光位相空間

Phase space used in quantum optics

位相空間全体にわたるコヒーレント状態の分布を示す光位相図。

量子光学において、光位相空間とは、光学系のすべての量子状態が記述される位相空間である。光位相空間内の各点は、光学系の固有の状態に対応する。このような系において、求積法を互いにプロットしたもの（場合によっては時間の関数として）は、位相図と呼ばれる。求積法が時間の関数である場合、光位相図は量子光学系の時間的変化を示すことができる。

光相図は、他の方法では明らかにならない可能性のあるシステムの特性や挙動についての洞察を与えることができます。これは、光学系を研究する人にとって興味深い、他の方法では推測が非常に困難なシステムの性質を暗示する可能性があります。光相図のもう一つの用途は、光学系の状態の変化を示すことです。これは、任意の時点での光学系の状態を決定するために使用できます。

背景情報

光の量子論を議論する際には、電磁振動子をモデルとして用いることが非常に一般的である。^[1]電磁振動子は電場の振動を記述する。磁場は電場の変化率に比例するため、これも振動する。このような振動は光を記述する。このような振動子からなる系は、光位相空間によって記述することができる。

u ( x , t ) を電磁振動子の単一モードを記述するベクトル関数とする。簡単のため、この電磁振動子は真空中にあると仮定する。例として、次式で表される平面波を考える。

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {u_{0}} e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$

ここで、u ₀は偏光ベクトル、kは波数ベクトル、周波数、A BはベクトルAとBのドット積 を表します。これは平面波の方程式であり、このような電磁振動子の簡単な例です。ここで扱う振動子は、空間内の自由波、あるいは何らかの空洞内に含まれる通常モードのいずれかです。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \cdot }$

電磁振動子の単一モードをシステムの他の部分から分離し、解析する。このような振動子は、量子化されると、量子調和振動子の数学によって記述される。^{[1]量子振動子は}、生成消滅演算子 とを用いて記述される。電界強度などの物理量は、量子演算子となる。 ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$

物理量と、それを記述する量子力学的演算子を区別するために、演算子記号の上に「ハット」が用いられます。例えば、 が電場（の1つの成分）を表す場合、 記号はを記述する量子力学的演算子を表します。この慣習はこの記事全体で用いられていますが、より高度なテキストでは一般的には用いられていません。高度なテキストでは、ハットは文章を煩雑にするだけなので避けられています。 ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle {\widehat {E}}_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$

量子振動子モードでは、物理量を表す演算子のほとんどは、生成演算子と消滅演算子によって表現されます。この例では、電場強度は次のように表されます。

${\displaystyle {\widehat {E}}_{i}=u_{i}^{*}(\mathbf {x} ,t){\widehat {a}}^{\dagger }+u_{i}(\mathbf {x} ,t){\widehat {a}}}$^[2]

（ここで、x _iはxの単一成分、位置）。電磁振動子のハミルトニアンは、この振動子の電磁場を量子化することで求められ、その式は次のように表される。

${\displaystyle {\widehat {H}}=\hbar \omega ({\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}+1/2)}$^[2]

ここで は（時空間）モードの周波数である。消滅演算子はボソン消滅演算子であるため、次式で表される標準的な交換関係に従う。 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle [{\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger }]=1}$

消滅演算子の固有状態はコヒーレント状態と呼ばれる。

${\displaystyle {\widehat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$

消滅作用素はエルミートではないことに注意することが重要です。したがって、その固有値は複素数になることがあります。これは重要な結果をもたらします。 ${\displaystyle \alpha }$

最後に、光子数は、与えられた（空間的・時間的）モードuの光子数を与える演算子によって与えられます。 ${\displaystyle {\widehat {N}}={\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}},}$

求積法

演算子は

${\displaystyle {\widehat {q}}={\tfrac {1}{2}}({\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}})}$

そして

${\displaystyle {\widehat {p}}={\tfrac {i}{2}}({\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}})}$

は求積法と呼ばれ、で表される複素振幅の実部と虚部を表します。^[1] 2つの求積法の間の交換関係は簡単に計算できます。 ${\displaystyle {\widehat {a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\widehat {q}},{\widehat {p}}\right]&={\tfrac {i}{4}}[{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}]\\&={\tfrac {i}{4}}([{\widehat {a}}^{\dagger },{\widehat {a}}^{\dagger }]-[{\widehat {a}}^{\dagger },{\widehat {a}}]+[{\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger }]-[{\widehat {a}},{\widehat {a}}])\\&={\tfrac {i}{4}}(-(-1)+1)\\&={\tfrac {i}{2}}\end{aligned}}}$

