鋭角三角形と鈍角三角形

Triangles without a right angle

鋭角三角形（または鋭角三角形）は、3つの鋭角（90°未満）を持つ三角形です。鈍角三角形（または鈍角三角形）は、1つの鈍角（90°より大きい）と2つの鋭角を持つ三角形です。ユークリッド幾何学では三角形の角の和は必ず180°になるため、ユークリッド三角形は2つ以上の鈍角を持つことはできません。

鋭角三角形と鈍角三角形は、斜三角形の 2 つの異なるタイプです。斜三角形は、直角(90°)がないため、直角三角形ではありません。

右	鈍感な	急性
	${\displaystyle \quad \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}}$
	斜め

プロパティ

すべての三角形において、重心（各頂点と対辺の中点を結ぶ中線の交点）と内心（3辺すべてに内接する円の中心）は三角形の内部にあります。しかし、垂心と外心は鋭角三角形では内部にありますが、鈍角三角形では外部にあります。

垂心は、三角形の3つの高低差の交点です。高低差は、それぞれが辺と対角の頂点を垂直に結んでいます。鋭角三角形の場合、これら3つの線分はすべて三角形の内部に完全に含まれ、内部で交差します。しかし、鈍角三角形の場合、2つの鋭角からの高低差は、対辺の延長線とのみ交差します。これらの高低差は三角形の外側に完全に位置するため、三角形の外部で互いに（そして鈍角の頂点からの延長線と）交差します。

同様に、三角形の外心（3 辺の垂直二等分線の交点、つまり 3 つの頂点すべてを通る円の中心）は、鋭角三角形の内側にありますが、鈍角三角形の外側にあります。

直角三角形は中間的なケースであり、外心と垂心の両方が境界線上にあります。

任意の三角形において、任意の2つの角度AとB 、すなわち対辺aとbは^{[1] ：p.264}に従って関係付けられる。

${\displaystyle A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b.}$

これは、鈍角三角形の最長の辺が、鈍角の頂点の反対側にある辺であることを意味します。

鋭角三角形には3つの内接正方形があり、それぞれの一辺は三角形の一辺の一部と、残りの二辺にある正方形の他の2つの頂点と一致します。（直角三角形では、これらのうち2つが同じ正方形に統合されるため、内接正方形は2つしかありません。）しかし、鈍角三角形には内接正方形が1つしかなく、その1つの辺は三角形の最長辺の一部と一致します。^{[2] : p. 115}

オイラー線が一辺に平行な三角形はすべて鋭角三角形である。 ^[3]この性質は、BCの辺に対して成立し、かつ、 ${\displaystyle (\tan B)(\tan C)=3.}$

不平等

サイド

角Cが鈍角の場合、辺a、b、cについては^{[4] ：p.1、#74}となる。

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},}$

左の不等式は、二等辺三角形の頂角が 180° に近づくときにのみ極限で等式に近づき、右の不等式は、鈍角が 90° に近づくときにのみ等式に近づきます。

三角形が鋭角の場合

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$

高度

Cが最大角で、h _cが頂点Cからの高さである場合、鋭角三角形^{[4] ：p.135、#3109}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},}$

C が鈍角の場合は逆の不等式になります。

中央値

最長辺がcで、他の辺からの中線が m _aとm _b^{の場合、 [4] : p.136, #3110}

${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}$

鋭角三角形の場合は不等式が成り立ちますが、鈍角三角形の場合は不等式が逆になります。

最長辺からの中線m _{c は}、鋭角三角形では外接半径よりも大きく、鈍角三角形では外接半径よりも小さい。^{[4] : p.136, #3113}

${\displaystyle m_{c}>R}$

鋭角三角形の場合はその逆、鈍角三角形の場合はその逆になります。

エリア

面積Aに対する小野の不等式、

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},}$

すべての鋭角三角形に当てはまりますが、すべての鈍角三角形に当てはまるわけではありません。

三角関数

鋭角三角形の場合、角A、B、Cについて、^{[4] ：p.26、#954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

鈍角三角形の場合は逆の不等式が成り立ちます。

外接半径Rの鋭角三角形については、^{[4] ：p.141、#3167}

${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}}$

[ ^{4] : p.155、#S25}

${\displaystyle \cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.}$

鋭角三角形の場合、^{[4] ：p.115、#2874}

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,}$

鈍角三角形の場合は逆の不等式となります。

鋭角三角形の場合、^{[4] ：p178、#241.1}

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.}$

任意の三角形において、三重接線恒等式は、各角の接線の和がその積に等しいことを示しています。鋭角は正の接線値を持ち、鈍角は負の接線値を持つため、接線の積の式は次のようになります。

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0}$

鋭角三角形の場合は不等式の方向が逆になり、鈍角三角形の場合は不等式の方向が逆になります。

^{[4] : p.26, #} 958

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)}$

鋭角三角形の場合はその逆、鈍角三角形の場合はその逆になります。

すべての鋭角三角形について、^{[4] : p.40, #1210}

${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.}$

内接半径 rと外接半径 Rを持つすべての鋭角三角形について、^{[4] ：p.53、#1424}

${\displaystyle a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$

面積Kの鋭角三角形の場合、^{[4] ：p.103、#2662}

${\displaystyle ({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.}$

外半径、内半径、外半径

鋭角三角形では、外接半径Rと内接半径rの和は、最も短い辺aとbの和の半分より小さい：^{[4] ：p.105、#2690}

${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$

一方、鈍角三角形の場合は逆の不等式が成り立ちます。

中線が m _a、m _b、m _cで外接半径がRである鋭角三角形の場合、 ^{[4] ：p.26、#954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

