オープンノット理論

開いた結び目の理論は、開いた曲線またはフィラメントの絡み合いを数学的に一貫性のある方法で記述し、開いた曲線の位相を分類できるツールとアルゴリズムを開発することを目的としています。結び目理論という数学の分野では、結び目は閉じたループ内においてのみ考慮されます。口語的に結び目と見なされるもの、例えばオーバーハンドノットに結ばれたロープは、ロープの両端が接続されていない限り、数学的な結び目とは見なされません。開いた結び目の理論の研究は、多くの場合閉じたループを形成しないタンパク質やDNA分子における結び目の形成と特性を理解し、結び目理論と物理的な結び目の特性との関連を深めたいという願望から進められています。

結び目の端をつなぐ
開いた絡み合った曲線は、実質的に閉じています。両端が直接、または球面上の近接する2点に接続されている場合、曲線は三つ葉結び目に分類されます。両端が球面上の他の点に接続されている場合、曲線は結び目なし（緑）または三つ葉結び目（赤）になります。

事実上の閉鎖

曲線の一端から他端まで直線を引くと、実質的に曲線はループに閉じます。この仮想的な閉包の後、アレクサンダー多項式などの不変量を計算して結び目を分類できます。結び目のある曲線フィラメントの 2 つの端が互いに近いか、または結び目の深い部分から十分に離れている場合、この直接的な仮想的な閉包によってダイアグラムに新しい交差が導入されることはありません。ただし、直接的な閉包によって結び目が事実上スリップノットに変換され、結び目が実質的に消去されるか、最初の曲線には存在しない追加の複雑さが導入される構成があります。このような場合、曲線の端を、大きな半径の球など、曲線を囲む外部サーフェスへの仮想線で接続し、次に 2 本の線の端をサーフェスに沿って接続して、曲線自体に干渉しないようにすると効果的な場合があります。最小干渉閉包と呼ばれるアルゴリズムは、開いた多角形の結び目の両端が互いに近いか、結び目の凸包に近いかを判断し、短い方の経路で接続します。[ 1 ]

仮想閉包法の選択は、曲線がどのタイプの結び目と一致するかに影響を与えます。より一般的な手法として、確率的閉包法があります。これは、曲線を囲む大きな球面上に均一に分布する多数の点を選択し、それぞれの点の端点を結び、各閉包における結び目の種類を計算します。これにより、球面上の異なる領域における異なる結び目の種類の分布が得られ、地図として視覚化できます。[ 2 ]これは主に、結び目のあるタンパク質の解析に用いられます。

ノトイド図
3つのノトイド図。2つは2つの交差点、1つは3つの交差点があります。3つの交差点を持つノトイドの端にはペグが描かれており、曲線がそこを通過できないことを示しています。

ノトイドと仮想ノット

開いた曲線を特定の閉じた結び目に写像するのではなく、開いた絡み合いを分類するための概念が開発されてきました。そのような概念の一つがノトイドです。これは、曲線の両端を含む結び目図の一般化であり、2010年にTuraevによって初めて説明されました。[ 3 ]ライデマイスター移動を結び目の図に適用した場合、結び目の位相は変化しません。ノトイド図上のライデマイスター移動が曲線の一部を一方の端を越えて移動させると、ノトイドの種類が変化し、「禁制」とみなされます。この意味で、ノトイドは、両端が2本の垂直な杭に接続された、地面に置かれた結び目のついた紐と想像できます。紐を持ち上げて杭に巻き付けない限り、ノトイドの種類は変化しません。結び目と同様に、ノトイドは交差数に基づいて分類でき、それらを区別するための多項式などの不変量が導出されています。 3次元の開曲線は、投影される面に応じて異なるノトイドと整合する。確率的閉包と同様に、曲線の位相的複雑さの全体像は、多数の投影のノトイドをサンプリングすることによって決定されなければならない。自明な交差フリーノトイドに到達するために、図中の曲線を一方の端点に通過させる「禁制」ノトイド移動の最小数を計算することは可能であり、[ 4 ]これは、結び目解除数に類似した開曲線の複雑さの尺度となる。

