた際に、シャツにエイリアシングが発生する可能性があります。エイリアシングはモアレ模様として現れます。この場合、空間領域でのサンプリング率を高めるための「解決策」としては、シャツに近づく、解像度の高いセンサーを使用する、あるいは光学ローパスフィルターを用いてセンサーで画像を取得する前に光学的にぼかすなどが挙げられます。

もう一つの例は、レンガ模様です。上の画像は、サンプリング定理の条件が満たされていない場合の効果を示しています。ソフトウェアが画像のサイズを変更する際（下の画像に示すサムネイルを作成するのと同じプロセスです）、実際には、まず画像をローパスフィルターに通してからダウンサンプリングすることで、モアレ模様が現れない小さな画像を生成します。上の画像は、ローパスフィルターを通さずにダウンサンプリングした場合の結果です。つまり、エイリアシングが生じます。

サンプリング定理はカメラ システムに適用されます。カメラ システムでは、シーンとレンズがアナログ空間信号源を構成し、イメージ センサーが空間サンプリング デバイスとなります。これらの各コンポーネントは、そのコンポーネントで利用可能な正確な解像度 (空間帯域幅) を表す変調伝達関数(MTF) によって特徴付けられます。レンズ MTF とセンサー MTF が一致していないと、エイリアシングやぼやけの影響が発生する可能性があります。センサー デバイスによってサンプリングされる光学画像にセンサーよりも高い空間周波数が含まれる場合、アンダー サンプリングはローパス フィルターとして機能し、エイリアシングを軽減または除去します。サンプリング スポットの領域 (ピクセル センサーのサイズ) が十分な空間アンチエイリアシングを提供するのに十分大きくない場合は、光学画像の MTF を下げるために、別のアンチエイリアシング フィルター (光学ローパス フィルター) をカメラ システムに含めることができます。スマートフォンカメラのグラフィックス プロセッシング ユニットは、光学フィルターを必要とする代わりに、デジタル信号処理を実行し、デジタル フィルターでエイリアシングを除去します。デジタル フィルターは、高空間周波数でのレンズからのコントラストを増幅するためにシャープニングも適用します。そうしないと、回折限界でコントラストが急激に低下します。

サンプリング定理は、アップサンプリングやダウンサンプリングといったデジタル画像の後処理にも適用されます。エイリアシング、ぼかし、シャープニングなどの効果は、ソフトウェアで実装されたデジタルフィルタリングによって調整できますが、これは必然的に理論原理に従います。

臨界周波数における正弦波の族。すべて+1と-1が交互に現れる同じサンプルシーケンスを持つ。つまり、周波数がサンプルレートの半分を超えないにもかかわらず、それらはすべて互いにエイリアス関係にある。

臨界周波数

の必要性を説明するために、次の式で異なる値の正弦波の族を考えてみましょう。 ${\displaystyle f_{s}>2B,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x(t)={\frac {\cos(2\pi Bt+\theta )}{\cos(\theta )}}\ =\ \cos(2\pi Bt)-\sin(2\pi Bt)\tan(\theta ),\quad -\pi /2<\theta <\pi /2.}$

または同等に、サンプルは次のように与えられます。 ${\displaystyle f_{s}=2B}$ ${\displaystyle T=1/2B,}$

${\displaystyle x(nT)=\cos(\pi n)-\underbrace {\sin(\pi n)} _{0}\tan(\theta )=(-1)^{n}}$

の値に関係なく、この種の ${\displaystyle \theta .}$曖昧さがサンプリング定理の条件の厳密な不等式の理由です。

非ベースバンド信号のサンプリング

シャノンが論じたように: ^[2]

帯域がゼロ周波数ではなく、より高い周波数から始まる場合も同様の結果が成り立ち、ゼロ周波数の場合の線形変換（物理的には単側波帯変調に対応）によって証明できます。この場合、基本パルスは単側波帯変調によって から得られます。 ${\displaystyle \sin(x)/x}$

