接触円

接触円とは、曲線の特定の点における曲率を最もよく近似する円です。接触円は、その点において曲線に接し、その点における曲線と同じ曲率を持ちます。 ^[2]接触円は、曲線の局所的な挙動を理解するための方法を提供し、微分幾何学や微積分学でよく用いられます。

より正式には、曲線の微分幾何学において、曲線上の任意の点pにおける十分に滑らかな平面曲線の接触円は、伝統的に、 pと、曲線上のpに無限小に近い2点を通る円として定義されてきた。接触円の中心は内側の法線上にあり、接触円の曲率は、その点における任意の曲線の曲率を定義する。この円は、任意の点におけるすべての接円の中で、曲線に最も近づく円であり、ライプニッツによってcirculus osculans（ラテン語で「接吻円」の意）と名付けられた。

ある点における接触円の中心と半径は、その点における曲線の曲率中心と曲率半径と呼ばれます。アイザック・ニュートンは『プリンキピア』の中で、次のような幾何学的作図法を記述しました。

どの場所でも、ある共通の中心に向けられた力によって物体が特定の図形を描く速度が与えられているので、その中心を見つけます。

— アイザック・ニュートン『プリンキピア』；命題 V. 問題 I.

非技術的な説明

広大な平面上のカーブを走る車を想像してみてください。突然、道路のある地点でハンドルがロックします。その後、車はロックした地点で道路に「キス」するような円を描いて進みます。この円の曲率は、その地点における道路の曲率に等しくなります。この円は、その地点における道路カーブの接触円です。

数学的記述

$γ (s)を$ 正則なパラメトリック平面曲線とする。ここで $sは$ 弧長（自然パラメータ）である。これにより、 $s$ を構成する各点における単位接線ベクトル $T (s)$ 、単位法線ベクトル $N (s)$ 、符号付き曲率 $k (s)$ 、および曲率半径 $R (s)が決定される。$ $T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.$

γ上の点Pを $k$ $\neq 0$ と仮定する。対応する曲率中心は、Nに沿って距離Rにある点Qである。k が正であればNと同じ方向、負であればNと反対方向である。Qを中心とし、半径Rの円は、点Pにおける曲線γの接触円と呼ばれる。

C が正則空間曲線である場合、接触円は主法線ベクトル Nを用いて同様に定義されます。接触円は接触平面、すなわち点Pにおける接線ベクトルTと主法線ベクトルN が張る平面上にあります。

平面曲線は、異なる正規媒介変数表示で与えることもできる。ここで、正規とは、すべてのに対してとなることを意味する。この場合、符号付き曲率k ( t )、法線単位ベクトルN ( t )、曲率半径R ( t )、接触円の中心Q ( t )の式は以下のとおりである。 $\gamma (t)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}$ $\gamma '(t)\neq 0$ $t$ $k(t)={\frac {x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}{\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}},\qquad N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}$ $R(t)=\left|{\frac {\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}{x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}}\right|\qquad {\text{and}}\qquad Q(t)=\gamma (t)+{\frac {1}{k(t)\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}\,.$

直交座標

関数fに $t = x$ および $y = f (x)$ を代入すると、直交座標における接触円の中心を求めることができます。計算を実行すると、接触円の中心の X 座標と Y 座標は次のようになります。 $x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\quad {\text{and}}\quad y_{c}=f+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}$

直接幾何学的導出

3点、、を考えます。これらの点を通る円の中心を求めるには、まずとの二等分線を求め、次にこれらの線分の交点を求めます。したがって、の座標は、 2つの方程式からなる線形連立方程式を解くことで得られます。ここで、に対してとなります。 ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle P_{1}}$ ${\textstyle P_{2}}$ ${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$ ${\textstyle P_{0}P_{1}}$ ${\textstyle P_{1}P_{2}}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle C}$ $\left(\delta x_{i}\right)x_{c}+\left(\delta y_{i}\right)y_{c}={\tfrac {1}{2}}\left(\delta ^{2}x_{i}+\delta ^{2}y_{i}\right)\quad i=1,2$ ${\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}$ ${\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}$ ${\textstyle u=x,y}$