これは位置と運動量演算子の交換関係に非常によく似ています。したがって、これらの直交成分を振動子の位置と運動量として考え、扱うことは有用ですが、実際にはそれらは「空間時間モードの電場振幅の同位相成分と逆位相成分」、つまりuであり、電磁振動子の位置や運動量とは何の関係もありません（電磁振動子にとっての位置と運動量が何を意味するかを定義するのは難しいため）。^[1]

求積法の性質

求積作用素と積分作用素の固有状態は求積状態と呼ばれる。それらは以下の関係を満たす。 ${\displaystyle {\widehat {q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}}$

• ${\displaystyle {\widehat {q}}|q\rangle =q|q\rangle }$ そして ${\displaystyle {\widehat {p}}|p\rangle =p|p\rangle }$

• ${\displaystyle \langle q|q'\rangle =\delta (q-q')}$ そして ${\displaystyle \langle p|p'\rangle =\delta (p-p')}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|q\rangle \langle q|\,dq=1}$ そして ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|p\rangle \langle p|\,dp=1}$

これらは完全な基底関数系を形成するためです。

重要な結果

以下は、上記から導き出される重要な関係であり、直交位相が複素数の実部と虚部（つまり、電磁振動子の同位相成分と逆位相成分）で あるという解釈を正当化するものである。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \langle \alpha |{\widehat {q}}|\alpha \rangle ={\frac {1}{2}}(\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }|\alpha \rangle +\langle \alpha |{\widehat {a}}|\alpha \rangle )={\frac {1}{2}}(\alpha ^{*}\langle \alpha |\alpha \rangle +\alpha \langle \alpha |\alpha \rangle )}$

以下は、上記の評価に役立つ関係であり、次のように表されます。

${\displaystyle \langle \alpha '|\alpha \rangle =e^{(-1/2)(|\alpha '|^{2}+|\alpha |^{2})+\alpha '^{*}\alpha }}$^[1]

これにより次のことが分かります。

${\displaystyle \langle \alpha |{\widehat {q}}|\alpha \rangle ={\frac {1}{2}}(\alpha ^{*}+\alpha )=q_{\alpha }}$

${\displaystyle \langle \alpha |{\widehat {p}}|\alpha \rangle ={\frac {i}{2}}(\alpha ^{*}-\alpha )=p_{\alpha }}$上記と同様の方法で。

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}(\langle \alpha |{\widehat {q}}|\alpha \rangle +i\langle \alpha |{\widehat {p}}|\alpha \rangle )={\frac {1}{2}}(q_{\alpha }+ip_{\alpha })}$

したがって、これは求積法の単なる合成です。 ${\displaystyle \alpha }$

この形式論では、コヒーレント状態のもう一つの非常に重要な性質が極めて明らかになります。コヒーレント状態は光位相空間上の点ではなく、むしろその上の分布です。これは次のように見ることができます。

${\displaystyle q_{\alpha }=\langle \alpha |{\widehat {q}}|\alpha \rangle }$

そして

${\displaystyle p_{\alpha }=\langle \alpha |{\widehat {p}}|\alpha \rangle }$。

これらは、状態のおよび の期待値のみです。 ${\displaystyle {\widehat {q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

この求積法は、次式で示されるハイゼンベルクの不確定性原理に従うことが示されます。

${\displaystyle \Delta q\Delta p\geq 1/2}$^[1]（ここで、およびはそれぞれqとpの分布の分散である） ${\displaystyle \Delta q}$ ${\displaystyle \Delta p}$

この不等式は必ずしも飽和している必要はなく、そのような状態の一般的な例としては、スクイーズドコヒーレント状態が挙げられます。コヒーレント状態は、の周りに局在する位相空間上のガウス確率分布です。 ${\displaystyle \alpha }$

位相空間上の演算子

コヒーレント状態を位相空間上で移動させる演算子を定義することが可能です。これにより新たなコヒーレント状態が生成され、位相空間上での移動が可能になります。

位相シフト演算子

コヒーレント状態に作用し、位相空間で角度だけ回転させる位相シフト演算子。 ${\displaystyle \theta }$

位相シフト演算子は、コヒーレント状態を光位相空間における角度だけ回転させる。この演算子は次のように与えられる。 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\widehat {U}}(\theta )=e^{-\imath \,\theta {\widehat {N}}}}$ ^[1]

ここで、考慮される放射モードの数値演算子です。 ${\displaystyle {\widehat {N}}={\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}}$

重要な関係

${\displaystyle {\widehat {U}}(\theta )^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}}(\theta )={\widehat {a}}e^{-i\theta }}$

は次のように導出されます。

${\displaystyle d/d\theta ({\widehat {U}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}})=i{\widehat {N}}{\widehat {U}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}}-i{\widehat {U}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}}{\widehat {N}}={\widehat {U}}^{\dagger }i[{\widehat {N}},{\widehat {a}}]{\widehat {U}}}$

