軌道（力学）

数学、特に力学系の研究において、軌道とは力学系の発展関数によって関連付けられる点の集合である。これは、特定の初期条件の下で力学系が発展していく過程で、その軌道が描く位相空間の部分集合として理解することができる。位相空間の軌道は任意の位相空間座標に対して一意に決定されるため、異なる軌道が位相空間で交差することは不可能である。したがって、力学系のすべての軌道の集合は位相空間の分割となる。位相学的手法を用いて軌道の特性を理解することは、現代の力学系理論の目的の一つである。

離散時間力学系の場合、軌道はシーケンスです。実数力学系の場合、軌道は曲線です。正則力学系の場合、軌道はリーマン面です。

定義

力学系（T、M、Φ）において、Tは群、Mは集合、 Φは進化関数である。

\Phi :U\to M

どこで

U\subset T\times M

\Phi (0,x)=x

定義する

I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},

すると、集合

\gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M

はxを通る軌道と呼ばれます。1点からなる軌道は定軌道と呼ばれます。非定軌道は、xがx である軌道が存在する場合、閉軌道または周期軌道と呼ばれます $t\neq 0$ $I(x)$

\Phi (t,x)=x

。

実力学系

実力学系（R , M , Φ）が与えられたとき、I（x ）は実数における開区間、すなわち、 M内の任意のxに対して、 $I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})$

\gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}

はxを通る正の半軌道と呼ばれ、

\gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}

はxを通る負の半軌道と呼ばれます。

離散時間力学系

時間不変の進化関数を持つ離散時間力学系の場合： $f$

x の順軌道は次の集合である:

\gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0\}

関数が逆関数である場合、 x の逆軌道は次の集合になります。

\gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\leq 0\}

x の軌道は次の集合です:

\gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}

ここで

$f$ は進化関数です $f:X\to X$
集合は力学空間です $X$
$t$ は反復回数であり、自然数であり、 $t\in T$
$x$ システムの初期状態であり $x\in X$

一般力学系

一般力学系、特に同次力学系において、測度保存的に確率空間に作用する「良い」群がある場合、安定化群が内部の格子であるとき、軌道は周期的（または同値で、閉じている）と呼ばれます $G$ $X$ $G.x\subset X$ $Stab_{G}(x)$ $G$

さらに、関連する用語として、集合が内部でプレコンパクトである場合の有界軌道があります。 $G.x$ $X$

軌道の分類は、他の数学分野と関連する興味深い疑問につながる可能性があります。例えば、オッペンハイム予想（マーギュリスによって証明）とリトルウッド予想（リンデンシュトラウスによって部分的に証明）は、同質空間における自然作用のすべての有界軌道が周期軌道であるかどうかという疑問を扱っています。この観察はラグナサンによるもので、別の言葉で言えばカッセルスとスウィナートン＝ダイアーによるものです。こうした疑問は、深層測度分類定理と密接に関連しています。 $SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )$

注釈

発展関数は群の要素を構成すると理解されることが多く、その場合、群作用の群論的軌道は力学的軌道と同じものになります

例

複素二次多項式に基づく離散力学系の臨界軌道。乗数=0.99993612384259の固定点に弱く引き寄せられる傾向がある。
臨界軌道は弱い引力点に向かう傾向があります。引力固定点から斥力固定点（z=0）にかけての螺旋が見られ、この領域は準位曲線の密度が高い場所です。

平衡点の軌道は一定軌道です。

軌道の安定性

軌道の基本的な分類は

一定の軌道または固定点
周期軌道
非定数軌道と非周期軌道

軌道が閉じられない場合、2つの理由があります。周期軌道に収束する場合、漸近的に周期的な軌道である可能性があります。このような軌道は、真に繰り返されることはないため閉じているとは言えませんが、繰り返し軌道に任意に近づきます。軌道はカオス的になることもあります。これらの軌道は初期点に任意に近づきますが、周期軌道に収束することはありません。初期条件に敏感な依存性を示し、初期値の小さな違いが軌道の将来の点に大きな違いをもたらすことを意味します

軌道には他にも様々な分類を可能にする性質があります。近傍点が指数関数的に速く軌道に近づいたり離れたりする場合、軌道は双曲軌道と呼ばれます。

参照

参考文献

ヘイル、ジャック・K.、コチャック、フセイン (1991).「周期軌道」.ダイナミクスと分岐. ニューヨーク: シュプリンガー. pp. 365– 388. ISBN 0-387-97141-6。
アナトール・カトック、ボリス・ハッセルブラット（1996年）。『現代力学系理論入門』ケンブリッジ。ISBN 0-521-57557-5。
パーコ、ローレンス (2001).「周期軌道、リミットサイクル、セパラトリックスサイクル」.微分方程式と動的システム（第3版）. ニューヨーク：シュプリンガー. pp. 202– 211. ISBN 0-387-95116-4。