つまり、ベースバンド成分を含まない信号をサンプリングする場合、その最高周波数成分ではなく、非ゼロ周波数間隔の幅を考慮することで、十分な無損失条件が成立します。詳細と例については、サンプリングを参照してください。

例えば、100～102 MHzの周波数範囲で FMラジオ信号をサンプリングする場合、204 MHz（上限周波数の2倍）でサンプリングする必要はなく、むしろ4 MHz（周波数間隔の幅の2倍）でサンプリングすれば十分です。（サンプリングされたIF信号やRF信号では、通常、再構成は目的ではありません。むしろ、サンプルシーケンスは、ベースバンド付近に周波数シフトされた信号の通常のサンプルとして扱うことができ、それに基づいてデジタル復調を進めることができます。）

バンドパス条件を用いると、 開放帯域の周波数帯域外のすべてについて ${\displaystyle X(f)=0}$ ${\displaystyle |f|}$

${\displaystyle \left({\frac {N}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {N+1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),}$

ある非負整数とあるサンプリング周波数に対して、信号を再現する補間法を見つけることが可能です。 と の組み合わせは複数存在する可能性があり、その中には の場合のように通常のベースバンド条件も含まれます。サンプルと畳み込む対応する補間フィルタは、指定された帯域の上限と下限にカットオフを持つ理想的な「ブリックウォール」バンドパスフィルタ（上記で使用した理想的なブリックウォールローパスフィルタとは対照的）のインパルス応答であり、これは2つのローパスインパルス応答の差です。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {s} }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {s} }}$ ${\displaystyle N=0.}$

$${\displaystyle (N+1)\,\operatorname {sinc} \left({\frac {(N+1)t}{T}}\right)-N\,\operatorname {sinc} \left({\frac {Nt}{T}}\right).}$$

この関数は、 の倍数では 1 になり、 の他の倍数では 0 になります( の場合は他の時点でも同様)。 ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle N>0}$

他の一般化、例えば複数の非連続帯域を占める信号への適用も可能です。サンプリング定理の最も一般化された形でさえ、証明可能な逆は存在しません。つまり、サンプリング定理の条件が満たされていないからといって、必ずしも情報が失われると結論付けることはできません。しかし、工学的な観点からは、サンプリング定理が満たされていない場合、情報は失われる可能性が高いと想定するのが一般的です。

非均一サンプリング

シャノンの標本化理論は、非均一標本化、つまり時間的に等間隔ではない標本抽出の場合にも一般化できます。非均一標本化に対するシャノンの標本化理論は、平均標本化レートがナイキスト条件を満たす場合、帯域制限された信号はその標本から完全に再構成できると述べています。 ^[5]したがって、均一間隔の標本抽出は再構成アルゴリズムを容易にする可能性がありますが、完全な再構成の必要条件ではありません。

非ベースバンドおよび非均一サンプルの一般理論は、1967年にヘンリー・ランダウによって開発されました。^{[6]彼は、スペクトルのどの部分が占有されているかが}事前にわかっていると仮定して、平均サンプリングレート（均一または非均一）は信号の占有帯域幅の2倍でなければならないことを証明しました。

1990 年代後半には、この研究は部分的に拡張され、占有帯域幅の量は既知であるが、スペクトルの実際の占有部分は不明な信号もカバーするようになりました。^[7] 2000 年代には、圧縮センシングを使用した完全な理論が開発されました (以下の追加制約の下でのナイキスト周波数以下のサンプリングのセクションを参照) 。特に、信号処理言語を使用したこの理論は、2009 年の Mishali と Eldar の論文で説明されています。^[8]彼らは、とりわけ、周波数位置が不明な場合は、ナイキスト基準の少なくとも 2 倍でサンプリングする必要があることを示しています。言い換えると、スペクトルの位置がわからないことで、少なくとも 2 倍の損失を被る必要があるということです。最小サンプリング要件は必ずしも安定性を保証するものではないことに注意してください。