ここで曲線を、とと設定することを考えます。を2階まで展開すると、とについて同様の式が得られます。ただし、の符号は反転しています。の方程式を展開し、との項をグループ化すると、次式が得られます。をと表記すると、最初の方程式はがにおける単位接線ベクトルに直交することを意味します。2 番目の関係式はがであることを意味します。ここでは曲率ベクトルです。平面幾何学では、はに直交します。なぜならだからです。したがって、接触円の半径は曲率の逆数と正確に一致します。 ${\textstyle P=P(\tau )}$ ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$ ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ ${\textstyle P_{2}=P(\tau +d\tau )}$ ${\textstyle d\tau }$ ${\begin{aligned}\delta u_{1}=&{\dot {u}}d\tau -{\frac {1}{2}}{\ddot {u}}\,d\tau ^{2}\\\delta ^{2}u_{1}=&2u{\dot {u}}\,d\tau -d\tau ^{2}\left({\dot {u}}^{2}+u{\ddot {u}}\right)\end{aligned}}$ ${\textstyle \delta u_{2}}$ ${\textstyle \delta ^{2}u_{2}}$ ${\textstyle d\tau ^{2}}$ ${\textstyle x_{c},y_{c}}$ ${\textstyle d\tau }$ ${\textstyle d\tau ^{2}}$ ${\begin{aligned}{\dot {x}}(x_{c}-x)+{\dot {y}}(y_{c}-y)&=0\\{\ddot {x}}(x_{c}-x)+{\ddot {y}}(y_{c}-y)&={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\end{aligned}}$ ${\textstyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{1}C}}}$ ${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle P_{1}}$ $\mathbf {r} \cdot \mathbf {t} =0$ $\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =1$ $\mathbf {k} ={\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}{\begin{bmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{bmatrix}}$ ${\textstyle \mathbf {k} }$ ${\textstyle \mathbf {t} }$ $\mathbf {t} \cdot \mathbf {k} =\mathbf {t} {\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(\mathbf {t} \cdot \mathbf {t} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(1)=0$ ${\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}$

の座標について方程式を解くと、 ${\textstyle C}$ ${\begin{aligned}x_{c}-x=&{\frac {{\dot {y}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\\y_{c}-y=&{\frac {-{\dot {x}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\end{aligned}}$

最小化問題としての接触円

式によって本質的に定義される曲線を考えます。これは、平面による曲面の切断として考えることができます。ある点における曲線の法線は、この点における勾配です。したがって、接円の中心はで与えられます。ここではパラメータです。の半径が与えられた場合、は、すべての可能な円の中から、曲線に最も一致する円を見つけたいとします。 ${\textstyle C}$ $f(x,y)=0$ ${\textstyle z=f(x,y)}$ ${\textstyle z=0}$ ${\textstyle \mathbf {n} }$ ${\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ $\mathbf {n} =(f_{x},f_{y})$ ${\textstyle B_{\alpha }}$ $X_{c}=x_{0}-\alpha f_{x}\,\,;\,\,Y_{c}=y_{0}-\alpha f_{y}$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle \alpha ,}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle B_{\alpha }}$ $R^{2}=\alpha ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})$ ${\textstyle B_{\alpha }}$

点の座標は、に対して、、すなわちと表すことができます。に近い点を考えます。ここで、その「角度」はです。三角関数をにおける2次関数に展開し、上記の関係を用いると、の座標はとなります。これで、点における関数とその変化を評価できます。における1次関数の変化は、構築により0です（における1次関数の変化は、の接線上にあります）。に比例する変化はであり、を選択した場合にこの変化は0です。したがって、接触円の半径は ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ $x_{1}=X_{c}+R\cos \theta \,\,;\,\,y_{1}=Y_{c}+R\sin \theta$ ${\textstyle \theta =\theta _{0}}$ ${\textstyle P_{1}=P_{0}}$ $R\cos \theta _{0}=\alpha f_{x}\,\,;\,\,R\sin \theta _{0}=\alpha f_{y}$ ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle \theta _{1}=\theta _{0}+d\theta }$ ${\textstyle d\theta }$ $P_{1}$ ${\begin{aligned}x_{1}=&x_{0}-\alpha f_{y}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{x}\left(d\theta \right)^{2}\\y_{1}=&y_{0}+\alpha f_{x}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{y}\left(d\theta \right)^{2}\end{aligned}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle P_{1}}$ $f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})$ ${\textstyle d\theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle P_{1}}$ ${\textstyle C}$ $(d\theta )^{2}$ $df=-{\frac {1}{2}}\alpha \left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)$ $\alpha ={\frac {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}{f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}}}$ $R=\left|{\frac {\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{3/2}}{\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}}\right|$

明示的な関数については、前のセクションの結果が見つかります。 $f(x,y)=y-g(x)$

プロパティ

十分に滑らかな媒介変数方程式（2回連続微分可能）で与えられた曲線Cに対して、接触円は極限手順で得ることができる。接触円とは、C上の3つの異なる点がPに近づくときに、これらの点を通過する円の極限である。^{[3]これは、}C上の2つの異なる点を通る割線の極限として曲線の接線を構成することと完全に類似している。

平面曲線Cと正規の点Pとの接触円S は、次の特性によって特徴付けられます。

円SはPを通ります。
円Sと曲線CはPで共通の接線を持ち、したがって共通の法線を持ちます。
Pに近づくと、曲線Cと円Sの点間の法線方向の距離は、接線方向のPまでの距離の 3 乗以上に減少します。

これは通常、「曲線とその接触円はPにおいて2次以上の接触を持つ」と表現されます。大まかに言えば、 CとSを表すベクトル関数は、Pにおける1次導関数と2次導関数とで一致します。

