オシーン方程式

流体力学において、オゼーン方程式（またはオゼーン流）は、1910年にカール・ヴィルヘルム・オゼーンによって定式化された、低レイノルズ数における粘性非圧縮性流体の流れを記述する。オゼーン流は、ストークス流と比較して、対流加速を（部分的に）含めてこれらの流れを改良した記述である。^[1]

オシーンの研究は、粘性流体中を球が落下する現象を研究したGGストークスの実験に基づいています。彼は、ストークスの計算で使用される流速に対して、慣性係数を含む補正項を開発し、ストークスのパラドックスとして知られる問題を解決しました。彼の近似は、ストークスの計算の改良につながりました。

方程式

オゼーン方程式は、物体が流体中を一定の流速 Uで運動している場合（流体は物体から遠く離れて静止している）、物体に付随する参照フレーム内では次のように表される： ^[1] ${\begin{aligned}-\rho \mathbf {U} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p\,+\,\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\end{aligned}}$

uは移動する物体によって引き起こされる流速の乱れであり、すなわち物体とともに移動する参照フレームにおける全流速は−U + uである。
pは圧力、
ρは流体の密度であり、
μは動粘度であり、
∇は勾配演算子であり、
∇ ²はラプラス演算子です。

剛体の周りのオゼーン流れの境界条件は、 rが物体の中心からの距離、p _{∞ が}物体から遠い不撹乱圧力です。 ${\begin{aligned}\mathbf {u} &=\mathbf {U} &&{\text{at the object surface}},\\\mathbf {u} &\to 0&&{\text{and}}\quad p\to p_{\infty }\quad {\text{for}}\quad r\to \infty ,\end{aligned}}$

縦波と横波

出典: ^[2]

オゼーンの方程式の基本的な特性は、一般解を縦波と横波に分割できることです。

速度が非回転的であり粘性項が無視できる場合、解は縦波となる。方程式は $\left(\mathbf {u} _{\text{L}},p'\right)$ ${\mathbf {u} _{\text{L}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{L}}}_{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p=0,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{L}}=0,\quad \nabla \times \mathbf {u} _{\text{L}}=0$

その結果 $\mathbf {u} _{\text{L}}=\nabla \phi ,\quad \nabla ^{2}\phi =0,\quad p'=p-p_{\infty }=-\rho U\mathbf {u} _{\text{L}}$

速度はポテンシャル理論から導き出され、圧力は線形化されたベルヌーイの方程式から導き出されます。

圧力が常にゼロで速度場がソレノイドである場合、解は横波となる。方程式は以下の通りである。 $(\mathbf {u} _{\text{T}},0)$ $p'$ ${\mathbf {u} _{\text{T}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{T}}}_{x}=\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} _{\text{T}},\quad \nabla \cdot \mathbf {u_{T}} =0.$

すると、オゼーンの完全解は次のように与えられる。 $\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}$

ホレス・ラムによる分割定理^[3]。この分割は、無限遠（例えば）における条件が指定されている場合に一意である。 $\mathbf {u} =0,\ p=p_{\infty }$

特定のオゼーン流では、横波をさらに非回転成分と回転成分に分割することが可能です。をとし、無限遠でゼロとなるスカラー関数とし、逆にがとなるように与えられると、横波はとなります。ここではから決定され、は単位ベクトルです。ももそれ自体では横波ではありませんが、は横波です。したがって、 $\mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}.$ $\chi$ $U\chi _{x}=\nu \nabla ^{2}\chi$ $\mathbf {u} _{\text{T}}=(u_{\text{T}},v_{\text{T}})$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }v_{\text{T}}\,dy=0}$ $\mathbf {u} _{\text{T}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi +\chi \mathbf {i} ,\quad \mathbf {u} _{\text{1}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi ,\quad \mathbf {u} _{\text{2}}=\chi \mathbf {i} .$ $\chi$ ${\textstyle \chi ={\frac {U}{\nu }}\int _{y}^{\infty }v_{T}\,dy}$ $\mathbf {i}$ $\mathbf {u} _{1}$ $\mathbf {u} _{2}$ $\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}$ $\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}$

唯一の回転コンポーネントはです。 $\mathbf {u} _{2}$

根本的な解決策

出典: ^[2]

