Function acting on the space of physical states in physics
演算子 と は、ある 物理状態 空間 から別の状態空間 への 関数です。演算子の有用性の最も単純な例は、 対称性 の研究です（この文脈では 群 の概念が 有用です）。そのため、演算子は 古典力学において有用なツールです。演算子は 量子力学 においてさらに重要であり 、理論の定式化に不可欠な要素を形成します。演算子は、観測可能な量（エネルギー、運動量などの測定可能な量）を記述する上で中心的な役割を果たします。
古典力学における演算子 古典力学では、粒子（または粒子系）の運動は、 一般化座標 q 、一般化速度、 およびその 共役運動量 の関数である ラグランジアン またはハミルトニアン によって 完全に決定されます。 L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)} H ( q , p , t ) {\displaystyle H(q,p,t)} q ˙ = d q / d t {\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t}
p = ∂ L ∂ q ˙ {\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}} L または H のいずれかが一般化座標 q から独立している場合 、つまり qが変化しても L と H は変化しない 、つまり q が 変化しても粒子の力学は同じである場合、それらの座標に共役な対応する運動量は保存されます（これは ノイマンの定理の一部であり、座標 q に関する運動の不変性は 対称性 です ）。古典力学における演算子は、これらの対称性と関連しています。
より技術的に言えば、 Hが 特定の変換 群 G の作用に対して不変である 場合 、
S ∈ G , H ( S ( q , p ) ) = H ( q , p ) {\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)} 。 G の要素 は物理演算子であり、それ自体の間で物理状態をマッピングします。
古典力学の演算子の表 変換 オペレーター 位置 勢い 並進対称性 X ( a ) {\displaystyle X(\mathbf {a} )} r → r + a {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} } p → p {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} } 時間並進対称性 U ( t 0 ) {\displaystyle U(t_{0})} r ( t ) → r ( t + t 0 ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})} p ( t ) → p ( t + t 0 ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})} 回転不変性 R ( n ^ , θ ) {\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )} r → R ( n ^ , θ ) r {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} } p → R ( n ^ , θ ) p {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} } ガリレイ変換 G ( v ) {\displaystyle G(\mathbf {v} )} r → r + v t {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t} p → p + m v {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} } パリティ P {\displaystyle P} r → − r {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} } p → − p {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} } T対称性 T {\displaystyle T} r → r ( − t ) {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)} p → − p ( − t ) {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}
ここで、 単位ベクトル と角度 θ によって定義される軸の周りの 回転行列 です 。 R ( n ^ , θ ) {\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )} n ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}
発電機 変換が 無限小 の場合、演算子の作用は次の形式となる。
I + ϵ A , {\displaystyle I+\epsilon A,} ここで 、 は恒等演算子、 は小さな値を持つパラメータ、 は 変換に依存し、 は 群 の生成元 と呼ばれます。ここでも簡単な例として、1次元関数上の空間変換の生成元を導出します。 I {\displaystyle I} ϵ {\displaystyle \epsilon } A {\displaystyle A}
すでに述べたように、 が無限小であれば、次のように書くことができる 。 T a f ( x ) = f ( x − a ) {\displaystyle T_{a}f(x)=f(x-a)} a = ϵ {\displaystyle a=\epsilon }
T ϵ f ( x ) = f ( x − ϵ ) ≈ f ( x ) − ϵ f ′ ( x ) . {\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).} この式は次のように書き直すことができる。
T ϵ f ( x ) = ( I − ϵ D ) f ( x ) {\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)} ここで は変換群の生成元であり、この場合は 微分 演算子である。したがって、変換の生成元は微分であると言える。 D {\displaystyle D}