仮想結び目は、結び目図のもう一つの一般化です。ノトイドが曖昧な閉合を扱うのに対し、仮想結び目は曖昧な交差を扱います。結び目図のある部分が別の部分の上または下を通過する場合、仮想結び目図の二つの部分は仮想交差と呼ばれる点で交わることがあります。開いた結び目の図は、両端を線で結び、端が図と交差する各点で仮想交差を作成することで、仮想結び目として扱うことができます。

結び目不変量の拡張

閉曲線の位相を分類する結び目不変量の定義は、開いた曲線を記述するために一般化することができます。一例として、空間のねじれがあります。これはガウスの連結数の拡張であり、異なる方向から見たときに曲線が何回自分自身と交差するかを記述します。[ 5 ]より絡み合ってねじれた曲線は通常、より高い空間のねじれを持ちますが、らせんのような絡み合っていない曲線も高い空間のねじれを持ちます。同様に、ガウスの連結積分は、ヘアブレードの2本の束のような2つの開いた曲線から計算され、1つの曲線がもう1つの曲線に何回巻き付いているかを決定することができます。他の結び目不変量も開曲線に拡張されており、第2のヴァシリエフ不変量[ 6 ]やジョーンズ多項式などがあります。[ 7 ]

アプリケーション

開いた絡み合った曲線を分類するために使用される多くの手法は、結び目のあるタンパク質の研究に応用されています。これには、確率的閉包[ 2 ]、ノトイド[ 4 ]、仮想結び目[ 8 ] 、空間のねじれ[ 9 ]、第二バシリエフ不変量[ 10 ]およびジョーンズ多項式[ 11 ]の開バージョンに基づく結び目のあるタンパク質構造の分類が含まれます。この研究の目標は、単なる分類を超えて、これらの結び目のあるタンパク質の形成と安定性を理解することです。同様の分析は、タンパク質のように安定した天然状態を持たないDNAにも適用されています。模擬DNA分子のトポロジーを決定するために最も一般的に用いられるツールは、鎖閉包法と組み合わせたアレクサンダー分子であり、これはウイルスカプシド[ 12 ]、ヒト染色体[ 13 ]、およびより単純なポリマーモデル[ 14 ]（DNAはその一例）における模擬DNAの結び目の検出に用いられてきた。生体分子の研究以外にも、開放結び目理論のツールは物理的なロープにも応用されており、例えば、2本のロープを結び合わせる最も効果的な方法を、結び目の種類ごとのねじれと、結び合わされた2本のロープを引き離すのに必要な力を比較することで決定している。[ 15 ]