追加の制限下でのナイキスト周波数以下のサンプリング

ナイキスト・シャノン標本化定理は、帯域制限された信号のサンプリングと再構成のための十分条件を提供する。ウィテカー・シャノン補間式を用いて再構成を行う場合、ナイキスト基準はエイリアシングを回避するための必要条件でもある。つまり、帯域制限の2倍よりも遅い速度でサンプルを取得すると、正しく再構成されない信号が存在することを意味する。しかし、信号にさらなる制限が課されると、ナイキスト基準はもはや必要条件ではなくなる可能性がある。

信号についての追加の仮定を利用する重要な例として、最近の圧縮センシングの分野が挙げられます。これは、サブナイキスト サンプリング レートでの完全な再構成を可能にします。具体的には、これはある領域でスパース (または圧縮可能) な信号に適用されます。たとえば、圧縮センシングでは、全体的な帯域幅 (有効帯域幅など) は低いものの、周波数位置が不明で、すべてが 1 つの帯域内にあるわけではないため、パスバンド技法は適用されない信号を扱います。言い換えると、周波数スペクトルはスパースです。したがって、従来、必要なサンプリング レートは です。圧縮センシング手法を使用すると、 よりわずかに低いレートでサンプリングすれば、信号を完全に再構成できます。このアプローチでは、再構成はもはや数式ではなく、線形最適化プログラムの解によって与えられます。 ${\displaystyle EB}$ ${\displaystyle 2B.}$ ${\displaystyle 2EB.}$

サブナイキストサンプリングが最適となるもう一つの例は、サンプリングと最適な非可逆圧縮を組み合わせたシステムのように、サンプルが最適な方法で量子化されるという追加の制約の下で生じる。^{[9]この設定は、サンプリングと}量子化の共同効果を考慮する場合に関連し、ランダム信号のサンプリングと量子化で達成できる最小再構成誤差の下限値を提供できる。定常ガウスランダム信号の場合、この下限値は通常、サブナイキストサンプリングレートで達成されるため、この信号モデルでは最適な量子化の下でサブナイキストサンプリングが最適であることがわかる。^[10]

歴史的背景

標本化定理は1928年のハリー・ナイキストの研究^[11]によって示唆された。ナイキストは、帯域幅のシステムを介して最大で独立したパルスサンプルを送信できることを示したが、連続信号の標本化と再構成の問題は明示的には考慮しなかった。ほぼ同時期に、カール・キュプフミュラーも同様の結果を示し^[12]、帯域制限フィルタのsinc関数インパルス応答を、その積分であるステップ応答正弦積分を用いて論じた。この帯域制限および再構成フィルタは標本化定理の中心的要素であり、キュプフミュラーフィルタと呼ばれることもある（ただし、英語ではあまりそう呼ばれない）。 ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle B}$

サンプリング定理は、本質的にはナイキストの結果の双対であり、クロード・E・シャノンによって証明されました。^[2] エドマンド・テイラー・ウィテカーは1915年に同様の結果を発表し、^[13]彼の息子ジョン・マクナテン・ウィテカーは1935年に、^[14]デニス・ガボールは1946年に（「通信理論」）同様の結果を発表しました。

1948年と1949年に、クロード・E・シャノンは情報理論の基礎を築いた2つの革命的な論文を発表しました。^{[15] [16] [2]シャノンの「}通信の数学的理論」では、サンプリング定理は「定理13」として定式化されています。Wには周波数が含まれないとします。すると、 ${\displaystyle f(t)}$

$${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}{\frac {\sin \pi (2Wt-n)}{\pi (2Wt-n)}},}$$どこ ${\displaystyle X_{n}=f\left({\frac {n}{2W}}\right).}$

