コヒーレント束

数学、特に代数幾何学と複素多様体理論において、連接層は、基礎となる空間の幾何学的性質と密接に結びついた層のクラスである。連接層の定義は、この幾何学的情報を体系化する環の層を参照する。

連接層はベクトル束の一般化と見ることができます。ベクトル束とは異なり、連接層はアーベル圏を形成するため、核、像、余核の取得などの操作に対して閉じています。 準連接層は連接層の一般化であり、無限階数の局所自由層を含みます。

コヒーレント層コホモロジーは、特に与えられたコヒーレント層のセクションを研究するための強力な手法です。

定義

環空間上の準コヒーレント層とは、局所表示を持つ-モジュールの層であり、つまり、内の各点には、正確な列が存在する開近傍が存在する。 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $X$ $U$

{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0

いくつかの（おそらく無限の）集合およびに対して。 $I$ $J$

環空間上の連接層は、次の 2 つの特性を満たす-加群の層です。 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {O}}_{X}$

${\mathcal {F}}$ は上有限型である、つまり内の任意の点は内の開近傍を持ち、ある自然数に対して射影射が存在する。 ${\mathcal {O}}_{X}$ $X$ $U$ $X$ ${\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}$ $n$
任意の開集合、任意の自然数、および - 加群の任意の射に対して、の核は有限型です。 $U\subseteq X$ $n$ $\varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $\varphi$

(準)コヒーレント層間の射影は - 加群の層の射影と同じである。 ${\mathcal {O}}_{X}$

スキームの場合

がスキームである場合、上記の一般的な定義はより明示的な定義と同値です。-加群の層が準連立的であるための必要十分条件は、各開アフィン部分スキーム上で、制約が上の加群に関連付けられた層と同型である場合です。が局所ノイザンスキームである場合、が連立的であるための必要十分条件は、それが準連立的であり、かつ上記の加群が有限生成であるとみなせる場合です。 $X$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $U=\operatorname {Spec} A$ ${\mathcal {F}}|_{U}$ ${\tilde {M}}$ $M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})$ $A$ $X$ ${\mathcal {F}}$ $M$

アフィンスキームにおいて、 - 加群から準連接層へのカテゴリの同値性が存在し、これはの付随層に加群を乗せるものである。逆の同値性は、の大域切断の-加群に準連接層を乗せるものである。 $U=\operatorname {Spec} A$ $A$ $M$ ${\tilde {M}}$ ${\mathcal {F}}$ $U$ $A$ ${\mathcal {F}}(U)$ ${\mathcal {F}}$

ここではスキーム上の準コヒーレント層のさらなる特徴付けをいくつか示す。^[1]

定理— をスキームとし、その上の -加群とする。このとき、以下の2つは同値である。 $X$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {O}}_{X}$

${\mathcal {F}}$ 準一貫性がある。
の各開アフィン部分スキームに対して、は、何らかの- 加群に関連付けられた層に - 加群として同型です。 $U$ $X$ ${\mathcal {F}}|_{U}$ ${\mathcal {O}}_{U}$ ${\tilde {M}}$ ${\mathcal {O}}(U)$ $M$
の開アフィン被覆が存在し、被覆のそれぞれに対して、はある - 加群に関連付けられた層と同型です。 $\{U_{\alpha }\}$ $X$ $U_{\alpha }$ ${\mathcal {F}}|_{U_{\alpha }}$ ${\mathcal {O}}(U_{\alpha })$
の各開アフィン部分スキームのペアに対して、自然準同型 $V\subseteq U$ $X$
${\mathcal {O}}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}(U)}{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),\,f\otimes s\mapsto f\cdot s|_{V}$

同型です。

の各開アフィン部分スキームおよび各に対し、がゼロでないの開部分スキームについて書くと、自然準同型 $U=\operatorname {Spec} A$ $X$ $f\in A$ $U_{f}$ $U$ $f$
${\mathcal {F}}(U){\bigg [}{\frac {1}{f}}{\bigg ]}\to {\mathcal {F}}(U_{f})$

は同型である。準同型性は局所化の普遍的性質に由来する。

プロパティ

任意の環空間上では、準連接層は必ずしもアーベル圏を形成するわけではない。一方、任意のスキーム上の準連接層はアーベル圏を形成し、その文脈においては非常に有用である。^[2]

