Typically linear operator defined in terms of differentiation of functions
環状空間 上で定義された調和関数。調和関数は 、重要な微分演算子である ラプラス演算子 の 核 に含まれる関数です。 数学 において 、 微分演算子（かくりつひき演算子）とは、 微分 演算子の関数として定義される 演算子 です 。まず表記法の観点から、微分を、 関数を引数として別の関数を返す（ コンピュータサイエンス における 高階関数 のような ）抽象的な演算として考えると分かりやすいでしょう。
この記事では、最も一般的な 線形微分作用素を主に扱います。ただし、 シュワルツ微分 のような非線形微分作用素も存在します 。
意味 非負整数 m が与えられたとき、位数線形微分演算子は 関数空間 から 別の関数空間へ の 写像であり 、次のように表すことができます。 m {\displaystyle m} P {\displaystyle P} F 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} F 2 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}
P = ∑ | α | ≤ m a α ( x ) D α , {\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}
ここで 、 は 非負 整数 、 、の 多重添字 であり、各 に対して 、は n 次元空間のある開領域上の関数である 。この演算子は 次のように解釈される。 α = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})} | α | = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}} α {\displaystyle \alpha } a α ( x ) {\displaystyle a_{\alpha }(x)} D α {\displaystyle D^{\alpha }}
D α = ∂ | α | ∂ x 1 α 1 ∂ x 2 α 2 ⋯ ∂ x n α n {\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}
したがって関数の場合 ： f ∈ F 1 {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}
P f = ∑ | α | ≤ m a α ( x ) ∂ | α | f ∂ x 1 α 1 ∂ x 2 α 2 ⋯ ∂ x n α n {\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}
この表記法は、 2 次導関数の対称性 により正当化されます (つまり、微分順序に依存しません) 。 D α {\displaystyle D^{\alpha }}
P の部分多項式を 変数に 置き換えて得られる 多項式 pは P の 全体記号 と呼ばれる。つまり、 上記の P の全体記号は次のようになる。 ここで、 記号の最も高い同次成分、すなわち ∂ ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}} ξ i {\displaystyle \xi _{i}} p ( x , ξ ) = ∑ | α | ≤ m a α ( x ) ξ α {\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }} ξ α = ξ 1 α 1 ⋯ ξ n α n . {\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}
σ ( x , ξ ) = ∑ | α | = m a α ( x ) ξ α {\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }} はP の 主記号 と呼ばれる 。 [1] 全体記号は本質的に定義されていないが、主記号は本質的に定義されている（つまり、余接束上の関数である）。 [2]
より一般的には、 E と Fを 多様体 X上の ベクトル束 とする 。このとき、線型作用素
P : C ∞ ( E ) → C ∞ ( F ) {\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)} は、 X 上の 局所座標 において、次式が成り立つ
とき、 位数の微分作用素である。 k {\displaystyle k}
P u ( x ) = ∑ | α | = k P α ( x ) ∂ α u ∂ x α + lower-order terms {\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{lower-order terms}}} ここで、各 マルチインデックス α に対して、は インデックス α に関して対称な バンドル マップ です。 P α ( x ) : E → F {\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}
P のk次の係数 は 対称 テンソル として 変換される
σ P : S k ( T ∗ X ) ⊗ E → F {\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F} の領域は X の余 接 束 と Eの k 次 対称冪 の テンソル積で あり、その余領域は Fである。この対称テンソルは Pの 主記号 （または単に 記号 ） として知られる 。
座標系 x i は、ファイバー座標 ξ i を決定する 座標微分 d x i によって、余接束の局所的自明化を可能にする。Eと F のフレーム e μ 、 f ν の基底に関して 、微分作用素 P は 、以下の成分に分解される 。
