順序付きフィールド

順序付けられた構造を持つ代数的オブジェクト

数学において、順序体とは、その元の全順序付けが体の演算と両立する体です。順序体の基本的な例としては、有理数と実数があり、どちらも標準的な順序付けがされています。

順序体のすべての部分体は、継承された順序においても順序体である。すべての順序体には、有理数と同型な順序体部分体が含まれる。すべてのデデキント完全順序体は実数と同型である。順序体において、平方は必ず非負である。これは、虚数単位iの平方が-1（任意の順序体において負である） であるため、複素数を順序付けできないことを意味する。有限体は順序付けできない。

歴史的に、順序体の公理化は、ダヴィド・ヒルベルト、オットー・ヘルダー、ハンス・ハーンといった数学者によって、実数から徐々に抽象化されていった。これは最終的に、順序体と形式実体のアルティン＝シュライアー理論へと発展した。

定義

順序体には、同値な一般的な定義が2つあります。全順序の定義は歴史的に初めて登場し、二項述語としての順序付けの第一階公理化です。アルティンとシュライアーは1926年に正錐を用いてこの定義を与え、これは非負元の部分集合を公理化します。後者は高階ですが、正錐を極大前置錐と見なすことで、体の順序付けが極限部分順序付けであるというより広い文脈が得られます。 ${\displaystyle \leq }$

合計注文

フィールドと合計順序の組み合わせ は ${\displaystyle (F,+,\cdot \,)}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle F}$順序が次の特性をすべて満たす場合、順序付きフィールド ${\displaystyle a,b,c\in F:}$

• もしそうならそして ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a+c\leq b+c,}$
• もし、そして ${\displaystyle 0\leq a}$ ${\displaystyle 0\leq b}$ ${\displaystyle 0\leq a\cdot b.}$

いつものように、とを と書きます。と という表記はそれぞれ、とを表します。を持つ元は正元と呼ばれます。 ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle b>a}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle a>0}$

正の円錐

あ前置錐またはフィールドの順序付けは次のような性質を持つサブセットです^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P\subseteq F}$

• との両方において、とが ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle x\cdot y}$ ${\displaystyle P.}$
• もし、特に 、 そして ${\displaystyle x\in F,}$ ${\displaystyle x^{2}\in P.}$ ${\displaystyle 0=0^{2}\in P}$ ${\displaystyle 1=1^{2}\in P.}$
• 要素は ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle P.}$

あ事前順序体とは、事前順序付けを備えた体であり、 その非ゼロ元は乗法群の部分群を形成する ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle P^{*}}$ ${\displaystyle F.}$

さらに、集合がの和集合である場合、を正錐と呼ぶ。の 非ゼロ元は、の正元と呼ばれる。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle -P,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F.}$

順序体とは正の円錐を伴う体である。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P.}$

上の順序付けは、まさに上の正錐の族の共通部分である 。正錐は最大の順序付けである。^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$

2つの定義の同等性

を体とする。の体順序と正錐の間には一対一の関係がある。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$

最初の定義のように体順序 ≤ が与えられると、の正の錐を形成するような元の集合はの正の錐を形成します。逆に、2 番目の定義のようにの正の錐が与えられると、 をに設定することによっての全順序付けを関連付けることができます。これは、この全順序付けは最初の定義の特性を満たします。 ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \leq _{P}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\leq _{P}y}$ ${\displaystyle y-x\in P.}$ ${\displaystyle \leq _{P}}$

順序付けされたフィールドの例

順序付けられたフィールドの例は次のとおりです。

• 標準的な順序付け（これが唯一の順序付けでもある）を持つ有理数体。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• 標準的な順序付け（これが唯一の順序付けでもある）による実数体。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 実代数や計算可能数などの順序体の任意の部分体は、順序をその部分体に制限することによって順序体になります。
• 有理関数体（ただし、とは有理係数の多項式、 ）は、実超越数を固定し、が のときのみと定義することで、順序体とすることができます。これは、 を介して に埋め込み、 の順序付けをの像の順序付けに制限することと同等です。このようにして、 のさまざまな順序付けが得られます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)\neq 0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$ ${\displaystyle p(\alpha )/q(\alpha )>0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$
• 有理関数体（ただし、およびは実係数の多項式、 ）は、 （ただし、およびはそれぞれ、およびの最高係数）を意味するように定義することで、順序体にすることができます。同様に、有理関数に対して、が十分に大きい任意のに対してであることが必要条件であり、かつその場合に限ります。この順序体では、多項式 は任意の定数多項式よりも大きく、順序体はアルキメデスのではありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$ ${\displaystyle p_{n}/q_{m}>0}$ ${\displaystyle p_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle q_{m}\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}}$ ${\displaystyle q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}}$ ${\displaystyle f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)}$ ${\displaystyle f(x)<g(x)}$ ${\displaystyle f(t)<g(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x)=x}$
• 実係数を持つ形式ローラン級数の体。xは無限小かつ正とする。 ${\displaystyle \mathbb {R} ((x))}$
• トランスシリーズ
• 実閉体
• 超実数
• 超実数

超実数は集合ではなく真類を形成するが、それ以外は順序体の公理に従う。あらゆる順序体は超実数に埋め込むことができる。

順序付きフィールドのプロパティ

物件 ${\displaystyle a>0\land x<y\Rightarrow ax<ay}$

物件 ${\displaystyle x<y\Rightarrow a+x<a+y}$

Fのあらゆるa、b、c、dについて:

• − a ≤ 0 ≤ aまたはa ≤ 0 ≤ − aのいずれかです。
• 不等式を「追加」することができます。つまり、 a ≤ bかつc ≤ dの場合、a + c ≤ b + dとなります。
• 「正の要素を持つ不等式を掛け合わせる」ことができます。つまり、 a ≤ bかつ 0 ≤ cの場合、ac ≤ bcとなります。
• 「負の数を掛けると不等式が反転します」: a ≤ bかつ c ≤ 0 の場合、ac ≥ bcとなります。
• a < bかつa , b > 0の場合、 1/ b < 1/ aとなります。
• 平方数は非負です。Fの任意のaについて0 ≤ a ²です。特に、1=1 ²なので、0 ≤ 1 となります。0 ≠ 1 なので、0 < 1 となります。
• 順序付けられた体は、特性0 を持ちます。(1 > 0 なので、1 + 1 > 0、1 + 1 + 1 > 0 などとなり、1 の有限の和が 0 になることはありません。) 特に、有限体は順序付けることができません。
• あらゆる非自明な平方和は非ゼロである。等価的に：^{[2] [3]} ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.}$

順序体のすべての部分体は、（誘導順序を継承する）順序体でもある。最小の部分体は（標数0の他の体と同様に）有理数体と同型であり、この有理数部分体上の順序は有理数体自身の順序と同じである。

順序体のすべての元がその有理数体の各元の間にある場合、その体はアルキメデス体であると言われる。そうでない場合、そのような体は非アルキメデス体であり、無限小を含む。例えば、実数はアルキメデス体を形成するが、超実数は非アルキメデス体を形成する。これは、超実数が実数を任意の標準的な自然数よりも大きな元で拡張するためである。^[4]

順序体Fが実数体Rと同型であるための必要十分条件は、 Fに上界を持つFの空でない部分集合のすべてがFに 最小の上界を持つということである。この性質は、体 F がアルキメデス的であることを意味する。

順序体上のベクトル空間

順序体上のベクトル空間（特にn空間）は、いくつかの特殊な性質と構造、すなわち、向き、凸性、正定値内積を持ちます。R ⁿのこれらの性質は、他の順序体上のベクトル空間にも一般化できます。これらの性質については、実座標空間#幾何学的性質と用途を参照してください。

フィールドの順序付け

全ての順序体は形式的に実体である。つまり、0は非ゼロの平方の和として書くことはできない。^{[2] [3]}

逆に、すべての形式実体は、両立する全順序を備えることができ、それによって順序体となる。（この順序は一意に決定される必要はない。）証明にはツォルンの補題を用いる。^[5]

有限体、そしてより一般的には正標数の体は、上に示したように順序体に変換できません。複素数も順序体に変換できません。なぜなら、−1は虚数単位iの平方だからです。また、p進数も順序体に変換できません。ヘンゼルの補題によれば、 Q ₂には−7の平方根が含まれるため、1 ²  + 1 ²  + 1 ²  + 2 ²  +  √ −7 ²  = 0となり、Q _p ( p > 2) には1 − p の平方根が含まれるため 、( p  − 1)⋅1 ²  + ( √ 1 −  p ) ²  = 0となるからです^。[6]

秩序によって誘起される位相

F が全順序 ≤ から生じる順序位相を備えている場合、公理により演算 + と × が連続することが保証され、Fは位相体になります。

ハリソン位相幾何学

ハリソン位相は、形式的に実な体Fの順序集合X _F上の位相である。各順序は、 F ^∗から ±1 への乗法群準同型とみなせる。±1 に離散位相を与え、±1 ^Fに積位相を与えると、 X _F上の部分空間位相が誘導される。ハリソン集合はハリソン位相の部分基底を形成する。積はブール空間（コンパクト、ハウスドルフ、かつ全不連続）であり、X _Fは閉部分集合であるため、やはりブール空間となる。^{[7] [8]} ${\displaystyle H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}}$

ファンとスーパーオーダーフィールド

F上のファンとは、SがF∗の添字2の部分群でT − {0}を含み、−1を含まないとき、Sは順序付けされている（^つまり、Sは加法に関して閉じている）という性質を持つ、順序付けされたTである。 [ 9 ]超順序体^と は、平方和の集合がファンを形成するような全実体である。^[10]

参照

• 線型順序群 – 並進不変な全順序を持つ群
• 順序付き指数体 – 指数関数を一般化する関数を持つ順序付き体
• 順序付きグループ – 互換性のある半順序を持つグループリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• オーダーリング
• 順序付き位相ベクトル空間
• 順序付きベクトル空間 – 半順序を持つベクトル空間
• 半順序環 – 互換性のある半順序を持つ環
• 半順序空間 – 半順序位相空間
• 前順序体 – 測度論における代数的概念。集合代数とも呼ばれる。リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• リース空間 – 格子として順序付けられた半順序ベクトル空間

注記

1. Lam (2005) p. 289
2. Lam (2005) p. 41
3. Lam (2005) p. 232
4. Bair, Jaques; Henry, Valérie. 「顕微鏡による暗黙的微分化」（PDF） .リエージュ大学. 2013年5月4日閲覧。
5. ラム（2005）236ページ
6. 平方根√ −7と√ 1 −  pの平方はQに含まれますが、< 0 であるため、これらの根はQに含まれず、 p進展開は周期的ではないことを意味します。
7. ラム（2005）271頁
8. ラム（1983）pp.1-2
9. ラム（1983）39ページ
10. ラム（1983）45ページ

参考文献

• ラム、TY（1983）、順序、評価、二次形式、CBMS数学地域会議シリーズ、第52巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0702-1、Zbl  0516.12001
• ラム、ツィット・ユエン(2005).体上の二次形式入門.数学大学院研究. 第67巻. アメリカ数学会. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl  1068.11023。
• ラング、セルジュ（1993年）、代数学（第3版）、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-201-55540-0、Zbl  0848.13001

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