任意の環空間上で、連接層はアーベル圏、つまり-加群の圏の完全な部分圏を形成する。^[3] （同様に、任意の環上の連接加群の圏は、すべての -加群の圏の完全な部分圏である。）したがって、任意の連接層の写像の核、像、余核は連接である。2つの連接層の直和は連接である。より一般的には、 2つの連接層の拡張である -加群は連接である。^[4] $X$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $A$ $A$ ${\mathcal {O}}_{X}$

連接層の部分加群は、有限型であれば連接層である。連接層は常に有限表示の -加群であり、これはの各点が開近傍を持ち、への制約が何らかの自然数およびに対する射の余核と同型であることを意味する。が連接ならば、逆に上の有限表示のすべての層は連接層である。 ${\mathcal {O}}_{X}$ $x$ $X$ $U$ ${\mathcal {F}}|_{U}$ ${\mathcal {F}}$ $U$ ${\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}$ $n$ $m$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{X}$

環の層は、それ自身の加群の層として考えたときに連接的であるとき、連接的と呼ばれる。特に、岡の連接定理は、複素解析空間上の正則関数の層が環の連接層であることを述べている。証明の主要部分はの場合である。同様に、局所ノイザンスキーム上では、構造層は環の連接層である。^[5] ${\mathcal {O}}_{X}$ $X$ $X=\mathbf {C} ^{n}$ $X$ ${\mathcal {O}}_{X}$

連接層の基本構成

環空間上の-加群は、のすべての点が開近傍を持ち、その制約がのコピーの有限直和に同型であるとき、局所的に有限階数から自由である、あるいはベクトル束と呼ばれる。のすべての点の近傍でが同じ階数から自由である場合、ベクトル束は階数であると言われる。 ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {F}}$ $X$ $X$ $U$ ${\mathcal {F}}|_{U}$ ${\mathcal {O}}_{X}|_{U}$ ${\mathcal {F}}$ $n$ $X$ ${\mathcal {F}}$ $n$

スキーム上のこの層論的な意味でのベクトル束は、より幾何学的な方法で定義されたベクトル束、すなわちの射を持ち上の同型を持つ開集合によるの被覆を持つスキームとして定義されるベクトル束と同値であり、交差上の 2 つの同型は線型自己同型によって異なる。^[6]（同様の同値性は複素解析空間についても成り立つ。）たとえば、この幾何学的な意味でのベクトル束が与えられた場合、対応する層は次のように定義される。の開集合上、- 加群は射の切断の集合である。ベクトル束の層論的解釈には、（局所ノイザンスキーム上の）ベクトル束が連接層のアーベルカテゴリに含まれるという利点がある。

X

E

\pi :E\to X

X

U_{\alpha }

\pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }

U_{\alpha }

U_{\alpha }\cap U_{\beta }

E

{\mathcal {F}}

U

X

{\mathcal {O}}(U)

{\mathcal {F}}(U)

\pi ^{-1}(U)\to U

局所自由層には標準の-module 演算が備わっていますが、これによって局所自由層が返されます。^[^曖昧^] ${\mathcal {O}}_{X}$

をネーター環とする。すると、上のベクトル束は、上の有限生成射影加群、あるいは（同値に）上の有限生成平坦加群に付随する層と全く同じになる。^[7] $X=\operatorname {Spec} (R)$ $R$ $X$ $R$ $R$
ネーター環をネーター環上の射影スキームとする。すると、各次数加群は上の準連接層を決定する。この層は加群に付随する層であり、はの同次元（正の次数）であり、はが零とならない軌跡である。 $X=\operatorname {Proj} (R)$ $R$ $\mathbb {N}$ $R_{0}$ $\mathbb {Z}$ $R$ $M$ ${\mathcal {F}}$ $X$ ${\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}$ $R[f^{-1}]_{0}$ $M[f^{-1}]_{0}$ $f$ $R$ $\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}$ $f$
例えば、各整数に対して、によって与えられる次数付き - 加群をとします。すると、それぞれは上の準連接層を決定します。がによって - 代数として生成される場合、は上の直線束（可逆層）であり、はの- 乗テンソル冪です。特に、は射影 - 空間上のトートロジー直線束と呼ばれます。 $n$ $R(n)$ $R$ $R(n)_{l}=R_{n+l}$ $R(n)$ ${\mathcal {O}}_{X}(n)$ $X$ $R$ $R_{0}$ $R_{1}$ ${\mathcal {O}}_{X}(n)$ $X$ ${\mathcal {O}}_{X}(n)$ $n$ ${\mathcal {O}}_{X}(1)$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)$ $n$
ベクトル束ではないコヒーレント層の簡単な例は、次のシーケンスのコカーネルによって与えられます。 $\mathbb {P} ^{2}$

