直交ウェーブレット

直交ウェーブレットとは、関連するウェーブレット変換が直交するウェーブレットのことである。つまり、逆ウェーブレット変換はウェーブレット変換の随伴である。この条件が弱められると、双直交ウェーブレットとなる可能性がある。

基本

スケーリング関数は、細分化可能な関数です。つまり、フラクタル関数方程式であり、細分化方程式（双子スケール関係または膨張方程式）と呼ばれます。

\phi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}a_{k}\phi (2x-k)

、

ここで、実数列はスケーリング列またはスケーリングマスクと呼ばれる。ウェーブレットは同様の線形結合によって得られる。 $(a_{0},\dots ,a_{N-1})$

\psi (x)=\sum _{k=0}^{M-1}b_{k}\phi (2x-k)

、

ここで、実数のシーケンスはウェーブレットシーケンスまたはウェーブレットマスクと呼ばれます。 $(b_{0},\dots ,b_{M-1})$

ウェーブレットの直交性に必要な条件は、スケーリングシーケンスが偶数個の係数による任意のシフトに対して直交することです。

\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}a_{n+2m}=2\delta _{m,0}

、

クロネッカーのデルタはどこにありますか。 $\delta_{m,n}$

この場合、スケーリング係数の数はウェーブレットシーケンスの係数の数と同じM=Nであり、ウェーブレットシーケンスはと決定されます。場合によっては、逆の符号が選択されることもあります。 $b_{n}=(-1)^{n}a_{N-1-n}$

消失モーメント、多項式近似、滑らかさ

改良方程式の解が存在するための必要条件は、次の式を満たす正の整数Aが存在することである（ Z 変換を参照）。

(1+Z)^{A}|a(Z):=a_{0}+a_{1}Z+\dots +a_{N-1}Z^{N-1}.

最大可能べき乗Aは、多項式近似次数（またはpol. app. power）あるいは消失モーメント数と呼ばれます。これは、スケーリング関数の整数変換の線形結合を用いて、 A -1次までの多項式を表す能力を表します。

双直交の場合、の近似次数Aは双対ウェーブレットのA個の消失モーメントに対応します。つまり、とA-1次までの任意の多項式とのスカラー積はゼロになります。逆の場合、の近似次数ÃはÃ個の消失モーメントに相当します。直交の場合、AとÃ は一致します。 $\phi$ ${\チルダ {\psi }}$ ${\チルダ {\psi }}$ ${\チルダ {\phi }}$ $\psi$

スケーリング関数が存在するための十分な条件は次の通りである。を分解し、推定値 $a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}p(Z)$

1\leq \sup _{t\in [0,2\pi ]}\left|p(e^{it})\right|<2^{A-1-n},

あるに対してが成り立つ場合、細分化方程式はコンパクトなサポートを持つn回連続微分可能な解を持ちます。 $n\in \mathbb {N}$

例

と仮定し、 n = A -2に対して推定値が成り立つとする。解はA -1次シェーンベルクBスプラインであり、( A -1) 次導関数は区分的に一定であるため、( A -2) 次導関数はリプシッツ連続となる。A =1は単位区間の指数関数に対応する。 $p(Z)=1$ $a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}$

A =2でpが線形の場合、次のように表される。

{\displaystyle a(Z)={\frac {1}{4}}(1+Z)^{2}((1+Z)+c(1-Z))。

この 3 次多項式を展開し、4 つの係数を直交条件に挿入すると、次のようになります。正の根は、D4 ウェーブレットのスケーリングシーケンスを与えます (以下を参照)。

c^{2}=3.

参考文献

Ingrid Daubechies :ウェーブレットに関する 10 の講義、SIAM 1992。
1990 年 4 月、ウェーブレット、サブバンド、変換に関する第 1 回 NJIT シンポジウムの議事録。