指数マップ 通常の状況下では、群全体は 指数写像 を介して生成元から復元できます。並進の場合、この考え方は次のように機能します。
の有限値に対する変換は、 無限小変換を繰り返し適用することによって得られる。 a {\displaystyle a}
T a f ( x ) = lim N → ∞ T a / N ⋯ T a / N f ( x ) {\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)} 適用回数に 応じて異なります 。 が大きい場合、各因子は無限小とみなすことができます。 ⋯ {\displaystyle \cdots } N {\displaystyle N} N {\displaystyle N}
T a f ( x ) = lim N → ∞ ( I − a N D ) N f ( x ) . {\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x).} しかし、この限界は指数として書き直すことができます。
T a f ( x ) = exp ( − a D ) f ( x ) . {\displaystyle T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).} この正式な表現の妥当性を確かめるために、指数をべき 級数 で展開してみましょう。
T a f ( x ) = ( I − a D + a 2 D 2 2 ! − a 3 D 3 3 ! + ⋯ ) f ( x ) . {\displaystyle T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).} 右辺は次のように書き直すことができる。
f ( x ) − a f ′ ( x ) + a 2 2 ! f ″ ( x ) − a 3 3 ! f ( 3 ) ( x ) + ⋯ {\displaystyle f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f''(x)-{\frac {a^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+\cdots } これは のテイラー展開であり 、 の元の値でした 。 f ( x − a ) {\displaystyle f(x-a)} T a f ( x ) {\displaystyle T_{a}f(x)}
物理作用素の数学的性質は、それ自体が極めて重要なテーマです。詳細については、 C*-代数 と ゲルファンド・ナイマルクの定理を 参照してください。
量子力学における演算子 量子力学 (QM) の数学的定式化は 、 演算子の概念に基づいて構築されています。
量子力学における 物理的 純粋状態は 、特殊な 複素 ヒルベルト空間における 単位ノルムベクトル （確率は1に正規化されている）として表される。 この ベクトル空間における 時間発展は、 発展演算子 を適用することによって与えられる 。
観測 可能な量 、すなわち物理実験で測定できるあらゆる量は、 自己随伴 線形演算子 に関連付けられる必要がある。演算子は、 実験の結果として生じる可能性のある値であるため、実 固有値を生成する必要がある。数学的には、これは演算子が エルミート 演算子でなければならないことを意味する。 [1] 各固有値の確率は、その固有値に関連する部分空間への物理状態の投影と関連している。エルミート演算子の数学的詳細については、以下を参照のこと。
QM の波動力学 定式化では 、波動関数は空間と時間、または同等に運動量と時間によって変化するため ( 詳細については 位置と運動量空間を参照)、観測可能量は 微分演算子 です。
行列力学の 定式化では 、 物理状態の ノルムは固定されているべきであるため、発展演算子は ユニタリ であり、演算子は行列として表すことができます。ある物理状態を別の物理状態に写像するその他の対称性も、この制約に従う必要があります。
波動関数 波動関数は 2乗積分 可能でなければならない（ L p 空間を 参照）。これは次のことを意味する。
∭ R 3 | ψ ( r ) | 2 d 3 r = ∭ R 3 ψ ( r ) ∗ ψ ( r ) d 3 r < ∞ {\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty } 正規化可能なので、次のようになります。
∭ R 3 | ψ ( r ) | 2 d 3 r = 1 {\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1} 固有状態 (および固有値) の 2 つのケースは次のとおりです。
離散的 固有状態は 離散的基底を形成する ので、任意の状態は 和 となる。ただし、 c i は複素数であり、| c i | 2 = c i * c i は状態 を測定する確率であり 、対応する固有値集合 a i も離散的である（ 有限 または 可算無限 ） 。この場合、2つの固有状態の内積は で与えられ 、 は クロネッカーのデルタ を表す 。しかし、 | ψ i ⟩ {\displaystyle |\psi _{i}\rangle } | ψ ⟩ = ∑ i c i | ϕ i ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle } | ϕ i ⟩ {\displaystyle |\phi _{i}\rangle } ⟨ ϕ i | ϕ j ⟩ = δ i j {\displaystyle \langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}} δ m n {\displaystyle \delta _{mn}} 連続基底を形成する固有状態の 連続体 に対して、任意の状態は 積分であり、 c ( φ ) は複素関数で、| c ( φ )| 2 = c ( φ ) * c ( φ ) は状態 を測定する確率であり、固有値 a の 非可算無限 集合が存在する 。この場合、2つの固有状態の内積は と定義され 、ここで は ディラックのデルタ を表す 。 | ψ ⟩ = ∫ c ( ϕ ) d ϕ | ϕ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle } | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } ⟨ ϕ ′ | ϕ ⟩ = δ ( ϕ − ϕ ′ ) {\displaystyle \langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')} δ ( x − y ) {\displaystyle \delta (x-y)}