{\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0

これは、2 つの多項式の消失軌跡に制限すると 2 次元のファイバーを持ち、それ以外の場合は 1 次元のファイバーを持つためです。

{\mathcal {E}}

イデアル層：が局所ノイザンスキームの閉部分スキームである場合、上で消滅するすべての正則関数の層は連接的である。同様に、が複素解析空間の閉解析部分空間である場合、イデアル層は連接的である。 $Z$ $X$ ${\mathcal {I}}_{Z/X}$ $Z$ $Z$ $X$ ${\mathcal {I}}_{Z/X}$
局所ノイザンスキームの閉部分スキームの構造層は、上の連接層とみなすことができます。正確には、これは直接像層であり、は包含です。複素解析空間の閉解析部分空間についても同様です。層は、開集合内の点に次元0のファイバー（以下で定義）を持ち、内の点に次元1のファイバーを持ちます。上には連接層の短い正確な列があります。 ${\mathcal {O}}_{Z}$ $Z$ $X$ $X$ $i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$ $i:Z\to X$ $i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$ $X-Z$ $Z$ $X$

0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.

線型代数の演算のほとんどは連接層を保存する。特に、環空間上の連接層とに対して、テンソル積層と準同型層は連接である。^[8] ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$ $X$ ${\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}$ ${\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})$
準連接層の単純な非例は、零関手による拡大によって与えられる。例えば、 $i_{!}{\mathcal {O}}_{X}$

X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y

^[9]

この層は非自明な茎を持つが、大域切断はゼロであるため、準連接層にはなり得ない。これは、アフィンスキーム上の準連接層は基底環上の加群の圏と同値であり、この随伴は大域切断を取ることから生じるためである。

関数性

を環空間の射とする（例えば、スキームの射）。が上の準連接層である場合、逆像- 加群（またはプルバック）は上で準連接である。^[10]スキームの射と上の連接層に対して、プルバックは完全な一般性において連接ではない（例えば、は連接しない可能性がある）が、が局所ノイザンである場合、連接層のプルバックは連接である。重要な特殊なケースとして、ベクトル束のプルバックがあり、これはベクトル束である。 $f:X\to Y$ ${\mathcal {F}}$ $Y$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $f^{*}{\mathcal {F}}$ $X$ $f:X\to Y$ ${\mathcal {F}}$ $Y$ $f^{*}{\mathcal {F}}$ $f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}$ $X$

がスキームの準コンパクト準分離射であり、が上の準連立層である場合、直接像層（またはプッシュフォワード）は上で準連立である。^[2] $f:X\to Y$ ${\mathcal {F}}$ $X$ $f_{*}{\mathcal {F}}$ $Y$

連接層の直接像はしばしば連接しない。例えば、体に対して、上のアフィン直線とし、射を考える。すると、直接像は多項式環に付随する上の層となるが、これは -ベクトル空間として無限次元を持つため連接しない。一方、グラウエルトとグロタンディークの結果によれば、固有射による連接層の直接像は連接である。 $k$ $X$ $k$ $f:X\to \operatorname {Spec} (k)$ $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ $\operatorname {Spec} (k)$ $k[x]$ $k[x]$ $k$

連接層の局所的挙動

連接層の重要な特徴は、任意の層の場合以上に、ある点におけるの特性がの近傍におけるの挙動を制御するということである。例えば、中山の補題は（幾何学的言語で）がスキーム上の連接層である場合、（留数体上のベクトル空間）ある点におけるのファイバーが0 となるのは、層がのある開近傍上で 0 となる場合のみである、ということを述べている。関連する事実は、連接層のファイバーの次元が上半連続であることである。^[11]したがって、連接層は開集合上では一定の階数を持ち、一方、より低次元の閉部分集合上では階数が急上昇することがある。 ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ $x$ ${\mathcal {F}}$ $x$ ${\mathcal {F}}$ $X$ ${\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)$ $F$ $x$ $k(x)$ ${\mathcal {F}}$ $x$

