注文単位

順序ベクトル空間の元

順序単位は順序付きベクトル空間の元であり、上からすべての元を束縛するために使用できます。^[1]このように（以下の最初の例に示すように）、順序単位は実数の単位元を一般化します。

HHシェーファーによれば、「解析に現れる順序ベクトル空間のほとんどは順序単位を持たない」^[2]。

意味

ベクトル空間における順序付け錐について、元が順序単位（より正確には -順序単位）であるとは、任意の元に対してが存在する（つまり）ことを言う。^[3] ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e\in K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \lambda _{x}>0}$ ${\displaystyle \lambda _{x}e-x\in K}$ ${\displaystyle x\leq _{K}\lambda _{x}e}$

同等の定義

順序付け錐の順序単位は、代数的内部の要素であり、 ^[3]で与えられる。 ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle K;}$ ${\displaystyle \operatorname {core} (K).}$

例

を実数とすると、単位元は順序単位になります。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\},}$ ${\displaystyle 1}$

とすると、単位要素は順序単位になります。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}^{n}=\left\{x_{i}\in \mathbb {R} :{\text{ for all }}i=1,\ldots ,n:x_{i}\geq 0\right\},}$ ${\displaystyle {\vec {1}}=(1,\ldots ,1)}$

順序付き位相ベクトル空間の正錐の各内点は順序単位である。^[2]

プロパティ

順序付きTVSの各順序単位は、順序位相の正の円錐の内部にある。^[2]

が実数上の順序付きベクトル空間で順序が1である場合、写像は部分線型関数である。^[4] ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle p(x):=\inf\{t\in \mathbb {R} :x\leq tu\}}$

注文単位ノルム

がアルキメデス的位数を持つ実数上の順序ベクトル空間であるとし、によって定義される ミンコフスキー関数はノルムと呼ばれる。 ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U=[-u,u].}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf\{r>0:x\in r[-u,u]\},}$順序単位ノルムを満たす。そして、によって決定される閉単位球は、つまり^[4]に等しい。 ${\displaystyle p_{U}(u)=1}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle [-u,u];}$ ${\displaystyle [-u,u]=\left\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\right\}.}$

参考文献

1. フックシュシュタイナー、ベンノ;ヴォルフガング・ラスキー (1981)。凸円錐。エルゼビア。ISBN 9780444862907。
2. シェーファー＆ウォルフ 1999、230–234ページ。
3. Charalambos D. Aliprantis; Rabee Tourky (2007).円錐と双対性.アメリカ数学会. ISBN 9780821841464。
4. Narici & Beckenstein 2011、pp. 139–153。

参考文献

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。

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