( P u ) ν = ∑ μ P ν μ u μ {\displaystyle (Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }} E の 各セクション u上の P νμ は次のように定義されるスカラー微分演算子である 。
P ν μ = ∑ α P ν μ α ∂ ∂ x α . {\displaystyle P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.} この単純化により、主記号は次のように書けるようになる。
( σ P ( ξ ) u ) ν = ∑ | α | = k ∑ μ P ν μ α ( x ) ξ α u μ . {\displaystyle (\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu }^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }.} X の 固定点 x 上の余接空間において、記号は 内の値を持つ 内の k 次 同次多項式 を定義します 。 σ P {\displaystyle \sigma _{P}} T x ∗ X {\displaystyle T_{x}^{*}X} Hom ( E x , F x ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}
フーリエ解釈 微分作用素 Pとその記号は、 フーリエ変換 との関連で次のように自然に現れる。ƒを シュワルツ関数 とする 。逆フーリエ変換により、
P f ( x ) = 1 ( 2 π ) d 2 ∫ R d e i x ⋅ ξ p ( x , i ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ . {\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .} これは Pを フーリエ乗数 として示している。 この積分が適切に動作するξにおける多項式増加条件を最大で満たす関数 p ( x ,ξ)のより一般的なクラスは、 擬微分演算子 である。
例 微分作用素 が 楕円型で あるとは、その記号が可逆な場合、すなわち、すべての非零に対して 束写像 が可逆な場合である。 コンパクト多様体上では、楕円型理論から、 Pは フレドホルム作用素 である ことが示され 、有限次元 核 と余核を持つ。 P {\displaystyle P} θ ∈ T ∗ X {\displaystyle \theta \in T^{*}X} σ P ( θ , … , θ ) {\displaystyle \sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )} 双曲型偏微分方程式 と 放物型偏微分方程式 の研究では 、主記号の零点は 偏微分方程式の 特性に対応します。 物理科学への応用では、 ラプラス演算子などの演算子は 偏微分方程式の 設定と解法において重要な役割を果たします 。 微分位相幾何学 では 、 外微分演算子 と リー微分 演算子は固有の意味を持ちます。 抽象代数学 において、 微分 の概念は 微積分を必要としない微分作用素の一般化を可能にする。このような一般化は 代数幾何学 や 可換代数 において頻繁に用いられる。Jet (数学) も参照のこと。 複素変数 z = x + i y の 正則関数 の展開において 、複素関数は2つの実変数 x と yの関数として扱われることがあります。偏微分演算子である ヴィルティンガー導関数 が用いられます 。このアプローチは、 複数の複素変数 の関数や モーター変数 の関数の研究にも用いられます 。 ∂ ∂ z = 1 2 ( ∂ ∂ x − i ∂ ∂ y ) , ∂ ∂ z ¯ = 1 2 ( ∂ ∂ x + i ∂ ∂ y ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .} 微分演算子 del は 、 ナブラ とも呼ばれ、重要な ベクトル微分演算子です。 物理学では、 マクスウェル方程式 の微分形式など、 頻繁に登場します 。3次元 直交座標 では、 del は次のように定義されます。 ∇ = x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z . {\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.} Del は 勾配 を定義し、さまざまなオブジェクトの 回転 、 発散 、および ラプラシアン を 計算するために使用されます。
歴史 微分演算子を独立したものとして記述するという概念的なステップは、 1800年に ルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガストに帰せられます 。[3]
表記 最も一般的な微分演算子は、 導関数 を取ることです。変数 x に関する1次導関数の 一般的な表記法 には、以下のものがあります。
d d x {\displaystyle {d \over dx}} 、 、 そして 。 D {\displaystyle D} D x , {\displaystyle D_{x},} ∂ x {\displaystyle \partial _{x}} n 次以上の高次導関数を取る場合 、演算子は次のように記述されます。
d n d x n {\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}} 、 、 、 または 。 D n {\displaystyle D^{n}} D x n {\displaystyle D_{x}^{n}} ∂ x n {\displaystyle \partial _{x}^{n}} 引数 x の関数 f の導関数は 、次のいずれかとして与えられることがあります。
[ f ( x ) ] ′ {\displaystyle [f(x)]'} f ′ ( x ) . {\displaystyle f'(x).} D 記法の使用と創造は、次のような形式の微分演算子を考えたオリバー・ヘヴィサイドによるもの で ある 。