同様の考え方で、スキーム上の連接層がベクトル束となるための必要十分条件は、その茎が内の任意の点に対して局所環上の自由加群となることである。^[12] ${\mathcal {F}}$ $X$ ${\mathcal {F}}_{x}$ ${\mathcal {O}}_{X,x}$ $x$ $X$

一般的なスキームでは、連接層がベクトル束であるかどうかを、その繊維（茎ではなく）からのみ判断することはできません。しかし、縮約された局所ノイザンスキームでは、連接層がベクトル束であるための必要十分条件は、そのランクが局所的に一定であることです。^[13]

ベクトル束の例

スキームの射について、を対角射とし、が上で分離している場合、これは閉じた浸漬となります。をにおけるのイデアル層とします。すると、微分層はをに引き戻すことで定義できます。この層の切断は上の1-形式と呼ばれ、上で局所的に正則関数との有限和として書くことができます。が体上で局所的に有限型である場合、は上の連接層です。 $X\to Y$ $\Delta :X\to X\times _{Y}X$ $X$ $Y$ ${\mathcal {I}}$ $X$ $X\times _{Y}X$ $\Omega _{X/Y}^{1}$ $\Delta ^{*}{\mathcal {I}}$ ${\mathcal {I}}$ $X$ $X$ $Y$ $X$ $\textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}$ $f_{j}$ $g_{j}$ $X$ $k$ $\Omega _{X/k}^{1}$ $X$

が上滑らかである場合、（つまり）は上ベクトル束であり、の余接束と呼ばれる。このとき、接束は双対束と定義される。の次元上においてあらゆる点で滑らかである場合、接束の階数はである。 $X$ $k$ $\Omega ^{1}$ $\Omega _{X/k}^{1}$ $X$ $X$ $TX$ $(\Omega ^{1})^{*}$ $X$ $k$ $n$ $n$

が上の滑らかなスキームの滑らかな閉部分スキームである場合、上にベクトル束の短完全列が存在する。 $Y$ $X$ $k$ $Y$

0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,

これはの通常のバンドル の定義として使用できます。 $N_{Y/X}$ $Y$ $X$

体と自然数上の滑らかなスキームに対して、上のi -形式のベクトル束は、余接束の- 次外冪として定義されます。上の滑らかな次元の多様体に対して、正準束は直線束を意味します。したがって、正準束の切断は、上の体積形式の代数幾何学的な類似物です。例えば、上のアフィン空間の正準束の切断は、次のように書くことができます。 $X$ $k$ $i$ $\Omega ^{i}$ $X$ $i$ $\Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}$ $X$ $n$ $k$ $K_{X}$ $\Omega ^{n}$ $X$ $\mathbb {A} ^{n}$ $k$

f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},

ここで、はの係数を持つ多項式です。 $f$ $k$

を可換環とし、を自然数とする。各整数に対し、上の射影空間上の直線束の重要な例があり、と呼ばれる。これを定義するには、 -スキームの射影を考える。 $R$ $n$ $j$ $\mathbb {P} ^{n}$ $R$ ${\mathcal {O}}(j)$ $R$

\pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}

座標で与えられる。（つまり、射影空間をアフィン空間の1次元線型部分空間の空間として考え、アフィン空間内の非零点をそれが張る直線に送る。）すると、の開部分集合上の切断は、次同次である上の正則関数として定義され、これは $(x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]$ ${\mathcal {O}}(j)$ $U$ $\mathbb {P} ^{n}$ $f$ $\pi ^{-1}(U)$ $j$

f(ax)=a^{j}f(x)

は ( 上の正規関数として存在します。すべての整数とに対して、上の直線束の同型性があります。 $\mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)$ $i$ $j$ ${\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)$ $\mathbb {P} ^{n}$

特に、上の次数のにおける任意の同次多項式は、上のの大域切断と見なすことができます。射影空間の任意の閉部分スキームは、同次多項式の何らかの集合の零点集合として定義でき、したがって、直線束の何らかの切断の零点集合として定義できることに留意してください。^[14]これは、閉部分スキームが単に何らかの正則関数の集合の零点集合である、より単純なアフィン空間の場合とは対照的です。上の射影空間上の正則関数は単なる「定数」（環）であるため、直線束を扱うことが不可欠です。 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ $j$ $R$ ${\mathcal {O}}(j)$ $\mathbb {P} ^{n}$ ${\mathcal {O}}(j)$ $\mathbb {P} ^{n}$ $R$ $R$ ${\mathcal {O}}(j)$

