光スカラー

Set of three scalar functions

一般相対性理論では、光スカラーとは、測地線ヌル合同の伝播を記述する3つのスカラー関数（膨張）、（せん断）、（ねじれ/回転/渦度）のセットを指します。^{[1] [2] [3] [4] [5]} ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\hat {\omega }}}$ ${\displaystyle \}}$

実際、これら3つのスカラーは、時間的測地合同とヌル測地合同の両方に対して同一の精神で定義できますが、ヌル測地合同の場合のみ「光学スカラー」と呼ばれます。また、テンソル 方程式ではテンソルの先行表現が採用されるのに対し、スカラーは主にニューマン・ペンローズ形式の言語で書かれた方程式に現れます。 ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}}$

定義: 膨張、せん断、ねじれ

測地的時間的合同性の場合

観測者の世界線（時間的合同性）の接線ベクトル場を と表すと、誘導された「空間計量」を構築することができる。 ${\displaystyle Z^{a}}$

${\displaystyle (1)\quad h^{ab}=g^{ab}+Z^{a}Z^{b}\;,\quad h_{ab}=g_{ab}+Z_{a}Z_{b}\;,\quad h_{\;\;b}^{a}=\delta _{\;\;b}^{a}+Z^{a}Z_{b}\;,}$

ここで は空間射影演算子として働く。 を用いて座標共変微分を射影すると、「空間」補助テンソルが得られる。 ${\displaystyle h_{\;\;b}^{a}}$ ${\displaystyle h_{\;\;b}^{a}}$ ${\displaystyle \nabla _{b}Z_{a}}$ ${\displaystyle B_{ab}}$

${\displaystyle (2)\quad B_{ab}=h_{\;\;a}^{c}\,h_{\;\;b}^{d}\,\nabla _{d}Z_{c}=\nabla _{b}Z_{a}+A_{a}Z_{b}\;,}$

ここで は4元加速度を表し、 という意味で純粋に空間的なものである。特に測地線的時間的世界線を持つ観測者の場合、 ${\displaystyle A_{a}}$ ${\displaystyle B_{ab}}$ ${\displaystyle B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0}$

${\displaystyle (3)\quad A_{a}=0\;,\quad \Rightarrow \quad B_{ab}=\nabla _{b}Z_{a}\;.}$

これを対称部分と反対称部分に分解すると、 ${\displaystyle B_{ab}}$ ${\displaystyle \theta _{ab}}$ ${\displaystyle \omega _{ab}}$

${\displaystyle (4)\quad \theta _{ab}=B_{(ab)}\;,\quad \omega _{ab}=B_{[ab]}\;.}$

${\displaystyle \omega _{ab}=B_{[ab]}}$はトレースフリー（）であるが、 はトレースがゼロではない。したがって、対称部分はさらにトレース部分とトレースフリー部分に書き直すことができる。 ${\displaystyle g^{ab}\omega _{ab}=0}$ ${\displaystyle \theta _{ab}}$ ${\displaystyle g^{ab}\theta _{ab}=\theta }$ ${\displaystyle \theta _{ab}}$

${\displaystyle (5)\quad \theta _{ab}={\frac {1}{3}}\theta h_{ab}+\sigma _{ab}\;.}$

したがって、全体として私たちは

${\displaystyle (6)\quad B_{ab}={\frac {1}{3}}\theta h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}\;,\quad \theta =g^{ab}\theta _{ab}=g^{ab}B_{(ab)}\;,\quad \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\theta h_{ab}\;,\quad \omega _{ab}=B_{[ab]}\;.}$

測地線上のヌル合同の場合

ここで、接ベクトル場を持つ測地線上の零合同を考えてみましょう。時間的状況と同様に、次のように定義します。 ${\displaystyle k^{a}}$

${\displaystyle (7)\quad {\hat {B}}_{ab}:=\nabla _{b}k_{a}\;,}$

これは次のように分解できる

${\displaystyle (8)\quad {\hat {B}}_{ab}={\hat {\theta }}_{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}+{\hat {\sigma }}_{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}\;,}$

どこ

${\displaystyle (9)\quad {\hat {\theta }}_{ab}={\hat {B}}_{(ab)}\;,\quad {\hat {\theta }}={\hat {h}}^{ab}{\hat {B}}_{ab}\;,\quad {\hat {\sigma }}_{ab}={\hat {B}}_{(ab)}-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\;,\quad {\hat {\omega }}_{ab}={\hat {B}}_{[ab]}\;.}$

ここで「ハット」量は、ヌル合同の場合のこれらの量が三次元時間的ケースとは対照的に二次元であることを強調するために用いられている。しかし、論文中でヌル合同のみを議論する場合は、簡潔さのためにハットは省略することができる。