参考文献

  1. ^ Tubiana, Luca; Orlandini, Enzo; Micheletti, Cristian (2011). 「環状ポリマーにおける絡み合いの探究と結び目の特定：異なるアーク閉包スキームの比較研究」(PDF) .理論物理学の進歩補足. 191 : 192–204 . arXiv : 1103.0475 . Bibcode : 2011PThPS.191..192T . doi : 10.1143/ptps.191.192 . ISSN  0375-9687 . 2025年9月21日閲覧.
  2. ^ a b Mansfield, Marc L. (1994). 「タンパク質には結び目があるか？」Nature Structural & Molecular Biology . 1 (4): 213– 214. doi : 10.1038/nsb0494-213 . ISSN 1545-9993 . PMID 7656045 .  
  3. ^トゥラエフ、ウラジミール (2010)。 「ノットイド」。arXiv : 1002.4133 [ math.GT ]。
  4. ^ a b Barbensi, Agnese; Goundaroulis, Dimos (2021). 「ノトイドのf距離とタンパク質構造」 . Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 477 (2246) 20200898. arXiv : 1909.08556 . Bibcode : 2021RSPSA.47700898B . doi : 10.1098/rspa.2020.0898 . ISSN 1364-5021 . 
  5. ^ Berger, Mitchell A; Prior, Chris (2006-06-30). 「開曲線と閉曲線の軋み」 . Journal of Physics A: Mathematical and General . 39 (26): 8321– 8348. Bibcode : 2006JPhA...39.8321B . doi : 10.1088/0305-4470/39/26/005 . ISSN 0305-4470 . 2025年9月21日閲覧。 
  6. ^ Panagiotou, Eleni; Kauffman, Louis H. (2021). 「3次元空間における開曲線と閉曲線の複雑性のVassiliev測度」 . Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 477 (2254) 20210440. arXiv : 2104.12275 . Bibcode : 2021RSPSA.47710440P . doi : 10.1098/rspa.2021.0440 . ISSN 1364-5021 . 
  7. ^ Panagiotou, Eleni; Kauffman, Louis H. (2020). 「開曲線と閉曲線の結び目多項式」 . Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 476 (2240) 20200124. arXiv : 2001.01303 . Bibcode : 2020RSPSA.47600124P . doi : 10.1098 / rspa.2020.0124 . ISSN 1364-5021 . PMC 7482204. PMID 32922152 .   
  8. ^ Alexander, Keith; Taylor, Alexander J.; Dennis, Mark R. (2017-02-13). 「仮想結び目として分析されたタンパク質」(PDF) . Scientific Reports . 7 (1) 42300. arXiv : 1611.06185 . Bibcode : 2017NatSR...742300A . doi : 10.1038/srep42300 . ISSN 2045-2322 . PMC 5304221. PMID 28205562. 2025年9月21日閲覧.   
  9. ^ Røgen, Peter; Fain, Boris (2003-01-07). 「ガウス積分を用いたタンパク質構造の自動分類」 . Proceedings of the National Academy of Sciences . 100 (1): 119– 124. Bibcode : 2003PNAS..100..119R . doi : 10.1073 / pnas.2636460100 . ISSN 0027-8424 . PMC 140900. PMID 12506205 .   
  10. ^ Wang, Jason; Panagiotou, Eleni (2022-04-16). 「タンパク質のフォールディング速度と天然状態の幾何学および位相」(PDF) . Scientific Reports . 12 (1) 6384. Bibcode : 2022NatSR..12.6384W . doi : 10.1038/s41598-022-09924-0 . ISSN 2045-2322 . PMC 9013383. PMID 35430582. 2025年9月21日閲覧.   
  11. ^ Song, Ruzhi; Li, Fengling; Wu, Jie; Lei, Fengchun; Wei, Guo-Wei (2025). 「結び目データ解析のためのマルチスケールジョーンズ多項式と持続ジョーンズ多項式」 . AIMS Mathematics . 10 (1): 1463– 1487. doi : 10.3934/math.2025068 . ISSN 2473-6988 . PMC 12363994. PMID 40838040 .   
  12. ^ Arsuaga, Javier; Vazquez, Mariel; McGuirk, Paul; Trigueros, Sonia; Sumners, De Witt; Roca, Joaquim (2005-06-28). 「DNAノットはファージカプシドにおけるDNAのキラル構造を明らかにする」 . Proceedings of the National Academy of Sciences . 102 (26 ) : 9165– 9169. Bibcode : 2005PNAS..102.9165A . doi : 10.1073/pnas.0409323102 . ISSN 0027-8424 . PMC 1166588. PMID 15958528 .   
  13. ^ Siebert, Jonathan; Kivel, Alexey; Atkinson, Liam; Stevens, Tim; Laue, Ernest; Virnau, Peter (2017-08-02). 「染色体に結び目はあるのか？」 . Polymers . 9 ( 8): 317. doi : 10.3390/polym9080317 . ISSN 2073-4360 . PMC 6418659. PMID 30971010 .   
  14. ^ Tubiana, L.; Rosa, A.; Fragiacomo, F.; Micheletti, C. (2013-05-14). 「柔軟な線状ポリマーの自発的な結び目形成と解結び：平衡状態と運動学的側面」 . Macromolecules . 46 (9): 3669– 3678. arXiv : 1304.3470 . Bibcode : 2013MaMol..46.3669T . doi : 10.1021/ma4002963 . ISSN 0024-9297 . 
  15. ^ Patil, Vishal P.; Sandt, Joseph D.; Kolle, Mathias; Dunkel, Jörn (2020-01-03). 「結び目ともつれの位相力学」 . Science . 367 (6473): 71– 75. Bibcode : 2020Sci...367...71P . doi : 10.1126/science.aaz0135 . ISSN 0036-8075 . PMID 31896713 .  
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