セールは、射影空間上のすべての連接層の代数的記述を与えたが、これはアフィン空間で起こることよりも微妙である。すなわち、をノイザン環（たとえば体）とし、多項式環をそれぞれが次数 1 である次数付き環として考える。すると、すべての有限生成次数付き - 加群は、上の関連する連接層を持つ。上のすべての連接層は、このようにして有限生成次数付き - 加群から生じる。（たとえば、直線束は、次数がだけ下げられた -加群に関連する層である。）しかし、上の特定の連接層を生成する- 加群は一意ではなく、有限次数のみで非ゼロである次数付き加群によって変更する場合を除いて一意である。より正確には、上の連接層のアーベル圏は、有限生成次数付き加群の圏を有限次数のみで非零である加群のセール部分圏で割ったものである。 ^[15] $R$ $S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ $x_{i}$ $S$ $M$ ${\tilde {M}}$ $\mathbb {P} ^{n}$ $R$ $\mathbb {P} ^{n}$ $S$ $M$ ${\mathcal {O}}(j)$ $S$ $S$ $j$ $S$ $M$ $\mathbb {P} ^{n}$ $M$ $\mathbb {P} ^{n}$ $S$

体上の射影空間の接束は、直線束を用いて記述できる。つまり、オイラー列という短い完全列が存在する。 $\mathbb {P} ^{n}$ $k$ ${\mathcal {O}}(1)$

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.

正準バンドル（接バンドルの行列式直線バンドルの双対）はと同型となる。これは代数幾何学における基本的な計算である。例えば、正準バンドルが豊満直線バンドルの負の倍数であるという事実は、射影空間がファノ多様体であることを意味する。複素数上では、これは射影空間が正のリッチ曲率を持つケーラー計量を持つことを意味する。 $K_{\mathbb {P} ^{n}}$ ${\mathcal {O}}(-n-1)$ ${\mathcal {O}}(1)$

超曲面上のベクトル束

次数の斉次多項式によって定義される滑らかな次数超曲面を考える。このとき、正確な数列が存在する。 $d$ $X\subseteq \mathbb {P} ^{n}$ $f$ $d$

0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0

ここで、2番目の写像は微分形式の引き戻しであり、1番目の写像は

\phi \mapsto d(f\cdot \phi )

この数列はがにおけるの余正規層であることを示している。これを双対化すると、正確な数列が得られる。 ${\mathcal {O}}(-d)$ $X$ $\mathbb {P} ^{n}$

0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(d)\to 0

したがって、はにおけるの正規束である。正確なシーケンスが与えられたという事実を用いると、 ${\mathcal {O}}(d)$ $X$ $\mathbb {P} ^{n}$

0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{3}\to 0

階数、、のベクトル束には同型性がある $r_{1}$ $r_{2}$ $r_{3}$

\Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1}}{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}

線束の同型性が存在することがわかる。

i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)

それを示している

\omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(d-n-1)

セール構成とベクトル束

階数2のベクトル束を構築するための有用な手法の一つに、Serre構成法^[16]^[17]^{pg 3}がある。これは、滑らかな射影多様体上の階数2のベクトル束と余次元2の部分多様体との間の対応を、上で計算された特定の-群を用いて確立するものである。これは直線束上のコホモロジー条件によって与えられる（下記参照）。 ${\mathcal {E}}$ $X$ $Y$ ${\text{Ext}}^{1}$ $X$ $\wedge ^{2}{\mathcal {E}}$

一方向の対応は次のように与えられる：切断に対しては消失軌跡を関連付けることができる。が余次元2の部分多様体である場合、 $s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})$ $V(s)\subseteq X$ $V(s)$

これは局所完全交差であり、アフィンチャートをとれば関数として表すことができ、ここで、 $U_{i}\subseteq X$ $s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})$ $s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}$ $s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))$ $V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})$
直線束は、 $\omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}$ $\omega _{V(s)}$ $V(s)$

逆の方向では、^[18]次元2の部分多様体と直線束に対して、 $Y\subseteq X$ ${\mathcal {L}}\to X$

$H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0$
$\omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}$