∑ k = 0 n c k D k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}} 微分方程式 の研究において 。
最も頻繁に見られる微分演算子の1つは ラプラシアン演算子 であり、次のように定義されます。
Δ = ∇ 2 = ∑ k = 1 n ∂ 2 ∂ x k 2 . {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.} もう一つの微分演算子はΘ演算子または シータ演算子であり、 [4] で定義される。
Θ = z d d z . {\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.} これは、その 固有関数が z の 単項式 であるため、 同次演算子 と呼ばれることもあります 。 Θ ( z k ) = k z k , k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }
n 変数の場合 、同次演算子は次のように与えられる。 Θ = ∑ k = 1 n x k ∂ ∂ x k . {\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}
1変数の場合と同様に、 Θの 固有空間は 同次関数 の空間です 。（ オイラーの同次関数定理 ）
数学の慣例に従い、微分演算子の引数は通常、演算子自体の右側に置かれます。ただし、別の表記法が用いられる場合もあります。演算子の左側の関数と右側の関数に演算子を適用した結果、および両側の関数に微分演算子を適用した際の差は、以下のように矢印で表されます。
f ∂ x ← g = g ⋅ ∂ x f {\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f} f ∂ x → g = f ⋅ ∂ x g {\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g} f ∂ x ↔ g = f ⋅ ∂ x g − g ⋅ ∂ x f . {\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.} このような双方向矢印表記は、 量子力学の 確率流を記述するために頻繁に使用されます。
演算子の随伴 線型微分作用素が与えられたとき、この作用素の 随伴 作用素は 、スカラー積 または 内積を 表す記法 が 用いられる 作用素として定義される 。したがって、この定義はスカラー積（または内積）の定義に依存する。 T {\displaystyle T} T u = ∑ k = 0 n a k ( x ) D k u {\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u} T ∗ {\displaystyle T^{*}} ⟨ T u , v ⟩ = ⟨ u , T ∗ v ⟩ {\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle } ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
実 区間 （ a 、 b ） 上の 二乗可積分関数 の関数空間において 、スカラー積は次のように定義される。 ⟨ f , g ⟩ = ∫ a b f ( x ) ¯ g ( x ) d x , {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,}
ここで、 f ( x ) 上の直線は f ( x )の 複素共役を表す。さらに、 f または gが 0 かつとなる という条件を加えると、 T の随伴項を次の ように定義できる。 x → a {\displaystyle x\to a} x → b {\displaystyle x\to b} T ∗ u = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k D k [ a k ( x ) ¯ u ] . {\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].}
この式はスカラー積の定義に明示的に依存しません。そのため、随伴演算子の定義として選択されることがあります。 この式に従って が定義されている場合、それは T の 形式的随伴演算 子と呼ばれます。 T ∗ {\displaystyle T^{*}}
(形式的に) 自己随伴 演算子は、それ自身の (形式的に) 随伴演算子と等しい演算子です。
いくつかの変数 Ω がR n の領域で 、 P が Ω 上の微分作用素である場合、 Pの随伴作用素は L 2 (Ω) において 同様に双対性によって定義されます。
⟨ f , P ∗ g ⟩ L 2 ( Ω ) = ⟨ P f , g ⟩ L 2 ( Ω ) {\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}} すべての滑らかなL 2 関数 f 、 g に対して 。滑らかな関数は L 2で稠密なので、これは L 2 の稠密部分集合上の随伴関数を定義します 。P *は 稠密に定義された演算子 です 。
例 シュトゥルム ・リウヴィル 作用素は形式的自己随伴作用素のよく知られた例である。この2階の線型微分作用素 Lは 次のように書ける。
L u = − ( p u ′ ) ′ + q u = − ( p u ″ + p ′ u ′ ) + q u = − p u ″ − p ′ u ′ + q u = ( − p ) D 2 u + ( − p ′ ) D u + ( q ) u . {\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.} この性質は上記の正式な随伴定義を用いて証明することができる。 [5]