曲率の sに関する微分がPにおいてゼロでない場合、接触円は曲線CとPで交差します。曲率の微分がゼロとなる点Pは頂点と呼ばれます。P が頂点である場合、 Cとその接触円は少なくとも3次の接触を持ちます。さらに、曲率がPにおいてゼロでない極大値または極小値を持つ場合、接触円はPで曲線Cに接しますが、交差しません。

曲線Cは、その接触円の1パラメータ族の包絡線として得られる。それらの中心、すなわち曲率中心は、 Cの縮閉線と呼ばれる別の曲線を形成する。Cの頂点は、その縮閉線上の特異点に対応する。

曲線Cの任意の弧内で曲率が単調である（つまり、曲線のどの頂点からも離れている）場合、接触円はすべて互いに交わらず、互いに入れ子になっている。この結果は、テイト＝クネーザーの定理として知られている。^[1]

例

放物線

放物線の曲率半径は頂点において $R$ $(0) = 0.5$ です（図参照）。放物線はそこで接触円と4次接触します。tが大きい場合、 $曲$ 率半径は $t$ $3$ まで増加します。つまり、曲線はより直線的になります。 $\gamma (t)={\begin{bmatrix}t\\t^{2}\end{bmatrix}}$ $R(t)=\left|{\frac {\left(1+4t^{2}\right)^{3/2}}{2}}\right|$ $\gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

リサージュ曲線

周波数比（3:2）のリサージュ曲線は次のようにパラメータ化できる。

\gamma (t)={\begin{bmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{bmatrix}}.

これは、符号付き曲率 $k (t)$ 、法線単位ベクトル $N (t)$ 、および曲率半径 $R (t)$ を持ち、 $k(t)={\frac {6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}{\left(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6}\right)^{3/2}}}\,,$ $N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{bmatrix}-2\cos(2t)\\-3\sin(3t)\end{bmatrix}}$ $R(t)=\left|{\frac {\left(232\cos ^{4}(t)-97\cos ^{2}(t)+13-144\cos ^{6}(t)\right)^{3/2}}{6\cos(t)\left(8\cos ^{4}(t)-10\cos ^{2}(t)+5\right)}}\right|.$

アニメーションについては図をご覧ください。「加速度ベクトル」は円弧の長さ $s$ に関する2階微分です。 ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$

サイクロイド

半径 $r$ のサイクロイドは次のようにパラメータ化できます。 $\gamma (t)={\begin{bmatrix}r\left(t-\sin t\right)\\r\left(1-\cos t\right)\end{bmatrix}}$

その曲率は次の式で与えられる：[ ^4] $\kappa (t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}{4r}}$ $R(t)={\frac {4r}{\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}}$

参照

注記

^ ab Ghys, Étienne ; Tabachnikov, Sergei ; Timorin, Vladlen (2013). 「接触曲線：Tait-Kneser定理の周辺」. The Mathematical Intelligencer . 35 (1): 61– 66. arXiv : 1207.5662 . doi :10.1007/s00283-012-9336-6. MR 3041992. S2CID 18183204.
^ 「12.4 弧の長さと曲率」。 2023年9月19日閲覧。
^ 実際には、点Pに加えて、 Pの両側に1点ずつ追加すれば十分です。Lamb著（オンライン版）を参照：Horace Lamb (1897). An Elementary Course of Infinitesimal Calculus. University Press. p. 406.接触円。
^ Weisstein, Eric W.「サイクロイド」. MathWorld .

さらに読む

曲率の研究に関する歴史的記録については、

グラッタン＝ギネス＆HJMボス（2000年）『微積分から集合論へ 1630-1910：入門史』プリンストン大学出版局、p.72、ISBN 0-691-07082-2。
ロイ・ポーター編（2003年）『ケンブリッジ科学史第4巻 18世紀科学』ケンブリッジ大学出版局、313頁。ISBN 0-521-57243-6。

操縦車両への応用については、

JC AlexanderとJH Maddocks (1988):車両の操縦について doi :10.1137/0148002
マレー・S・クラムキン (1990). 応用数学の問題：SIAMレビューからの抜粋. 産業応用数学協会. p. 1. ISBN 0-89871-259-9。

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「接触円」。MathWorld。
math3d : 接触円

[gtt-1] Ghys, Étienne ; Tabachnikov, Sergei ; Timorin, Vladlen (2013). 「接触曲線：Tait-Kneser定理の周辺」. The Mathematical Intelligencer . 35 (1): 61– 66. arXiv : 1207.5662 . doi :10.1007/s00283-012-9336-6. MR 3041992. S2CID 18183204.

[2] 「12.4 弧の長さと曲率」。 2023年9月19日閲覧。

[Lamb-3] 実際には、点Pに加えて、 Pの両側に1点ずつ追加すれば十分です。Lamb著（オンライン版）を参照：Horace Lamb (1897). An Elementary Course of Infinitesimal Calculus. University Press. p. 406.接触円。

[4] Weisstein, Eric W.「サイクロイド」. MathWorld .