これらの論文が発表されて初めて、「シャノンのサンプリング定理」として知られる定理が通信技術者の間で共有財産となった。シャノン自身は、これは通信技術における常識であると述べている[ ^B]。しかし、数行後に彼はこう付け加えている。「しかし、その明らかな重要性にもかかわらず、通信理論の文献には明確に現れていないようだ」。シャノンのサンプリング定理が発表されたのは1940年代末であったが、シャノンは1940年には既にサンプリング定理を導出していた。^[17]

他の発見者

サンプリング定理の独立発見者や発展に貢献した人物については、ジェリ^[18]やルーケ^[19]など、いくつかの歴史的論文で論じられている。例えばルーケは、キュプフミュラーの助手であったヘルベルト・ラーベが1939年の博士論文でこの定理を証明したことを指摘している。ラーベ条件という用語は、一義的表現の基準（サンプリングレートが帯域幅の2倍以上であること）と関連付けられるようになった。マイエリング^[20]は、段落と脚注で、他の複数の発見者と名前を挙げている。

ヒギンズが指摘したように、サンプリング定理は実際には上記のように2つの部分で考えるべきである。第1の部分は、帯域制限された関数はそのサンプルによって完全に決定されるという事実を述べ、第2の部分はそのサンプルを使用して関数を再構成する方法を述べている。サンプリング定理の2つの部分は、JM ウィテカーによって多少異なる形式で示され、彼より前には小倉によっても示されていた。彼らはおそらく、定理の最初の部分が1897年にボレルによってすでに述べられていたという事実を認識していなかっただろう。^{[Meijering 1]}すでに見たように、ボレルもその頃に基数級数として知られるようになるものを使用していた。しかし、彼はその関連に気づかなかったようだ。後年、サンプリング定理はシャノンより前にコテリニコフによってロシアの通信コミュニティに提示されていたことが判明した。より暗黙的で言葉による形で、それはラーベによってドイツの文献でも説明されていた。何人かの著者は、染谷がシャノンと並行して日本の文献で定理を紹介したことを述べている。英語文献では、ウェストンがシャノンとは独立してほぼ同時期にこの用語を導入した。^{[Meijering 2]}

1. ブラックに続く数人の著者は、サンプリング定理のこの最初の部分は、1841年に発表された論文の中でコーシーによってさらに以前に述べられていたと主張している。しかし、ヒギンズが指摘したように、コーシーの論文にはそのような記述は含まれていない。
2. サンプリング定理の複数の独立した導入が発見された結果、人々は前述の著者の名前を冠してこの定理を指すようになり、「ウィテカー・コテルニコフ・シャノン（WKS）サンプリング定理」や「ウィテカー・コテルニコフ・ラーベ・シャノン・染谷サンプリング定理」といったキャッチフレーズが生まれた。混乱を避けるため、「すべての主張者にふさわしい名称を探すよりも」、サンプリング定理と呼ぶのがおそらく最善策だろう。

— エリック・メイジェリング、「古代天文学から現代の信号・画像処理までの補間年表」（引用省略）

ロシア文学では、1933年に発見したウラジミール・コテリニコフにちなんで、コテリニコフの定理として知られています。^[21]

なぜナイキストなのか?

ハリー・ナイキストがどのようにして、いつ、そしてなぜサンプリング定理に自分の名前を冠したのかは、いまだに不明である。ナイキスト・サンプリング定理（このように大文字で表記される）という用語は、1959年に彼の元勤務先であるベル研究所の書籍^[22]に既に登場し、1963年に再び登場し^[23] 、 1965年には大文字で表記されなくなった^[24]。この用語は1954年には既にシャノン・サンプリング定理と呼ばれていたが^[25] 、 1950年代初頭の他のいくつかの書籍では単にサンプリング定理と呼ばれていた。

1958年、ブラックマンとテューキーは、情報理論の標本化定理の参考文献としてナイキストの1928年の論文^[26]を引用したが、この論文は他の論文のように連続信号の標本化と再構成を扱っていない。彼らの用語集には以下の項目が含まれている。

サンプリング定理（情報理論）

ナイキストの結果によれば、最高周波数のサイクルごとに 2 つ以上のポイントを持つ等間隔のデータにより、帯域制限された関数の再構築が可能になります。(基数定理を参照)