この演算子は、 この演算子の固有関数（固有ベクトルの類似物）が考慮される Sturm – Liouville 理論 の中心です。
プロパティ 微分は 線形 であり、すなわち
D ( f + g ) = ( D f ) + ( D g ) , {\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),} D ( a f ) = a ( D f ) , {\displaystyle D(af)=a(Df),} ここで 、f と g は関数、 a は定数です。
D の任意の 多項式 で関数係数を持つもの も微分作用素である。また、 微分作用素は、以下の規則によって 合成することもできる。
( D 1 ∘ D 2 ) ( f ) = D 1 ( D 2 ( f ) ) . {\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).} ここで注意が必要です。まず、演算子 D 2の任意の関数係数は、 D 1 の適用に必要な回数だけ 微分 可能でなければなりません。このような演算子の 環 を得るには、使用する係数のすべての階数の導関数を仮定する必要があります。次に、この環は 可換で はありません 。つまり、演算子 gD は一般に Dg と同じではありません。例えば、 量子力学 における基本的な関係があります 。
D x − x D = 1. {\displaystyle Dx-xD=1.} 対照的に、 Dの 定数係数多項式 で ある作用素の全体からなる部分環は 可換である。これは別の方法で特徴付けることができる。すなわち、並進不変な作用素からなる。
微分演算子も シフト定理 に従います。
多項式微分作用素の環
一変数多項式微分作用素環 R が環である とき、 変数 D と Xについて R 上の 非可換多項式環 を とし 、 DX − XD − 1によって生成される 両側 イデアルを I とする。このとき、 R 上の一変数多項式微分作用素環は 商環 である 。これは 非可換単 純環である。すべての元は、 の形の単項式の R 線型結合 として一意に表すことができる。これは 、多項式のユークリッド除算 に類似している 。 R ⟨ D , X ⟩ {\displaystyle R\langle D,X\rangle } R ⟨ D , X ⟩ / I {\displaystyle R\langle D,X\rangle /I} X a D b mod I {\displaystyle X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I}
（標準微分の場合）上の 微分加群 [ 要説明 ] は上の 加群 と同一視できる 。 R [ X ] {\displaystyle R[X]} R ⟨ D , X ⟩ / I {\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}
多変数多項式微分作用素環 R が環である とき、 変数 R 上の非可換多項式環をIとし 、 元によって生成される両側イデアルを Iとする。 R ⟨ D 1 , … , D n , X 1 , … , X n ⟩ {\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle } D 1 , … , D n , X 1 , … , X n {\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}}
( D i X j − X j D i ) − δ i , j , D i D j − D j D i , X i X j − X j X i {\displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}} クロネッカーのデルタ で ある すべての に対して となる。このとき、 R 上の多変数多項式微分作用素環は 商環 となる 。 1 ≤ i , j ≤ n , {\displaystyle 1\leq i,j\leq n,} δ {\displaystyle \delta } R ⟨ D 1 , … , D n , X 1 , … , X n ⟩ / I {\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I}
これは 非可換単 純環である。各元は、 の形の単項式の R 線型結合 として一意に表すことができる 。 X 1 a 1 … X n a n D 1 b 1 … D n b n {\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}}
座標非依存記述 微分幾何学 および 代数幾何学 において、 2 つのベクトル束 間の微分作用素を 座標 に依存しない形で記述することがしばしば便利である 。E と Fを 微分 可能多様体 M 上の2つのベクトル束とする 。R 線型 写像 P :Γ( E )→Γ( F )は、 ジェット束 Jk ( E )を介して因数分解できる場合、 k 次線型微分作用素 と呼ばれる 。言い換えれば、ベクトル束の線型写像が存在する 。
i P : J k ( E ) → F {\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F} そういう
P = i P ∘ j k {\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}} ここで、 j k : Γ( E ) → Γ( J k ( E ))は、 E の任意のセクションにその k ジェット を関連付ける延長です 。
これは、 E の与えられた 断面 s に対して、 点 x ∈ Mにおける P ( s )の値は、 x における sの k 次の無限小的振る舞い によって完全に決定される、ということを意味 する。特に、これは P ( s )( x ) が x における s の 芽 によって決定されることを意味し 、これは微分作用素が局所的であるという表現で表現される。基本的な結果は、逆もまた真であることを示す ペートルの定理で ある。すなわち、任意の（線型）局所作用素は微分的である。