波動力学における線形作用素 ψを 量子系の波動関数とし、 ψを何らかの観測量 A （位置、運動量、エネルギー、角運動量など） に対する任意 の線型作用素 とします。ψ が 作用素の 固有関数 である場合 、 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} A ^ {\displaystyle {\hat {A}}}
A ^ ψ = a ψ , {\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi ,} ここで 、a は演算子の 固有値 であり、観測可能な値の測定値に対応します。つまり、観測可能な値 A は測定値 a を持ちます。
ψ が与えられた演算子 の固有関数である 場合、 観測量 A を状態 ψ で測定すると、明確な量（固有値 a ）が観測されます。逆に、 ψ が の固有関数でない場合 、 に対する固有値は存在せず 、その場合、観測量は単一の明確な値を持ちません。その代わりに、観測量 A の測定は、（の直交固有基底に対する ψ の分解に関連する ）特定の確率で各固有値をもたらします。 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} A ^ {\displaystyle {\hat {A}}}
ブラケット記法では上記は次のように書けます。
A ^ ψ = A ^ ψ ( r ) = A ^ ⟨ r ∣ ψ ⟩ = ⟨ r | A ^ | ψ ⟩ a ψ = a ψ ( r ) = a ⟨ r ∣ ψ ⟩ = ⟨ r ∣ a ∣ ψ ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}} これらは、 が観測量 A の固有ベクトル または 固有ケットで ある 場合に等しくなります 。 | ψ ⟩ {\displaystyle \left|\psi \right\rangle }
ベクトルは線形性を持つため、各成分が関数に個別に作用するため、任意の次元数で定義できます。数学的な例としては、それ自体がベクトルである del 演算子 が挙げられます（これは、下の表にある運動量関連の量子演算子で有用です）。
n 次元空間の演算子は 次のように記述できます。
A ^ = ∑ j = 1 n e j A ^ j {\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}} ここで、 e j は各成分演算子 A j に対応する基底ベクトルです。各成分は対応する固有値を生成します 。これを波動関数 ψ に作用させると、次のようになります。 a j {\displaystyle a_{j}}
A ^ ψ = ( ∑ j = 1 n e j A ^ j ) ψ = ∑ j = 1 n ( e j A ^ j ψ ) = ∑ j = 1 n ( e j a j ψ ) {\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)} 私たちが使用した A ^ j ψ = a j ψ . {\displaystyle {\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .}
括弧記法では：
A ^ ψ = A ^ ψ ( r ) = A ^ ⟨ r ∣ ψ ⟩ = ⟨ r | A ^ | ψ ⟩ ( ∑ j = 1 n e j A ^ j ) ψ = ( ∑ j = 1 n e j A ^ j ) ψ ( r ) = ( ∑ j = 1 n e j A ^ j ) ⟨ r ∣ ψ ⟩ = ⟨ r | ∑ j = 1 n e j A ^ j | ψ ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}
演算子の交換 Ψ 2つの観測量A と Bが 線形作用素とを持つ 場合 、 交換子は次のように定義される。 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} B ^ {\displaystyle {\hat {B}}}
[ A ^ , B ^ ] = A ^ B ^ − B ^ A ^ {\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}} 交換子はそれ自体が（合成）演算子である。交換子を ψ に作用させると以下のようになる。
[ A ^ , B ^ ] ψ = A ^ B ^ ψ − B ^ A ^ ψ . {\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .} ψが観測量 A と B に対してそれぞれ固有値 a と b を持つ固有関数であり 、 演算子が可換である場合：
[ A ^ , B ^ ] ψ = 0 , {\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,} すると、観測量 A と Bは 無限の精度で同時に測定できる（つまり、不確実性を 同時に 測定できる）。ψ は AとBの同時固有関数と呼ばれる。これを説明するために： Δ A = 0 {\displaystyle \Delta A=0} Δ B = 0 {\displaystyle \Delta B=0}
[ A ^ , B ^ ] ψ = A ^ B ^ ψ − B ^ A ^ ψ = a ( b ψ ) − b ( a ψ ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}} これは、AとBの測定によって状態の変化が起こらないことを示しています。つまり、初期状態と最終状態は同じです（測定による擾乱はありません）。Aを測定して値aを得たとします。次にBを測定して値bを得ます。再びAを測定します。結果は同じ値aです。明らかにシステムの状態（ ψ ）は破壊されておらず、したがってAとBを無限の精度で同時に測定できます。
オペレーターが通勤しない場合:
[ A ^ , B ^ ] ψ ≠ 0 , {\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,} 任意の精度で同時に準備することはできず、 観測可能なものの間には 不確定性関係がある。
