直交補集合

Concept in linear algebra

線形代数学と関数解析学の分野において、双線型形式を備えたベクトル空間の部分空間の直交補空間とは、ベクトル空間のすべてのベクトルのうち、ベクトル空間の任意のベクトルに直交するものの集合である。非公式には、これは直交補空間の略称であるperpと呼ばれる。これはベクトル空間の部分空間である。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W^{\perp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

例

を通常のドット積を備えたベクトル空間（したがって内積空間となる）とし、を とすると、その直交補空間は次のように定義される。 ${\displaystyle V=(\mathbb {R} ^{5},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ $${\displaystyle W=\{\mathbf {u} \in V:\mathbf {A} x=\mathbf {u} ,\ x\in \mathbb {R} ^{2}\},}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&6\\3&9\\5&3\\\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {u} \in W\}}$$ $${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\mathbf {\tilde {A}} y=\mathbf {v} ,\ y\in \mathbb {R} ^{3}\},}$$ $${\displaystyle \mathbf {\tilde {A}} ={\begin{pmatrix}-2&-3&-5\\-6&-9&-3\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

の任意の列ベクトルが の任意の列ベクトルと直交するという事実は、直接計算によって確認できます。これらのベクトルの張点が直交するという事実は、内積の双線型性から明らかです。最後に、これらの空間が直交補空間であるという事実は、以下に示す次元関係から明らかです。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\tilde {A}} }$

一般双線型形式

を双線型形式を備えた体上のベクトル空間とする。がに対して左直交し、 がに対して右直交すると 定義する。の 部分集合に対して、左直交補集合を と 定義する。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle W^{\perp }}$ $${\displaystyle W^{\perp }=\left\{\mathbf {x} \in V:B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\ \ \forall \ \mathbf {y} \in W\right\}.}$$

右直交補集合の対応する定義が存在する。 となる反射双線型形式の場合、左補集合と右補集合は一致する。が対称形式または交代形式の場合、これは当てはまる。 ${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\implies B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0\ \ \forall \ \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle B}$

定義は可換環上の自由加群上の双線型形式と、共役を伴う可換環上の任意の自由加群を含むように拡張された二分線型形式に拡張される。^[1]

プロパティ

• 直交補空間は の部分空間です。 ${\displaystyle V}$
• もしそうなら; ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle X^{\perp }\supseteq Y^{\perp }}$
• の根号は すべての直交補空間の部分空間である。 ${\displaystyle V^{\perp }}$ ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle W\subseteq (W^{\perp })^{\perp }}$;
• が非退化で有限次元の場合、 となります。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)+\dim(W^{\perp })=\dim(V)}$
• が有限次元空間の部分空間である場合、となります。 ${\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{r}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{*}=L_{1}\cap \cdots \cap L_{r},}$ ${\displaystyle L_{*}^{\perp }=L_{1}^{\perp }+\cdots +L_{r}^{\perp }}$

内積空間

このセクションでは内積空間 における直交補集合を考察する。^[2] ${\displaystyle H}$

2つのベクトルと は、のとき直交していると呼ばれ、これはスカラー のときのみ成り立ちます。^[3] ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +s\mathbf {y} \|\ \forall }$ ${\displaystyle s}$

が内積空間の任意の部分集合である場合、その ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$の直交補 ${\displaystyle H}$ベクトル空間常に^{[3][証明 1]}閉部分集合（したがって、閉ベクトル部分空間）、次式を満たす。 $${\displaystyle {\begin{aligned}C^{\perp }:&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {x} ,\mathbf {c} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\\&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {c} ,\mathbf {x} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle H}$

• ${\displaystyle C^{\bot }=\left(\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\right)^{\bot }}$;
• ${\displaystyle C^{\bot }\cap \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}}$;
• ${\displaystyle C^{\bot }\cap \left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}}$;
• ${\displaystyle C\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }}$;
• ${\displaystyle \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }}$。

が内積空間のベクトル部分空間である場合、 がヒルベルト空間の閉ベクトル部分空間である場合 、[ ^3]は ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle C^{\bot }=\left\{\mathbf {x} \in H:\|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +\mathbf {c} \|\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\right\}.}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }\qquad {\text{ and }}\qquad \left(C^{\bot }\right)^{\bot }=C}$$ ${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }}$をとに直交分解すると補空間を持つ補空間であることがわかる。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\bot }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C^{\bot }.}$

プロパティ

計量位相において、直交補空間は常に閉じている。有限次元空間においては、これはベクトル空間のすべての部分空間が閉じているという事実の一例に過ぎない。無限次元ヒルベルト空間においては、一部の部分空間は閉じていないが、すべての直交補空間は閉じている。 がヒルベルト空間のベクトル部分空間である場合、 の直交補空間の直交補空間はの閉包、すなわち ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W,}$ $${\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }={\overline {W}}.}$$