標準同型性がある

${\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})$ 、

これは余次元部分多様体の包含に関して関数的である。さらに、左辺に与えられた同型は、右辺の拡大の中央にある局所自由層に対応する。つまり、同型であるに対して、対応するランク2の局所自由層が存在し、これは短完全列に収まる。 $2$ $s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})$ ${\mathcal {E}}$

$0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0$

このベクトル束は、コホモロジー不変量を用いてさらに研究することで、安定かどうかを判定することができます。これは、主分極アーベル多様体^[17]やK3曲面^[19]など、多くの特定のケースにおける安定ベクトル束のモジュライの研究の基礎となります。

チャーン類と代数K-理論

体上の滑らかな多様体上のベクトル束は、のチャウ環に、に対してチャーン類を持つ。^[20]これらは位相におけるチャーン類と同じ形式的性質を満たす。例えば、任意の短完全列に対して $E$ $X$ $X$ $c_{i}(E)$ $CH^{i}(X)$ $i\geq 0$

0\to A\to B\to C\to 0

上のベクトル束のチャーン類は次のように与えられる。 $X$ $B$

c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).

したがって、ベクトル束のチャーン類は、グロタンディーク群におけるの類にのみ依存する。定義により、スキームに対して、は、上のベクトル束の同型類の集合上の自由アーベル群を、上記の任意の短完全列に対してという関係で割った商である。は一般に計算が困難であるが、代数K理論は、整数に対する関連群の列など、それを研究するための多くのツールを提供している。 $E$ $E$ $K_{0}(X)$ $X$ $K_{0}(X)$ $X$ $[B]=[A]+[C]$ $K_{0}(X)$ $K_{i}(X)$ $i>0$

変形は群(または)、つまり上の連接層のグロタンディーク群です。(位相的に言えば、G理論はスキームのボレル–ムーアホモロジー理論の形式的性質を持ち、K理論は対応するコホモロジー理論です。) が正則分離ノイザンスキームである場合、自然な準同型は同型であり、その場合、すべての連接層はベクトル束によって有限の分解を持つことを使います。^[21]例えば、は体上の滑らかな多様体上の連接層のチャーン類の定義を与えます。 $G_{0}(X)$ $K_{0}'(X)$ $X$ $K_{0}(X)\to G_{0}(X)$ $X$

より一般的には、ネーター環上の任意の連接層が上の任意のベクトル束からの射影を持つとき、ネーター環スキームは解法性を持つと言われる。例えば、ネーター環上の任意の準射影スキームは解法性を持つ。 $X$ $X$ $X$

解像度特性の応用

導出特性は、ノイザンスキーム上の連接層が導来カテゴリにおいてベクトル束の複体と準同型であることを述べているので、の全チャーン類を次のように計算することができる。 ${\mathcal {E}}$ ${\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}$ ${\mathcal {E}}$

c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}_{0})c({\mathcal {E}}_{1})^{-1}\cdots c({\mathcal {E}}_{k})^{(-1)^{k}}

例えば、この式はの部分スキームを表す層のチャーン類を求めるのに便利です。イデアルに関連付けられた射影スキームをとると、 $X$ $Z$ $(xy,xz)\subseteq \mathbb {C} [x,y,z,w]$

c({\mathcal {O}}_{Z})={\frac {c({\mathcal {O}})c({\mathcal {O}}(-3))}{c({\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2))}}

解決策があるから

0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0

以上。 $\mathbb {CP} ^{3}$

束準同型と層準同型

ベクトル束と有限定数階の局所自由層を互換的に用いる場合、束準同型と層準同型を区別することに注意する必要がある。具体的には、ベクトル束が与えられたとき、定義により、束準同型とは（すなわち）上のスキーム射であり、内の各幾何学的点に対してはに独立な階数の線型写像となる。したがって、対応する局所自由 -加群（双対切断の層）間には、定数階数の層準同型が誘導される。しかし、このようにして生じない -加群準同型、すなわち定数階数を持たないものが存在する可能性がある。 $p:E\to X,\,q:F\to X$ $\varphi :E\to F$ $X$ $p=q\circ \varphi$ $x$ $X$ $\varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)$ $x$ ${\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{X}$