Δ A Δ B ≥ | 1 2 ⟨ [ A , B ] ⟩ | {\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|} ψ が固有関数であっても、 上記の関係は成り立ちます。注目すべき関係としては、位置と運動量の不確定性関係、エネルギーと時間の不確定性関係、そして任意の2つの直交軸（ L x と L y 、 s y と s z など）の周りの角運動量（スピン、軌道、全角）が挙げられます。 [2]
演算子の期待値 Ψ 期待 値 （平均値とも言う）は、領域 R 内の粒子について観測可能な値の平均値である。演算子の 期待値 は次式から計算される。 [3] ⟨ A ^ ⟩ {\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle } A ^ {\displaystyle {\hat {A}}}
⟨ A ^ ⟩ = ∫ R ψ ∗ ( r ) A ^ ψ ( r ) d 3 r = ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ . {\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .} これは、演算子の 任意の関数 Fに一般化できます。
⟨ F ( A ^ ) ⟩ = ∫ R ψ ( r ) ∗ [ F ( A ^ ) ψ ( r ) ] d 3 r = ⟨ ψ | F ( A ^ ) | ψ ⟩ , {\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,} F の例としては、 ψ に対する A の 2 重作用 、つまり演算子を 2 乗するか 2 回行うことが挙げられます。
F ( A ^ ) = A ^ 2 ⇒ ⟨ A ^ 2 ⟩ = ∫ R ψ ∗ ( r ) A ^ 2 ψ ( r ) d 3 r = ⟨ ψ | A ^ 2 | ψ ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}
エルミート演算子 エルミート演算子 の定義は以下 の通りである: [1]
A ^ = A ^ † {\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }} これに続いて、括弧記法では次のようになります。
⟨ ϕ i | A ^ | ϕ j ⟩ = ⟨ ϕ j | A ^ | ϕ i ⟩ ∗ . {\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.} エルミート演算子の重要な特性は次のとおりです。
実固有値、 異なる固有値を持つ固有ベクトルは 直交し 、 固有ベクトルは完全な 直交基底 となるように選択することができ、
行列力学における演算子 演算子は行列形式で記述することができ、ある基底ベクトルを別の基底ベクトルに写像します。演算子は線形であるため、行列は基底間の 線形変換 （遷移行列とも呼ばれます）となります。各基底要素は、 次の式によって 互いに連結することができます [3] 。 ϕ j {\displaystyle \phi _{j}}
A i j = ⟨ ϕ i | A ^ | ϕ j ⟩ , {\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,} これは行列要素である。
A ^ = ( A 11 A 12 ⋯ A 1 n A 21 A 22 ⋯ A 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 ⋯ A n n ) {\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}} エルミート作用素のさらなる性質として、異なる固有値に対応する固有関数は直交する。 [1]行列形式では、作用素は測定結果に対応する実固有値を求めることを可能にする。直交性により、量子系の状態を表すのに適したベクトル基底集合が実現される。作用素の固有値も、 正方行列 の場合と同様に、 特性多項式を 解くことによって評価される 。
det ( A ^ − a I ^ ) = 0 , {\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,} ここで、 Iは n × nの 単位行列 であり 、演算子としては恒等演算子に対応する。離散基底の場合：
I ^ = ∑ i | ϕ i ⟩ ⟨ ϕ i | {\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|} 一方、継続的には：
I ^ = ∫ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | d ϕ {\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }
演算子の逆 非特異演算子の 逆演算子は 次のように定義されます。 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} A ^ − 1 {\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}
A ^ A ^ − 1 = A ^ − 1 A ^ = I ^ {\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}} 作用素に逆作用素がない場合、それは特異作用素である。有限次元空間において、作用素が非特異となる のは、その行列式が非零である場合のみで ある。
det ( A ^ ) ≠ 0 {\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0} したがって、特異演算子の場合、行列式はゼロになります。
量子力学演算子の表 量子力学で用いられる演算子は、以下の表にまとめられています（例えば [1] [4] を参照）。太字で示され、サーカムフレックス付きのベクトルは 単位ベクトル ではなく、3次元ベクトル演算子、つまり3つの空間成分すべてを合わせたものです。
オペレーター（一般名） 直交座標成分 一般的な定義 SI単位 寸法 位置 x ^ = x , y ^ = y , z ^ = z {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&=x,&{\hat {y}}&=y,&{\hat {z}}&=z\end{aligned}}} r ^ = r {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} \,\!} メートル [左] 勢い 一般的な p ^ x = − i ℏ ∂ ∂ x , p ^ y = − i ℏ ∂ ∂ y , p ^ z = − i ℏ ∂ ∂ z {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},&{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},&{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}}