定義: 零合同の光学スカラー

光スカラー^{[1] [2] [3] [4] [5]}は、式(9)のテンソルの「スカラー化」から直接得られる。 ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}}$

測地線ヌル合同の展開は次のように定義される（ただし、便宜上、共変微分を表すために別の標準記号「 」を採用する）。 ${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle \nabla _{a}}$

${\displaystyle (10)\quad {\hat {\theta }}={\frac {1}{2}}\,k^{a}{}_{;\,a}\;.}$

「ヌル合同の拡大率」との比較：「ヌル合同の拡大率」の記事で示されているように、それぞれとで示される出射拡大率と入射拡大率は次のように定義されます。 ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$

${\displaystyle (A.1)\quad \theta _{(\ell )}:=h^{ab}\nabla _{a}l_{b}\;,}$

${\displaystyle (A.2)\quad \theta _{(n)}:=h^{ab}\nabla _{a}n_{b}\;,}$

ここで、 は誘導計量を表す。また、および は次のように計算できる。 ${\displaystyle h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}}$ ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$

${\displaystyle (A.3)\quad \theta _{(\ell )}=g^{ab}\nabla _{a}l_{b}-\kappa _{(\ell )}\;,}$

${\displaystyle (A.4)\quad \theta _{(n)}=g^{ab}\nabla _{a}n_{b}-\kappa _{(n)}\;,}$

ここで、およびはそれぞれ、出力非親和係数と入力非親和係数であり、次のように定義される。 ${\displaystyle \kappa _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \kappa _{(n)}}$

${\displaystyle (A.5)\quad l^{a}\nabla _{a}l_{b}=\kappa _{(\ell )}l_{b}\;,}$

${\displaystyle (A.6)\quad n^{a}\nabla _{a}n_{b}=\kappa _{(n)}n_{b}\;.}$

さらに、ニューマン・ペンローズ形式主義の言語で、慣例に従って、 ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$

${\displaystyle (A.7)\quad \theta _{(l)}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,}$

ご覧のとおり、測地線ヌル合同の場合、光学スカラーは膨張率およびと同様の役割を果たします。したがって、測地線ヌル合同の場合、 はまたは のいずれかに等しくなります。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$

測地線上のヌル合同のせん断は次のように定義される。

${\displaystyle (11)\quad {\hat {\sigma }}^{2}={\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\bar {\sigma }}}^{ab}={\frac {1}{2}}\,g^{ca}\,g^{db}\,k_{(a\,;\,b)}\,k_{c\,;\,d}-{\Big (}{\frac {1}{2}}\,k^{a}{}_{;\,a}{\Big )}^{2}=\,g^{ca}\,g^{db}{\frac {1}{2}}\,k_{(a\,;\,b)}\,k_{c\,;\,d}-{\hat {\theta }}^{2}\;.}$

測地線合同のねじれは次のように定義される。

${\displaystyle (12)\quad {\hat {\omega }}^{2}={\frac {1}{2}}\,k_{[a\,;\,b]}\,k^{a\,;\,b}=g^{ca}\,g^{db}\,k_{[a\,;\,b]}\,k_{c\,;\,d}\;.}$

実際には、測地線ヌル合同は通常、その出射接線ベクトル場（）または入射接線ベクトル場（ ）（これらはヌル法線でもある）のいずれかによって定義されます。したがって、それぞれと に関して定義される2組の光スカラー と が得られ ます。 ${\displaystyle k^{a}=l^{a}}$ ${\displaystyle k^{a}=n^{a}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}_{(n)}\,,{\hat {\sigma }}_{(n)}\,,{\hat {\omega }}_{(n)}\}}$ ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle n^{a}}$

伝播方程式の分解への応用

測地線上の時間的合同性の場合

測地線上の時間的合同性に関する伝播（または進化）は、次の式に従います。 ${\displaystyle B_{ab}}$ ${\displaystyle Z^{c}}$

${\displaystyle (13)\quad Z^{c}\nabla _{c}B_{ab}=-B_{\;\;b}^{c}B_{ac}+R_{cbad}Z^{c}Z^{d}\;.}$

式(13)の軌跡を と縮約してとると、式(13)は次のようになる。 ${\displaystyle g^{ab}}$

${\displaystyle (14)\quad Z^{c}\nabla _{c}\theta =\theta _{,\,\tau }=-{\frac {1}{3}}\theta ^{2}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+\omega _{ab}\omega ^{ab}-R_{ab}Z^{a}Z^{b}}$

式(6)の量を用いて表す。さらに、式(13)のトレースフリー対称部分は

${\displaystyle (15)\quad Z^{c}\nabla _{c}\sigma _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \sigma _{ab}-\sigma _{ac}\sigma _{\;b}^{c}-\omega _{ac}\omega _{\;b}^{c}+{\frac {1}{3}}h_{ab}\,(\sigma _{cd}\sigma ^{cd}-\omega _{cd}\omega ^{cd})+C_{cbad}Z^{c}Z^{d}+{\frac {1}{2}}{\tilde {R}}_{ab}\,.}$

