軌道方程式

天体力学方程式

天体力学において、軌道方程式は、中心天体の周りを周回する 軌道を、位置を時間の関数として指定することなく、中心天体に対する相対的な軌道として定義します。標準的な仮定の下では、中心天体に向かっている力（重力など）の影響下で運動する物体は、中心天体が2つの焦点のいずれか、つまり焦点に位置する円錐曲線（つまり、円軌道、楕円軌道、放物線軌道、双曲軌道、または放射状軌道）の軌道を持ちます（ケプラーの第一法則）。 ${\displaystyle m_{2}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$

円錐断面が中心物体と交差する場合、実際の軌道は表面より上の部分のみになりますが、その部分については、自由落下（無重力状態）である限り、軌道方程式と多くの関連式が依然として適用されます。

中央の逆二乗法則の力

質量Mの中心物体と、それよりはるかに小さい質量の軌道物体からなる二体系を考え、この二物体が中心の反二乗則の力（重力など）を介して相互作用すると仮定する。極座標系では、軌道方程式は^[1]の ように表される。 ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle r={\frac {\ell ^{2}}{m^{2}\mu }}{\frac {1}{1+e\cos \theta }}}$$

• ${\displaystyle r}$2つの物体間の分離距離であり、
• ${\displaystyle \theta }$は近点軸（真近点角とも呼ばれる）となす角度です。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$
• パラメータは中心天体の周りを周回する天体の角運動量であり、 、つまり2つの天体の相対位置と速度ベクトルの外積の大きさに質量を乗じた値に等しい。^{[注 1]} ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle mr^{2}{\dot {\theta }}}$
• パラメータ は定数であり、 は小さい方の物体の加速度に等しい（重力の場合、は標準的な重力パラメータ、である）。与えられた軌道において、 が大きいほど、周回する物体はより速く移動する。つまり、引力が4倍強い場合は速度は2倍になる。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu /r^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -GM}$ ${\displaystyle \mu }$
• パラメータは軌道の離心率であり、 ^{[1]で与えられる。} ${\displaystyle e}$

  ${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{m^{3}\mu ^{2}}}}}}$

  軌道のエネルギーはどこにありますか。 ${\displaystyle E}$

との関係は円錐曲線を表します。^[1]の値は、軌道がどのような円錐曲線になるかを制御します。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle e}$

• のとき、軌道は楕円形になります（円は の楕円です）。 ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=0}$
• のとき、軌道は放物線状になります。 ${\displaystyle e=1}$
• のとき、軌道は双曲型になります。 ${\displaystyle e>1}$

式中の の最小値は次の通りです。一方、 の場合、最大値は次の通りです。 ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1+e}}}$$ ${\displaystyle e<1}$ $${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}}$$

最大値が中心体の半径より小さい場合、円錐断面は中心体の内側に完全に収まる楕円となり、そのどの部分も軌道になり得ません。最大値が中心体の半径より大きく、最小値が中心体の半径より小さい場合、軌道の一部は軌道になり得ます。

• エネルギーが非負の場合（放物線または双曲軌道）：運動は中心物体から離れるか、中心物体に近づくかのいずれかになります。
• エネルギーが負の場合: 最初に中心物体から離れる方向に動き、その後物体は後ろに落ちます。 $${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}}$$

軌道上の物体が大気圏に突入するような状況になった場合、大気圏再突入の場合と同様に、標準的な仮定は適用されなくなります。 ${\displaystyle r}$

低エネルギー軌道

中心天体が地球であり、そのエネルギーが地球表面の位置エネルギーよりわずかに大きいだけの場合、軌道は離心率が1に近く、楕円の一方の端が地球の中心をわずかに越え、もう一方の端が地表のすぐ上にある楕円形となります。適用できるのは楕円のごく一部です。

水平速度が の場合、近点距離は です。地球の表面でのエネルギーは、 の楕円軌道（地球の半径）のエネルギーに対応しますが、この楕円軌道は、地表より完全に下にある楕円であるため、実際には存在できません。の増加に伴うエネルギーの増加率は です。軌道表面からの最大高度は、楕円の長さから を引いて、さらに地球の中心の「下」の部分を引いた値であり、したがって の増加の 2 倍から近点距離を引いた値です。上部^[何の]では、位置エネルギーはにこの高さを掛けたもので、運動エネルギーは です。これが、先ほど述べたエネルギー増加分になります。楕円の幅は 19 分^{[なぜですか? ]}倍です。 ${\displaystyle v\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}}$ ${\displaystyle a=R/2\,\!}$ ${\displaystyle R\,\!}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2g\,\!}$ ${\displaystyle R\,\!}$ ${\displaystyle a\,\!}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle v\,\!}$

楕円の表面より上の部分は、重力が一定であると仮定したモデルで得られる放物線の一部で近似できます。これは、速度が脱出速度である天体力学における放物軌道とは区別する必要があります。

軌道も参照してください。

軌道の分類

地球の表面付近で、ある一点が水平である軌道を考えてみましょう。この点で速度が増加すると、軌道は次のようになります。

• 地球の中心を遠焦点とする、垂直の長軸を持つ楕円の一部（石を投げる、弾道宇宙飛行、弾道ミサイル）
• 地球の表面のすぐ上の円（低軌道）
• 地球の中心を近焦点とする、垂直の長軸を持つ楕円
• 放物線
• 双曲線

上記の数列^{[どこで？ ]}において、、、は単調増加しますが、最初は1から0まで減少し、その後0から無限大まで増加します。反転は、地球の中心が遠焦点から近焦点に変わるときです（もう一方の焦点は地表付近から始まり、地球の中心を通過します）。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle e=\left|{\frac {R}{a}}-1\right|}$

これを、別の高さで水平になる軌道、および地球表面より下を水平に外挿する軌道に拡張すると、放射状の軌道を除くすべての軌道の分類が得られます。ちなみに、放射状の軌道には軌道方程式を使用できません。この分類では楕円が2回考慮されるため、両面が地表より上にある楕円の場合は、低い方の辺を基準辺として採用し、片面のみが地表より上にある楕円の場合は、その辺を基準辺とします。

参照

• ケプラーの第一法則
• 円軌道
• 楕円軌道
• 放物線軌道
• 双曲線軌道
• ツィオルコフスキーロケット方程式
• 軌道速度
• 脱出速度
• 天体力学

注記

1. 特定の相対角運動量と呼ばれる関連パラメータがあります。これはによってと関連付けられています。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle h=\ell /m}$

参考文献

1. アレクサンダー・フェッター、ジョン・ワレッカ (2003).粒子と連続体の理論力学.ドーバー出版. pp.  13– 22.

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