オゼーン流に埋め込まれた特異点力による基本解はオゼーンレットである。任意の時間依存並進運動および回転運動を伴う一般化非定常ストークス流およびオゼーン流の閉形式基本解は、ニュートン流体^[4]およびマイクロポーラ流体^[5]に対して導出されている。

1911年、ホレス・ラムはオゼーン方程式を用いて、球面周りの粘性流の改良された式を導き出し、レイノルズ数がやや高い領域におけるストークスの法則を改良しました。^[1]また、ラムは初めて円筒周りの粘性流の解を導き出しました。^[1]

外部境界が存在しないときの特異力の応答の解は次のように表される。 $\mathbf {f}$ $U\mathbf {u} _{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p-\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\mathbf {f} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0$

（ここで、特異力は点に集中し、は任意の点、は特異力の方向を与える与えられたベクトルである）とすると、境界がない場合、速度と圧力は基本テンソルと基本ベクトルから導かれる。 $\mathbf {f} =\delta (q,q_{o})\mathbf {a}$ $\delta (q,q_{o})$ $q_{o}$ $q$ $\mathbf {a}$ $\Gamma (q,q_{o})$ $\Pi (q,q_{o})$ $\mathbf {u} (q)=\Gamma (q,q_{o})\mathbf {a} ,\quad p'=p-p_{\infty }=\Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {a}$

ここで、が空間の任意関数である場合、境界のない領域の解は、が点の周りの無限小体積/面積要素であるときです。 $\mathbf {f}$ $\mathbf {u} (q)=\int \Gamma (q,q_{o})\mathbf {f} (q_{o})dq_{o},\quad p'(q)=\int \Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {f} (q_{o})dq_{o}$ $dq_{o}$ $q_{o}$

二次元

一般性を失うことなく、原点とでとります。すると、基本テンソルとベクトルは、ゼロ次の第二種修正ベッセル関数です。 $q_{o}=(0,0)$ $q=(x,y)$ $\Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial A}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&-{\frac {\partial A}{\partial x}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2\pi \nu }}e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi ={\frac {\rho }{2\pi }}\nabla (\ln r)$ $\lambda ={\frac {U}{2\nu }},\quad r^{2}=x^{2}+y^{2},\quad A=-{\frac {1}{2\pi U}}\left[\ln r+e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r)\right]$ $K_{o}(\lambda r)$

3次元

原点とでとった一般性を失うことなく、基本テンソルと基本ベクトルは、 $q_{o}=(0,0,0)$ $q=(x,y,z)$ $\Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial B}{\partial x}}&{\frac {\partial C}{\partial x}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&{\frac {\partial B}{\partial y}}&{\frac {\partial C}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial z}}&{\frac {\partial B}{\partial z}}&{\frac {\partial C}{\partial z}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4\pi \nu }}{\frac {e^{-\lambda (r-x)}}{r}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi =-{\frac {\rho }{4\pi }}\nabla \left({\frac {1}{r}}\right)$

$\lambda ={\frac {U}{2\nu }},$
$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$
$A={\frac {1}{4\pi U}}{\frac {1-e^{-\lambda (r-x)}}{r}},$
$B=-{\frac {1}{4\pi U}}{\frac {\left[1-e^{-\lambda (r-x)}\right]y}{r(r-x)}},$
$C=-{\frac {1}{4\pi U}}{\frac {\left[1-e^{-\lambda (r-x)}\right]z}{r(r-x)}}$

計算

オゼーンは球を静止させ、流体が球から無限遠方を流速( )で流れていると仮定した。ストークスの計算では慣性項は無視された。 ^{[6]レイノルズ数がゼロに近づく場合、これは極限解となる。レイノルズ数が0.1のように小さく有限な場合、慣性項の補正が必要となる。オゼーンは}ナビエ・ストークス方程式に以下の流速値を代入した。 $U$ $u_{1}=u+u_{1}',\qquad u_{2}=u_{2}',\qquad u_{3}=u_{3}'.$

これらをナビエ・ストークス方程式に代入し、プライム付きの量の二次項を無視すると、オゼーンの近似が導出されます。 $u{\partial u_{1}' \over \partial x_{1}}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x_{1}}+\nu \nabla ^{2}u_{i}'\qquad \left({i=1,2,3}\right).$