${\displaystyle ={\widehat {U}}^{\dagger }i({\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}){\widehat {U}}={\widehat {U}}^{\dagger }i[{\widehat {a}}^{\dagger },{\widehat {a}}]{\widehat {a}}{\widehat {U}}=-i{\widehat {U}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}}}$

この微分方程式を解くと、目的の結果が得られます。

したがって、上記を用いると、

${\displaystyle {\widehat {U}}(\theta )|\alpha \rangle =|\alpha e^{-i\theta }\rangle }$、

あるいは、位相空間におけるコヒーレント状態を角度θだけ回転させることです。以下はこれをより明確に示しています。

${\displaystyle {\widehat {a}}({\widehat {U}}|\alpha \rangle )={\widehat {U}}{\widehat {a}}e^{-i\theta }|\alpha \rangle }$

（これは位相シフト演算子がユニタリであるという事実を利用して得られる

${\displaystyle {\widehat {a}}({\widehat {U}}|\alpha \rangle )={\widehat {U}}\alpha e^{-i\theta }|\alpha \rangle =\alpha e^{-i\theta }({\widehat {U}}|\alpha \rangle )}$

したがって、

${\displaystyle (\alpha e^{-i\theta },{\widehat {U}}|\alpha \rangle )}$

は、​

${\displaystyle {\widehat {a}}{\widehat {U}}|\alpha \rangle }$。

このことから、

${\displaystyle (\alpha e^{-i\theta }=2^{-1/2}[q_{\alpha }\cos(\theta )+p_{\alpha }\sin(\theta )]+i2^{-1/2}[-q_{\alpha }\sin(\theta )+p_{\alpha }\cos(\theta )],{\widehat {U}}|\alpha \rangle =|\alpha e^{-i\theta }\rangle )}$

これは固有対を表現する別の方法であり、位相シフト演算子がコヒーレント状態に与える影響をより明確に示しています。

変位演算子

コヒーレント状態に作用し、位相空間内のある値だけコヒーレント状態を変位させる変位演算子。 ${\displaystyle \alpha }$

変位演算子は、コヒーレント状態を別のコヒーレント状態に変換するユニタリ演算子である。変位演算子は次のように与えられる。

${\displaystyle {\widehat {D}}(\alpha )=e^{\alpha {\widehat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\widehat {a}}}}$

その名前は重要な関係から来ています

${\displaystyle {\widehat {a}}(\alpha )\equiv {\widehat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\widehat {a}}{\widehat {D}}(\alpha )={\widehat {a}}+\alpha }$。

実際、仮に実数を導入し、が0から1に変化したときにどのように変化するかを考えてみましょう。 について微分すると、 ${\displaystyle {\widehat {a}}(s)={\widehat {a}}(s\alpha )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\widehat {a}}(s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\widehat {a}}(s)}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}{\widehat {a}}(s)=D^{\dagger }(s\alpha )[\alpha ^{*}{\widehat {a}}-\alpha {\widehat {a}}^{\dagger },{\widehat {a}}]D(s\alpha )=\alpha ,}$

となることによって ${\displaystyle {\widehat {a}}(s)={\widehat {a}}(0)+s\alpha .}$

コヒーレント状態は消滅演算子と数の乗算演算子の両方の固有状態であるため、変位演算子がコヒーレント状態を移動させることは容易に分かる。より正確には、

${\displaystyle {\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle =|\alpha +\beta \rangle .}$

実際、上で導出された関係は と書き直すことができ、 ${\displaystyle {\widehat {a}}{\widehat {D}}(\alpha )={\widehat {D}}(\alpha )({\widehat {a}}+\alpha )}$

${\displaystyle {\widehat {a}}{\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle ={\widehat {D}}(\alpha )({\widehat {a}}+\alpha )|\beta \rangle =(\alpha +\beta ){\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle .}$

したがって、 は、固有値 を持つ消滅演算子の固有状態であり、したがって です。 ${\displaystyle {\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle }$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle {\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle =|\alpha +\beta \rangle }$

特に、

${\displaystyle {\widehat {D}}(-\alpha )|\alpha \rangle =|0\rangle }$

それは

${\displaystyle |\alpha \rangle ={\widehat {D}}(\alpha )|0\rangle }$。

これは、すべてのコヒーレント状態が基底状態（光学では真空状態でもある）の変位として得られることを示しているため重要です。

参照

• 非古典的な光
• 回転演算子（量子力学）
• 量子調和振動子
• 準確率分布
• Husimi Qの表現
• スクイーズドコヒーレント状態
• ウィグナー準確率分布

参考文献

1. レオンハルト、ウルフ (2005).光の量子状態の測定ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局pp.  18– 29. ISBN 0-521-02352-1。
2. Scully, Marlan; Zubairy, M. Suhail (1997).量子光学. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. pp. 5. ISBN 0-521-43595-1。

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