最後に、式(13)の反対称成分は次式を与える。

${\displaystyle (16)\quad Z^{c}\nabla _{c}\omega _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \omega _{ab}-2\sigma _{\;[b}^{c}\omega _{a]c}\;.}$

測地線上の零合同の場合

（一般的な）測地線ヌル合同は次の伝播方程式に従う。

${\displaystyle (16)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {B}}_{ab}=-{\hat {B}}_{\;\;b}^{c}{\hat {B}}_{ac}+{\widehat {R_{cbad}k^{c}k^{d}}}\;.}$

式(9)にまとめた定義を用いると、式(14)は次の成分方程式に書き直すことができる。

${\displaystyle (17)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\theta }}={\hat {\theta }}_{,\,\lambda }=-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\sigma }}^{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}{\hat {\omega }}^{ab}-{\widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}}\;,}$

${\displaystyle (18)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\sigma }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\sigma }}_{ab}+{\widehat {C_{cbad}k^{c}k^{d}}}\;,}$

${\displaystyle (19)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\omega }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\omega }}_{ab}\;.}$

制限された測地線上の零合同の場合

零超曲面上に制限された測地零合同の場合、

${\displaystyle (20)\quad k^{c}\nabla _{c}\theta ={\hat {\theta }}_{,\,\lambda }=-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\sigma }}^{ab}-{\widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}}+\kappa _{(\ell )}{\hat {\theta }}\;,}$

${\displaystyle (21)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\sigma }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\sigma }}_{ab}+{\widehat {C_{cbad}k^{c}k^{d}}}+\kappa _{(\ell )}{\hat {\sigma }}_{ab}\;,}$

${\displaystyle (22)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\omega }}_{ab}=0\;.}$

スピン係数、レイチャウドゥリ方程式、光スカラー

前のセクションをよりよく理解するために、ヌル合同性を描く際に関係するNPスピン係数の意味を簡単に確認する。^[1]ヌルフローを支配するRaychaudhuriの方程式^[6]のテンソル形式は次のようになる。

${\displaystyle (23)\quad {\mathcal {L}}_{\ell }\theta _{(\ell )}=-{\frac {1}{2}}\theta _{(\ell )}^{2}+{\tilde {\kappa }}_{(\ell )}\theta _{(\ell )}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+{\tilde {\omega }}_{ab}{\tilde {\omega }}^{ab}-R_{ab}l^{a}l^{b}\,,}$

ここで はと定義される。レイチャウドゥリ方程式の量はスピン係数と次のように関係している。 ${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{(\ell )}}$ ${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}}$

${\displaystyle (24)\quad \theta _{(\ell )}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,}$

${\displaystyle (25)\quad \sigma _{ab}=-\sigma {\bar {m}}_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {\sigma }}m_{a}m_{b}\,,}$

${\displaystyle (26)\quad {\tilde {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}\,{\Big (}\rho -{\bar {\rho }}{\Big )}\,{\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}={\text{Im}}(\rho )\cdot {\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}\,,}$

ここで、式(24)は、 ${\displaystyle {\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}}$

${\displaystyle (27)\quad \theta _{(\ell )}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}l_{b}+{\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {\delta }}l_{b}+{\bar {m}}^{b}\delta l_{b}=-(\rho +{\bar {\rho }})\,,}$

${\displaystyle (28)\quad \theta _{(n)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}n_{b}+m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}\delta n_{b}+m^{b}{\bar {\delta }}n_{b}=\mu +{\bar {\mu }}\,.}$

参照

• レイチャウダリ方程式
• 合同性（一般相対性理論）

参考文献

1. エリック・ポアソン.相対論者のツールキット：ブラックホール力学の数学. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局, 2004年. 第2章.
2. ハンス・ステファニ、ディートリッヒ・クレイマー、マルコム・マッカラム、コーネリウス・ホエンセラーズ、エドゥアルド・ヘルト共著。『アインシュタインの場の方程式の厳密解』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、2003年。第6章。
3. Subrahmanyan Chandrasekhar.ブラックホールの数学的理論. オックスフォード: オックスフォード大学出版局, 1998. 第9節(a).
4. Jeremy Bransom Griffiths、Jiri Podolsky. Exact Space-Times in Einstein's General Relativity . Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Section 2.1.3.
5. P シュナイダー、J エーラーズ、EE ファルコ。重力レンズ。ベルリン: Springer、1999 年。セクション 3.4.2。
6. サヤン・カー、スミトラ・セングプタ。ライショードリ方程式: 簡単なレビュー。プラマナ、2007、69 ( 1 ): 49-76。 [arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-qc/0611123]

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