一般的な p ^ = − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!}
J sm −1 = N s [中] [下] [火] −1 電磁場 p ^ x = − i ℏ ∂ ∂ x − q A x p ^ y = − i ℏ ∂ ∂ y − q A y p ^ z = − i ℏ ∂ ∂ z − q A z {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}}
電磁場（ 運動量 A 、 ベクトルポテンシャルを使用） p ^ = P ^ − q A = − i ℏ ∇ − q A {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {p}} &=\mathbf {\hat {P}} -q\mathbf {A} \\&=-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \\\end{aligned}}\,\!}
J sm −1 = N s [中] [下] [火] −1 運動エネルギー 翻訳 T ^ x = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 T ^ y = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ y 2 T ^ z = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}
T ^ = 1 2 m p ^ ⋅ p ^ = 1 2 m ( − i ℏ ∇ ) ⋅ ( − i ℏ ∇ ) = − ℏ 2 2 m ∇ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!}
J [M] [L] 2 [T] −2 電磁場 T ^ x = 1 2 m ( − i ℏ ∂ ∂ x − q A x ) 2 T ^ y = 1 2 m ( − i ℏ ∂ ∂ y − q A y ) 2 T ^ z = 1 2 m ( − i ℏ ∂ ∂ z − q A z ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!}
電磁場（ A 、 ベクトルポテンシャル ） T ^ = 1 2 m p ^ ⋅ p ^ = 1 2 m ( − i ℏ ∇ − q A ) ⋅ ( − i ℏ ∇ − q A ) = 1 2 m ( − i ℏ ∇ − q A ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}\,\!}
J [M] [L] 2 [T] −2 回転（ I 、 慣性モーメント ） T ^ x x = J ^ x 2 2 I x x T ^ y y = J ^ y 2 2 I y y T ^ z z = J ^ z 2 2 I z z {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}\,\!}
回転 T ^ = J ^ ⋅ J ^ 2 I {\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}\,\!} [ 要引用 ]
J [M] [L] 2 [T] −2 位置エネルギー 該当なし V ^ = V ( r , t ) = V {\displaystyle {\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)=V\,\!} J [M] [L] 2 [T] −2 総 エネルギー 該当なし 時間依存ポテンシャル: E ^ = i ℏ ∂ ∂ t {\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!}
時間に依存しない: E ^ = E {\displaystyle {\hat {E}}=E\,\!}
J [M] [L] 2 [T] −2 ハミルトニアン H ^ = T ^ + V ^ = 1 2 m p ^ ⋅ p ^ + V = 1 2 m p ^ 2 + V {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} +V\\&={\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+V\\\end{aligned}}\,\!} J [M] [L] 2 [T] −2 角運動量演算子 L ^ x = − i ℏ ( y ∂ ∂ z − z ∂ ∂ y ) L ^ y = − i ℏ ( z ∂ ∂ x − x ∂ ∂ z ) L ^ z = − i ℏ ( x ∂ ∂ y − y ∂ ∂ x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}} L ^ = r × − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {\hat {L}} =\mathbf {r} \times -i\hbar \nabla } J s = N sm [M] [L] 2 [T] −1 スピン 角運動量 S ^ x = ℏ 2 σ x S ^ y = ℏ 2 σ y S ^ z = ℏ 2 σ z {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}&={\hbar \over 2}\sigma _{x}&{\hat {S}}_{y}&={\hbar \over 2}\sigma _{y}&{\hat {S}}_{z}&={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}} どこ
σ x = ( 0 1 1 0 ) σ y = ( 0 − i i 0 ) σ z = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
スピン1/2 粒子 の パウリ行列 です。