基数定理（補間理論）

等間隔の点の二重無限集合で与えられた値が関数の助けを借りて連続帯域制限関数を生成するために補間される条件の正確な記述。 $${\displaystyle {\frac {\sin(x-x_{i})}{x-x_{i}}}.}$$

彼らが言及している「ナイキストの結果」が正確に何なのかは謎のままです。

シャノンが1949年の論文で標本化定理を述べ、証明した際、マイエリング^[20]によれば、「彼は臨界標本化間隔を、ナイキストが電信におけるこの間隔の根本的な重要性を発見したことを踏まえ、帯域に対応するナイキスト間隔と呼んだ」という。これは、ナイキストの名前が臨界間隔には使われているが、定理には使われていないことを説明するものである。 ${\displaystyle T={\frac {1}{2W}}}$ ${\displaystyle W,}$

同様に、1953年にハロルド・S・ブラックによってナイキスト速度にナイキストの名前が付けられました。

本質的な周波数範囲が1秒あたりのサイクル数に限定されている場合、ピーク干渉が量子ステップの半分未満であると仮定すると、1秒あたりに明確に分解できる最大の符号要素数としてナイキストによって与えられました。このレートは一般にナイキストレートでの信号伝送と呼ばれ、ナイキスト間隔とも呼ばれています。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2B}}}$

— ハロルド・ブラック、変調理論^[27]（太字は強調のため、斜体は原文のまま）

オックスフォード英語辞典によると、これがナイキスト周波数という用語の由来である可能性がある。ブラックの用法では、これはサンプリング周波数ではなく、信号周波数を指す。

参照

• 44,100 Hzは、人間の聴覚の限界とサンプリング定理に基づいて、可聴周波数をサンプリングするために使用される慣習的なレートです。
• バリアン・ロー定理は、サンプリングレートに関する同様の理論的な下限値であるが、時間周波数変換に適用される。
• Cheung-Marks定理は、サンプリング定理による信号の復元が不適切になる可能性がある条件を規定する。
• シャノン・ハートレーの定理
• ナイキストISI基準
• ゼロ交差からの再構築
• ゼロ次ホールド
• ディラックコム

注記

1. sinc関数は変換表の202行目と102行目から得られる。
2. シャノン1949年、448ページ。

参考文献

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さらに読む

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• Marks, II, RJ編 (1993). シャノン・サンプリングと補間理論の高度な話題(PDF) . Springer Texts in Electrical Engineering. Springer. doi :10.1007/978-1-4613-9757-1. ISBN 978-1-4613-9757-12011年10月6日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF）
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• アンサー、マイケル (2000年4月). 「サンプリング - シャノンの50年後」(PDF) . Proc. IEEE . 88 (4): 569– 587. doi :10.1109/5.843002. S2CID  11657280. 2022年11月3日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) .

外部リンク

• シミュレーションによる学習 不適切なサンプリングの影響のインタラクティブなシミュレーション
• ウェブデモでのサンプリングと再構築のインタラクティブなプレゼンテーション シュトゥットガルト大学電気通信研究所
• アンダーサンプリングとその応用
• デジタルオーディオのサンプリング理論
• サンプリング理論に特化したジャーナル
• Huang, J.; Padmanabhan, K.; Collins, OM (2011年6月). 「定振幅・可変幅パルスにおけるサンプリング定理」. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers . 58 (6): 1178–90 . Bibcode :2011ITCSR..58.1178H. doi :10.1109/TCSI.2010.2094350. S2CID  13590085.
• ルーク、ハンス・ディーター（1999年4月）。 「サンプリング定理の起源」(PDF)。IEEE コミュニケーション マガジン。37 (4 ) : 106–108。CiteSeerX 10.1.1.163.2887 。土井：10.1109/35.755459。 

Sufficiency theorem for reconstructing signals from samples

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