特に、部分束は部分層である（すなわち、はの部分層である）。しかし、逆は成り立たない。例えば、上の実効カルティエ因子の場合、は部分層であるが、通常は部分束ではない（任意の直線束は2つの部分束しか持たないため）。 $E\subseteq F$ ${\mathcal {E}}$ ${\mathcal {F}}$ $D$ $X$ ${\mathcal {O}}_{X}(-D)\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$

準連接層のカテゴリ

任意の固定スキーム上の準連接層はアーベル圏を形成する。ガッバーは、実際には任意のスキーム上の準連接層が特に行儀の良いアーベル圏、すなわちグロタンディーク圏を形成することを示した。^[22]準コンパクト準分離スキーム（体上の代数多様体など）は、ガブリエルの結果を一般化したローゼンバーグによって、上の準連接層のアーベル圏によって同型性を除いて決定される。^[23] $X$ $X$

コヒーレントコホモロジー

代数幾何学における基本的な技術的ツールは、連接層のコホモロジー理論です。この理論は1950年代にようやく導入されましたが、それ以前の代数幾何学の多くの手法は、連接層に適用される層コホモロジーという言語によって明確化されました。大まかに言えば、連接層コホモロジーは、特定の性質を持つ関数を生成するためのツールと見なすことができます。つまり、直線束やより一般的な層の切断は、一般化された関数と見なすことができます。複素解析幾何学においても、連接層コホモロジーは基礎的な役割を果たしています。

連接層コホモロジーの主な成果としては、コホモロジーの有限次元性、さまざまなケースにおけるコホモロジーの消滅、セール双対性などの双対性定理、ホッジ理論などの位相幾何学と代数幾何学の関係、リーマン・ロッホの定理などの連接層のオイラー特性の公式などがあります。

参照

注記

^ Mumford 1999、第III章、§1、定理定義3。
^ ab Stacks Project、タグ 01LA。
^ スタックスプロジェクト、タグ01BU。
^ セール 1955, §13
^ Grothendieck & Dieudonné 1960、Corollaire 1.5.2
^ ハーツホーン 1977、演習 II.5.18
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^ セール 1955, §14
^ ハーツホーン 1977
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^ ハーツホーン 1977、例 III.12.7.2
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参考文献

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外部リンク

スタックス・プロジェクトの著者、スタックス・プロジェクト
ヴァキル、ラヴィ『昇る海』第5部

[1] Mumford 1999、第III章、§1、定理定義3。

[St01LA-2] Stacks Project、タグ 01LA。

[St01BU-3] スタックスプロジェクト、タグ01BU。

[4] セール 1955, §13

[5] Grothendieck & Dieudonné 1960、Corollaire 1.5.2

[6] ハーツホーン 1977、演習 II.5.18

[St00NV-7] スタックスプロジェクト、タグ 00NV。

[8] セール 1955, §14

[9] ハーツホーン 1977

[St01BG-10] スタックスプロジェクト、タグ 01BG。

[11] ハーツホーン 1977、例 III.12.7.2

[12] Grothendieck & Dieudonné 1960, Ch. 0, 5.2.7

[13] アイゼンバッド 1995、演習 20.13

[14] ハーツホーン 1977、系 II.5.16

[St01YR-15] Stacksプロジェクト、タグ01YR。

[16] ジャン・ピエール・セール (1960–1961)。「モジュールプロジェクト」。セミネール・デュブレイユ。 Algèbre et théorie des nombres (フランス語)。14（1）：1～ 16。

[:0-17] Gulbrandsen, Martin G. (2013-05-20). 「アーベル三重多様体上のベクトル束とモナド」(PDF) . Communications in Algebra . 41 (5): 1964– 1988. arXiv : 0907.3597 . doi :10.1080/00927872.2011.645977. ISSN 0092-7872.

[18] Hartshorne, Robin (1978). 「P3上の階数2の安定ベクトル束」 . Mathematische Annalen . 238 (3): 229– 280. doi :10.1007/BF01420250.

[19] Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred (2010). The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves. Cambridge Mathematical Library (第2版). Cambridge: Cambridge University Press. pp. 123– 128, 238– 243. doi :10.1017/cbo9780511711985. ISBN 978-0-521-13420-0。

[20] Fulton 1998、§3.2および例8.3.3

[21] フルトン 1998, B.8.3

[St077K-22] スタックスプロジェクト、タグ077K。

[23] アンティオー 2016、系4.2