S ^ = ℏ 2 σ {\displaystyle \mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}\,\!} ここで σ はパウリ行列を成分とするベクトルです。
J s = N sm [M] [L] 2 [T] −1 全角運動量 J ^ x = L ^ x + S ^ x J ^ y = L ^ y + S ^ y J ^ z = L ^ z + S ^ z {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}} J ^ = L ^ + S ^ = − i ℏ r × ∇ + ℏ 2 σ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}} J s = N sm [M] [L] 2 [T] −1 遷移双極子モーメント （電気） d ^ x = q x ^ , d ^ y = q y ^ , d ^ z = q z ^ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=q{\hat {x}},&{\hat {d}}_{y}&=q{\hat {y}},&{\hat {d}}_{z}&=q{\hat {z}}\end{aligned}}} d ^ = q r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} } Cm [私] [T] [L]
量子演算子の適用例 波動関数から情報を抽出する手順は以下のとおりです。粒子の運動量 pを 例に考えてみましょう。1次元の位置基底における運動量演算子は次のようになります。
p ^ = − i ℏ ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}} これをψ に作用させると 次の式が得られます。
p ^ ψ = − i ℏ ∂ ∂ x ψ , {\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,} ψ が の固有関数である 場合 、運動量固有値 p は粒子の運動量の値であり、次のように求められます。 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}}
− i ℏ ∂ ∂ x ψ = p ψ . {\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .} 3次元の場合、運動量演算子は ナブラ 演算子を使用して次のようになります。
p ^ = − i ℏ ∇ . {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .} デカルト座標（標準デカルト基底ベクトル e x 、 e y 、 e z を使用）では、次のように記述できます。
e x p ^ x + e y p ^ y + e z p ^ z = − i ℏ ( e x ∂ ∂ x + e y ∂ ∂ y + e z ∂ ∂ z ) , {\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),} つまり：
p ^ x = − i ℏ ∂ ∂ x , p ^ y = − i ℏ ∂ ∂ y , p ^ z = − i ℏ ∂ ∂ z {\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!} 固有値を求める手順は同じです。これはベクトルと演算子からなる方程式なので、 ψ が固有関数であれば、運動量演算子の各成分は、その運動量の成分に対応する固有値を持ちます。ψ に作用すると、 以下 の式が得られます。 p ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }
p ^ x ψ = − i ℏ ∂ ∂ x ψ = p x ψ p ^ y ψ = − i ℏ ∂ ∂ y ψ = p y ψ p ^ z ψ = − i ℏ ∂ ∂ z ψ = p z ψ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}
参照
参考文献 ^ abcd 分子量子力学パートIおよびII：量子化学入門（第1巻）、PWアトキンス、オックスフォード大学出版局、1977年、 ISBN 0-19-855129-0 ^ Ballentine, LE (1970)、「量子力学の統計的解釈」、 Reviews of Modern Physics 、 42 (4): 358– 381、 Bibcode :1970RvMP...42..358B、 doi :10.1103/RevModPhys.42.358 ^ ab 量子力学の謎解き、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2006年、 ISBN 0-07-145546-9 ^ 演算子 - ファインマン物理学講義
![{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7917e45fa532ccc9cfd210a2ac545e0b60b093)
![{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7967ebafc93ebd938b2cac7691d783e42e8e67c6)
![{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d5d62427be967a2826edc5f9cf45ea1d2c25d3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185fc76a611137a886e1661f483db74dd073084d)
![{\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87d66f7edae65001f4b897bc0184bdc896709a0)
![{\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815d659c43d441760fba8fb8c923b4831b78c06e)
![{\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fbfee146f6571810c1b9b10e2069429567a04c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd698c8c164b000d326bf75bd7de8529befba36)