一方、鈍角三角形の場合は逆の不等式が成り立ちます。

また、鋭角三角形は^{[4] ：p.26、#954 を満たす。}

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

外接円の半径r _a、 r _b、 r _cに関しても、鈍角三角形の場合は逆の不等式が成り立ちます。

半周長sの鋭角三角形の場合、^{[4] ：p.115、#2874}

${\displaystyle s-r>2R,}$

鈍角三角形の場合は逆の不等式が成り立ちます。

面積Kの鋭角三角形の場合、^{[4] ：p.185、#291.6}

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.}$

三角形の中心を含む距離

鋭角三角形の場合、外心Oと垂心Hの間の距離は^{[4] ：p.26、#954}を満たす。

${\displaystyle OH<R,}$

鈍角三角形の場合は逆の不等式が成り立ちます。

鋭角三角形の場合、内接円の中心Iと垂心Hの間の距離は^{[4] ：p.26、#954を}満たす。

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

ここで、rは内接円の半径であり、鈍角三角形の場合は逆の不等式が成り立ちます。

内接正方形

鋭角三角形の内接正方形の1つの辺の長さがx _aで、もう1つの辺の長さがx _bでx _a < x _bの場合、^{[2] ：p. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

2つの三角形

二つの鈍角三角形の辺が( a,b,c )と( p,q,r )で、cとrがそれぞれ最も長い辺である場合、^{[4] ：p.29、#1030}

${\displaystyle ap+bq<cr.}$

例

特別な名前を持つ三角形

カラビ三角形は、内部に収まる最大の正方形を 3 つの異なる方法で配置できる唯一の非正三角形であり、底角が 39.1320261...°、第 3 角が 101.7359477...° の鈍角および二等辺三角形です。

3 つの角が 60° である正三角形は鋭角です。

モーリーの三角形は、任意の三角形からその隣接する角の三等分線の交点によって形成され、正三角形であるため鋭角です。

黄金三角形は、二等辺三角形のうち、複製された辺と底辺の比が黄金比に等しい三角形です。鋭角で、角度は36°、72°、72°であり、角度の比率が1:2:2である唯一の三角形です。^[5]

七角形三角形は、正七角形の一辺、短い対角線、長い対角線と一致する辺を持ち、鈍角で、角度と ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$ ${\displaystyle 4\pi /7.}$

整数の辺を持つ三角形

高さと辺が連続する整数である三角形は鋭角三角形のみで、辺の長さは (13,14,15)、辺 14 からの高さは 12 です。

等差数列の整数辺を持つ最小周囲長三角形、および異なる辺を持つ最小周囲長整数辺三角形は鈍角です。つまり、辺が (2, 3, 4) の三角形です。

1つの角度が他の角度の2倍で、等差数列の整数辺を持つ三角形は鋭角三角形のみです。つまり、(4,5,6)三角形とその倍数です。^[6]

面積=周囲長 の鋭角整数三角形は存在しないが、辺^[7] (6,25,29)、(7,15,20)、(9,10,17)を持つ鈍角三角形が3つ存在する。

3つの有理数中線を持つ最小の整数辺三角形は鋭角であり、辺は^[8] （68、85、87）である。

ヘロン三角形は、辺の長さと面積が整数です。周囲長が最も短い斜ヘロン三角形は、辺の長さが(6, 5, 5)の鋭角三角形です。面積が最小となる2つの斜ヘロン三角形は、辺の長さが(6, 5, 5)の鋭角三角形と辺の長さが(8, 5, 5)の鈍角三角形で、いずれも面積は12です。

参照

• スライバートライアングル

参考文献

1. ポサメンティエ、アルフレッド・S.、レーマン、イングマール『三角形の秘密』プロメテウス・ブックス、2012年。
2. Oxman, Victor, Stupel, Moshe. 「なぜ三角形に内接する正方形の辺の長さは互いにこんなに近いのか？」Forum Geometricorum 13, 2013, 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html
3. Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, Bogdan D. Suceava, "Gossard's Perspector and Projective Consequences", Forum Geometricorum , Volume 13 (2013), 169–184. [1] 2017年8月30日アーカイブ、Wayback Machine
4. Crux Mathematicorum」で提案された不等式、[2]。
5. エラム、キンバリー (2001). 『デザインの幾何学』ニューヨーク: プリンストン・アーキテクチュラル・プレス. ISBN 1-56898-249-6。
6. ミッチェル、ダグラス W.、「2:3:4、3:4:5、4:5:6、および 3:5:7 の三角形」、 Mathematical Gazette 92、2008年7月。
7. LEディクソン、『数論の歴史』第2巻、181ページ。
8. シェルピンスキ、ヴァツワフ。『ピタゴラスの三角形』、ドーバー出版、2003 年 (原文は 1962 年)。

• ワイスタイン、エリック・W.「鋭角三角形」。マスワールド。
• ワイスタイン、エリック・W.「鈍角三角形」。MathWorld。

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