順序制約双対

Mathematical concept

数学、特に順序論と関数解析において、順序ベクトル空間の順序境界双対は、形式の集合である順序区間を有界集合に写像するその上のすべての線型関数の集合である。[ 1 ] の^順序 境界双対はで表される。この空間は順序位相ベクトル空間 の理論において重要な役割を果たす。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [a,b]:=\{x\in X:a\leq x{\text{ and }}x\leq b\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\operatorname {b} }.}$

正規順序

の順序が束縛された双対の元は、次を意味するとき正と呼ばれる。順序が束縛された双対の正の元は、と呼ばれる順序を誘導する錐を形成する。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (f(x))\geq 0.}$ ${\displaystyle X^{\operatorname {b} }}$正準順序付け。順序ベクトル空間、その正錐が生成（つまりである、正準順序付けを持つ順序有界双対は順序ベクトル空間である。^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X=C-C}$

プロパティ

順序付きベクトル空間の順序が制限された双対には、その順序付き双対が含まれる。^[1]順序付きベクトル空間 の正の錐が生成的であり、すべての正の錐とに対して が成り立つ場合、順序付き双対は順序が制限された双対に等しく、その標準順序付けの下で順序完備ベクトル格子となる。^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y],}$

がベクトル格子で、が上の順序有界線型形式であるとする。すると、すべての^[1]に対して ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\in X,}$

1. ${\displaystyle \sup(f,g)(|x|)=\sup\{f(y)+g(z):y\geq 0,z\geq 0,{\text{ and }}y+z=|x|\}}$
2. ${\displaystyle \inf(f,g)(|x|)=\inf\{f(y)+g(z):y\geq 0,z\geq 0,{\text{ and }}y+z=|x|\}}$
3. ${\displaystyle |f|(|x|)=\sup\{f(y-z):y\geq 0,z\geq 0,{\text{ and }}y+z=|x|\}}$
4. ${\displaystyle |f(x)|\leq |f|(|x|)}$
5. とが格子素であるとき、各と実数に対して、次の分解が存在する。 ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle g\geq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle x=a+b}$ ${\displaystyle a\geq 0,b\geq 0,{\text{ and }}f(a)+g(b)\leq r.}$

参照

• 代数的双対空間 – 数学において、線型形式のベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 連続双対空間 – 数学において、線型形式のベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 双対空間 – 数学において、線型形式のベクトル空間
• 順序双対（関数解析）

参考文献

1. シェーファー & ヴォルフ、1999 年、204–214 ページ。

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。

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