運動は軸に関して対称であり、渦度ベクトルの発散は常にゼロであるため、次式が得られます。関数はの適切な関数に追加することで消去できます。は渦度関数であり、前の関数は次のように記述できます。また、積分によりの解は次のようになります。したがって、を「特権方向」とすると、次式が生成されます。 $x$ $\left(\nabla ^{2}-{U \over 2v}{\partial \over \partial x}\right)\chi =G(x)=0$ $G(x)$ $x$ ${U \over v}{\partial u' \over \partial x}=\nabla ^{2}u'$ $\chi$ $e^{-Ux \over 2v}\chi ={{Ce^{-U\operatorname {Re} \over 2v}} \over \operatorname {Re} }$ $x$ $\varphi ={A_{0} \over \operatorname {Re} }+A_{1}{\partial \over \partial x}{1 \over \operatorname {Re} }+A_{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{1 \over \operatorname {Re} }+\ldots$

そして、3つの境界条件を適用することで、新しい改良抗力係数が得られる。そして最後に、ストークスの解をオゼーンの近似に基づいて解くと、結果として得られる抗力は次のように表される。 $C=-{3 \over 2}Ua,\ A_{0}=-{3 \over 2}va,\ A_{1}={1 \over 4}Ua^{3}\ {\text{, etc.}}$ $C_{\text{d}}={12 \over \operatorname {Re} }\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right)$ $F=6\pi \,\mu \,au\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right),$

どこ：

$\mathrm {Re} =\rho ua/\mu$ 球の半径に基づくレイノルズ数である。 $a$
$F$ 流体力である
$u$ 流速は
$\mu \,$ 流体の粘度は

オシーンの式から得られる力はストークスの式から得られる力と次の係数だけ異なる。 $1+{3 \over 8}\mathrm {Re} .$

ストークスの解の修正

摂動の式は次の通りである: ^[7]しかし速度場が次の場合: ${\begin{aligned}\nabla u'&~=0\\u\cdot \nabla u'&~=-\nabla p+\nu \nabla ^{2}u',\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}u_{y}&=u\cos \theta \left({1+{a^{3} \over 2r^{3}}-{3a \over 2r}}\right)\\u_{z}&=-u\sin \theta \left({1-{a^{3} \over 4r^{3}}-{3a \over 4r}}\right).\end{aligned}}$

遠方場≫ 1 では、粘性応力は最後の項によって支配されます。つまり、 ${r \over a}$ $\nabla ^{2}u'=O\left({a^{3} \over r^{3}}\right).$

慣性項は、次の項によって支配されます。 $u{\partial u' \over \partial z_{1}}\sim O\left({a^{2} \over r^{2}}\right).$

誤差は次の比率で表されます。 $u{{\partial u' \over \partial z_{1}} \over {\nu \nabla ^{2}u'}}=O\left({r \over a}\right).$

これは ≫ 1 のとき無限大となるため、遠方場における慣性は無視できない。回転角をとると、ストークス方程式は次のようになる。物体は渦度の発生源であるため、はが大きいとき対数的に無限大となる。これは明らかに非物理的であり、ストークスのパラドックスとして知られている。 ${r \over a}$ $\nabla ^{2}\zeta \,=0.$ $\zeta \,$ ${r \over a}.$

非圧縮流体中の運動球の解

静止した液体中を一定速度で運動する固体球を考えてみましょう。液体は非圧縮性流体（つまり、密度が一定）としてモデル化され、静止状態にあるということは、球からの距離が無限大に近づくにつれて、その速度はゼロに近づくことを意味します。

実際の物体の場合、動き始めると加速による一時的な影響が生じますが、十分な時間が経過するとゼロに近づくため、流体の速度はどこでも、物体がすでに無限の時間運動している仮想的なケースで得られる速度に近づきます。

そこで、無限遠で静止している非圧縮性流体中を、半径aの球が一定速度で運動していると仮定します。座標系は球の中心を座標中心とし、球とともに動きます。つまり、 ${\vec {U}}$ ${\vec {x}}_{m}$ ${\begin{aligned}{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|=a\right)&={\vec {U}}\\{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|\rightarrow \infty \right)&\rightarrow 0\end{aligned}}$