可換代数との関係 線型微分作用素の等価だが純粋に代数的な記述は次のようになる。R 線型 写像 Pは k 次の線型微分作用素 であり、 任意
の k + 1個の滑らかな関数に対して f 0 , … , f k ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)}
[ f k , [ f k − 1 , [ ⋯ [ f 0 , P ] ⋯ ] ] = 0. {\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.} ここで括弧 は交換子として定義される [ f , P ] : Γ ( E ) → Γ ( F ) {\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)}
[ f , P ] ( s ) = P ( f ⋅ s ) − f ⋅ P ( s ) . {\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).} 線形微分演算子のこの特徴付けは、線形微分演算子が 可換代数 上の モジュール間の特定のマッピングであることを示しており、この概念を 可換代数 の一部として見ることができるようになります 。
変種
無限階微分演算子 無限次微分演算子とは、（大まかに言えば）全体の記号が 多項式ではなく べき級数である微分演算子です。
不変微分演算子 不変 微分演算子 は、不変演算子でもある微分演算子です (たとえば、グループ作用と交換可能)。
双微分演算子 二つの関数に作用する微分作用素は 双微分作用素 と呼ばれる 。この概念は、例えばポアソン代数の変形量子化上の結合代数構造に現れる。 [6] D ( g , f ) {\displaystyle D(g,f)}
微分演算子 ミクロ 微分作用素は 、多様体の開集合ではなく、余接束の開集合上の作用素の一種である。これは、微分作用素の概念を余接束に拡張することによって得られる。 [7]
参照
注記 ^ ヘルマンダー 1983、151ページ。 ^ シャピラ 1985, 1.1.7 ^ James Gasser（編）、 A Boole Anthology: Recent and classical studies in the logic of George Boole （2000）、p. 169、Google Books。 ^ EW ワイスタイン。 「シータオペレーター」 。 2009 年 6 月 12 日 に取得 。 ^ L ∗ u = ( − 1 ) 2 D 2 [ ( − p ) u ] + ( − 1 ) 1 D [ ( − p ′ ) u ] + ( − 1 ) 0 ( q u ) = − D 2 ( p u ) + D ( p ′ u ) + q u = − ( p u ) ″ + ( p ′ u ) ′ + q u = − p ″ u − 2 p ′ u ′ − p u ″ + p ″ u + p ′ u ′ + q u = − p ′ u ′ − p u ″ + q u = − ( p u ′ ) ′ + q u = L u {\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}} ^ 大森秀樹; 前田雄志; 吉岡明生 (1992). 「ポアソン代数の変形量子化」. 日本学士院紀要, シリーズA, 数学科学 . 68 (5). doi : 10.3792/PJAA.68.97 . S2CID 119540529. ^ シャピラ、1985、§ 1.2。 §1.3。
参考文献
さらに読む フェドソフ, ボリス; シュルツェ, ベルト＝ヴォルフガング; タルカノフ, ニコライ (2002). 「楕円コーナー演算子の解析的指数式」. Annales de l'Institut Fourier . 52 (3): 899– 982. doi : 10.5802/aif.1906 . ISSN 1777-5310. https://mathoverflow.net/questions/451110/reference-request-inverse-of-differential-operators
外部リンク
スペース
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![{\displaystyle [f(x)]'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc02a83f2b3ff528f113faf1cc19000caff22a5)
![{\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786020c57d778a84ba7c17220f2f4fa8470eaa5a)
![{\displaystyle R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afeccd52deabb878398a8485755c3ceea80caf9a)
![{\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24bb2111918496a5d3640a1b1c5f4e674b59b70d)
![{\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37a30580cbc91e9277251ecf8d3fdcd2d78726d)
=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1cfcf50fe7cfb77dde6bc9b4e2ae629ec3c2a0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}= -(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f14429d10c7b73597f1f385bbb6d50c8b3517d9)