他にも常に成り立つ有用な性質がいくつかあります。をヒルベルト空間とし、と を線型部分空間とします。すると、 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• ${\displaystyle X^{\bot }={\overline {X}}^{\bot }}$;
• もしそうなら; ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle X^{\bot }\subseteq Y^{\bot }}$
• ${\displaystyle X\cap X^{\bot }=\{0\}}$;
• ${\displaystyle X\subseteq (X^{\bot })^{\bot }}$;
• がの閉線形部分空間である場合、 ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X^{\bot })^{\bot }=X}$
• がの閉線形部分空間である場合、（内部）直和 となります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=X\oplus X^{\bot },}$

直交補集合は消滅集合に一般化され、内積空間のサブセットにガロア接続を与え、関連する閉包演算子はスパンの位相閉包となる。

有限次元

次元の有限次元内積空間の場合、次元部分空間の直交補空間は次元部分空間であり、二重直交補空間は元の部分空間である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n-k)}$ $${\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }=W.}$$

、、、がそれぞれの行空間、列空間、および零空間を指す場合、 ^[4] ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {M} _{mn}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \left({\mathcal {R}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} )\qquad {\text{ and }}\qquad \left({\mathcal {C}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }).}$$

バナッハ空間

この概念の自然な類似は、一般のバナッハ空間にも存在する。この場合、 の直交補空間を、消滅空間と同様に定義される の双対空間の部分空間として定義する。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\right\}.}$$

は常に の閉部分空間である。二重補空間の性質に類似したものもある。は の部分空間となる（これは と同一ではない）。しかし、反射空間はと の間に自然な同型性を持つ。この場合、 ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle W^{\perp \perp }}$ ${\displaystyle V^{**}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{**}}$ $${\displaystyle i{\overline {W}}=W^{\perp \perp }.}$$

これはハーン・バナッハの定理から導かれる、かなり直接的な帰結です。

アプリケーション

特殊相対論では、直交補関数は世界線上の点における同時超平面を決定するために使用される。ミンコフスキー空間で使用される双線型形式は、事象の擬ユークリッド空間を決定する。^[5]原点と光円錐上のすべての事象は自己直交である。時間事象と空間事象が双線型形式でゼロと評価される場合、それらは双曲直交である。この用語は、擬ユークリッド平面における共役双曲線の使用に由来する。これらの双曲線の共役直径は双曲直交である。 ${\displaystyle \eta }$

参照

• 補格子 – すべての要素が補集合を持つ束縛格子
• 補完部分空間 – 関数解析における概念
• ヒルベルト射影定理 – ヒルベルト空間における閉凸集合について
• 直交射影 – ベクトル空間からそれ自身へのべき等線形変換Pages displaying short descriptions of redirect targets

注記

1. ならばはで閉じているので、 と仮定する。は の基礎となるスカラー場であり、によって定義される。はの各座標について成り立つため連続である。はで閉じているので閉じており、は連続である。が最初の（または2番目の）座標で線型であれば、 は線型写像（または反線型写像）である。いずれにせよ、その核はQEDのベクトル部分空間である。 ${\displaystyle C=\varnothing }$ ${\displaystyle C^{\bot }=H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C\neq \varnothing .}$ ${\textstyle P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L:H\to P}$ ${\displaystyle L(h):=\left(\langle h,c\rangle \right)_{c\in C},}$ ${\displaystyle h\mapsto \langle h,c\rangle .}$ ${\displaystyle C^{\bot }=L^{-1}(0)=L^{-1}\left(\{0\}\right)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L:H\to P}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle L:H\to P}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} L=L^{-1}(0)=C^{\bot }}$ ${\displaystyle H.}$

参考文献

1. アダキンス＆ワイントラウブ（1992）p.359
2. アダキンス＆ワイントラウブ（1992）p.272
3. Rudin 1991、306–312ページ。
4. 「直交補集合」
5. GD Birkhoff (1923)『相対性理論と現代物理学』、62,63ページ、ハーバード大学出版局

参考文献

• アダキンス、ウィリアム・A.; ワイントラウブ、スティーブン・H. (1992)、「代数：モジュール理論によるアプローチ」、Graduate Texts in Mathematics、第136巻、Springer-Verlag、ISBN 3-540-97839-9、Zbl  0768.00003
• ハルモス、ポール・R.（1974）、有限次元ベクトル空間、Undergraduate Texts in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90093-3、Zbl  0288.15002
• ミルナー、Ｊ． Husemoller, D. (1973)、Symmetric Bilinear Forms、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、vol. 73、シュプリンガー・フェルラーグ、ISBN 3-540-06009-X、Zbl  0292.10016
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。

外部リンク

• 直交補集合; Youtubeビデオの9分00秒
• 直交補集合を説明する教育ビデオ（カーンアカデミー）

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