これらの境界条件、および運動方程式は、座標で表現されると時間不変（つまり、時間のシフトによって変化しない）であるため、解はこれらの座標を通じてのみ時間に依存します。 $t\rightarrow t+\Delta t$ ${\vec {x}}_{m}$

運動方程式は、静止座標系で定義されたナビエ・ストークス方程式です。空間微分は両方の座標系で等しくなりますが、方程式に現れる時間微分は次式を満たします。ここで、微分は運動座標系に対するものです。以下、添え字のmは省略します。 ${\vec {x}}={\vec {x}}_{m}-{\vec {U}}\cdot t$ ${\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}},t\right)}{\partial t}}=\sum _{i}{{\frac {d{x_{m}}_{i}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}}_{m}\right)}{\partial {x_{m}}_{i}}}}=-\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}_{m}\right){\vec {u}}$ ${\vec {\nabla }}_{m}$ ${\vec {x}}_{m}$

オゼーンの近似は、における非線形項を無視することに等しい。したがって、非圧縮ナビエ・ストークス方程式は、密度ρ と動粘性ν = μ/ρ （μ は動粘性）を持つ流体の場合、次のようになる。p は圧力である。 ${\vec {u}}$ $\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {u}}+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}={\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p$

非圧縮性流体の連続方程式により、解はベクトルポテンシャルを用いて表すことができます。これは方向に向いており、その大きさは2次元問題で使用される流れ関数に相当します。つまり、となります。ここでは球面近傍の流れのレイノルズ数です。 ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0$ ${\vec {\psi }}$ ${\vec {\varphi }}$ ${\begin{aligned}\psi &=Ua^{2}\left(-{\frac {a}{4r^{2}}}\sin \theta +3{\frac {1-\cos \theta }{r\sin \theta }}{\frac {1-e^{-{\frac {Rr}{4a}}(1+\cos \theta )}}{R}}\right)\\{\vec {u}}&={\vec {\nabla }}\times (\psi {\hat {\varphi }})={\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\psi \sin \theta \right){\hat {r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\psi \right){\hat {\theta }}\end{aligned}}$ $R=2aU/\nu$

いくつかの表記ではがに置き換えられ、からのの導出が2 次元の場合 (極座標) の流れ関数からのの導出に近くなることに注意してください。 $\psi$ $\Psi =\psi \cdot r\sin \theta$ ${\vec {u}}$ $\Psi$

詳細

$\psi$ 次のように表現できます。 $\psi =\psi _{1}+\psi _{2}-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}$

ここで、、となる。 ${\begin{aligned}\psi _{1}&\equiv -{\frac {Ua^{3}}{4r^{2}}}\sin \theta \\\psi _{2}&\equiv {\frac {3Ua^{2}}{Rr}}{\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$ $k\equiv {\frac {R}{4a}}$ ${\frac {U}{2k}}={\frac {2Ua}{R}}=\nu$

型のベクトルのベクトルラプラシアンは次のようになります。 $V(r,\theta ){\hat {\varphi }}$ ${\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left(V(r,\theta ){\hat {\varphi }}\right)={\hat {\varphi }}\cdot \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)V(r,\theta )=\\&{\hat {\varphi }}\cdot \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}V(r,\theta )\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}V(r,\theta )\right)-{\frac {V(r,\theta )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]\end{aligned}}$

したがって次のように計算できます。 ${\begin{aligned}\nabla ^{2}\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=0\\\nabla ^{2}\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=0\end{aligned}}$

したがって： ${\begin{aligned}\nabla ^{2}{\vec {\psi }}&=-\nabla ^{2}\left(\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)\\&=-\left(\psi _{2}\nabla ^{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}+2{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial r}}e^{-kr(1+\cos \theta )}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}e^{-kr(1+\cos \theta )}\right){\hat {\varphi }}\\&=-{\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\end{aligned}}$

したがって渦度は次のようになります。 ${\vec {\omega }}\equiv {\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}=-\nabla ^{2}{\vec {\psi }}={\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}$

ここで、の発散の消失を利用して、ベクトルラプラシアンと二重回転を関連付けています。 ${\vec {\psi }}$

運動方程式の左側は次のような回転です。 $\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}-\nu {\vec {\omega }}$

の各項について個別に導関数を計算します。 $\psi$

ご了承ください： ${\vec {U}}=U\left(\cos \theta {\hat {r}}-\sin \theta {\hat {\theta }}\right)$

そしてまた: ${\begin{aligned}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}&=-{\frac {1}{r}}\psi _{2}\\\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}&=\psi _{2}\end{aligned}}$

つまり次のようになります: ${\begin{aligned}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}=-U{\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )\psi _{2}{\hat {\varphi }}=-{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)&=-e^{-kr(1+\cos \theta )}\left(\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }})+\psi _{2}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-kr(1+\cos \theta \right){\hat {\varphi }}\right)\right)\\&=U\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}\left({\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )+\cos \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}\\&=U\psi _{2}(1+\cos \theta )\left({\frac {1}{r}}+k\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\\&={\frac {U}{2k}}{\vec {\omega }}=\nu {\vec {\omega }}\end{aligned}}$

すべての用語を組み合わせると次のようになります。 $\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta -{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta \right){\hat {\varphi }}$

回転を取ると、次の関数の勾配（圧力）の倍数に等しい式が見つかります。 $1/\rho$ $p=p_{0}-{\frac {3\mu Ua}{2r^{2}}}\cos \theta +{\frac {\rho U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)$

ここで、は無限遠での圧力、は前方よどみ点の反対側から発生する極角です(は前方よどみ点です)。 $p_{0}$ $\theta$ $\theta =\pi$

また、速度はの回転を取ることによって導かれます。 ${\vec {\psi }}$ ${\vec {u}}=U\left[-{\frac {a^{3}}{2r^{3}}}\cos \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr^{2}}}-{\frac {3a^{2}}{R}}\left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}[1-\cos \theta ]\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {r}}-U\left[{\frac {a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr}}k\sin \theta e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {\theta }}$

これらのpとu は運動方程式を満たし、したがって Oseen の近似の解を構成します。

オゼーン近似の修正

しかし、補正項が偶然に選ばれたのではないかと疑問に思う人もいるかもしれない。なぜなら、球と共に動く基準系では、球の近くの流体はほぼ静止しており、その領域では慣性力は無視でき、ストークス方程式は十分に正当化されるからである。^[6]球から遠く離れると、流速はu に近づき、オシーンの近似の方が正確である。^[6]しかし、オシーンの方程式は流れ場全体に方程式を適用して得られたものである。この疑問は 1957 年に Proudman と Pearson によって答えられた。^[8]彼らはナビエ-ストークス方程式を解き、球の近傍における改良されたストークスの解と無限遠における改良されたオシーンの解を与え、それらの有効性の想定される共通領域で 2 つの解を一致させた。彼らは次の式を得た。

$F=6\pi \,\mu \,aU\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} +{9 \over 40}\operatorname {Re} ^{2}\ln \operatorname {Re} +{\mathcal {O}}\left(\operatorname {Re} ^{2}\right)\right).$

アプリケーション

非常に低いレイノルズ数における流れの解析方法と定式化は重要です。流体中の微粒子のゆっくりとした運動は、バイオエンジニアリングにおいてよく見られます。オゼーンの抗力定式化は、粒子の含有、粒子の沈降、懸濁液、コロイド、血液の遠心分離または超遠心分離による腫瘍や抗原の分離など、様々な特殊な条件下での流体の流れに関連して使用できます。^{[6]流体は液体である必要はなく、粒子は固体である必要もありません。スモッグの形成や液体の}霧化など、多くの用途に使用できます。

毛細血管などの小血管における血流は、レイノルズ数とウォマーズリー数が小さいという特徴があります。直径10µmの血管で、流量1mm/秒、血液粘度0.02ポイズ、密度1g/cm ³、心拍数2Hzの場合、レイノルズ数は0.005、ウォマーズリー数は0.0126となります。レイノルズ数とウォマーズリー数がこのように小さい場合、流体の粘性効果が支配的になります。これらの粒子の動きを理解することは、薬物送達や癌の転移挙動の研究に不可欠です。

注記

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参考文献

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