外側の測定

Mathematical function

数学の測度論の分野において、外測度あるいは外部測度とは、ある与えられた集合のすべての部分集合上で定義され、拡張された実数に値を持ち、いくつかの追加の技術的条件を満たす関数である。外測度の理論は、可測集合と可算加法測度の理論の抽象的な基礎を提供するために、コンスタンティン・カラテオドリによって初めて導入された。^{[1] [2]}カラテオドリの外測度に関する研究は、測度論的集合論において多くの応用が見られ（外測度は、例えば基本的なカラテオドリの拡大定理の証明に使用されている）、ハウスドルフによって、現在ハウスドルフ次元と呼ばれる次元のような計量不変量を定義する際に本質的に使用された。外測度は、幾何学的測度論の分野で一般的に使用されている。

測度は長さ、面積、体積を一般化したものですが、 内の区間や 内の球よりもはるかに抽象的で不規則な集合に対して有用です。上の一般化された測度関数は、以下の要件を満たすと期待されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

1. 実数の任意の区間は測度を持つ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle b-a}$
2. 測定関数は、 のすべての部分集合に対して定義された非負の拡張実数値関数です。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. 並進不変性：任意の集合と任意の実数に対して、集合と は同じ測度を持つ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+x=\{a+x:a\in A\}}$
4. 可算加法性：任意の対素部分集合の列に対して ${\displaystyle (A_{j})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}).}$

これらの要件は両立しない条件であることが判明しています。非可測集合 を参照してください。のすべての部分集合に外測度を構築する目的は、可算加法性を満たすような方法で 部分集合のクラス（可測集合と呼ばれる）を選択することです。 ${\displaystyle X}$

外部対策

集合が与えられ、の すべての部分集合の集合をとすると、の外側の測度は、 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$$

• null 空セット: ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• 可算劣加法性：任意の部分集合に対して ${\displaystyle A,B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle {\text{if }}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{ then }}\mu (A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

この定義には無限和に関する微妙な問題は存在しないことに注意してください。被加数はすべて非負であると仮定されているため、部分和の列は無限に増加することによってのみ発散する可能性があります。したがって、定義に現れる無限和は常に の明確に定義された元となります。もし、代わりに外測度が負の値をとることが許されるならば、その定義は収束しない無限和の可能性を考慮して修正される必要があります。 ${\displaystyle [0,\infty ].}$

代替的かつ同等の定義。^[3]ハルモス（1950）やフォランド（1999）などの教科書では、代わりに外測度を次のように定義している。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$

• null 空セット: ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• 単調：と がの部分集合である場合、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$
• 任意の部分集合に対して ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

同等性の証明。

が上で最初に与えられた意味での外測度であると仮定する。もしと がの部分集合で の場合、とについての定義を援用すると、 となる。代替定義の3番目の条件は、次の自明な観察から明らかである。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle B_{1}=B}$ ${\displaystyle B_{j}=\varnothing }$ ${\displaystyle j\geq 2,}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}$ ${\displaystyle \cup _{j}B_{j}\subseteq \cup _{j}B_{j}.}$ 代わりに、代替定義における が外測度であると仮定します。をの任意の部分集合とし、 が成り立つと仮定します 。この場合、最初の不等式は代替定義の2番目の条件から導かれ、2番目の不等式は代替定義の3番目の条件から導かれます。したがって、 は元の定義の意味での外測度です。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A,B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}.}$$ $${\displaystyle \mu (A)\leq \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}),}$$ ${\displaystyle \mu }$

外部測定に対する集合の測定可能性

を外測度を持つ集合とする。の部分集合が に対して-測度可能（数学者カラテオドリにちなんで、 に対してカラテオドリ測度可能とも呼ばれる）であるとき、のすべての部分集合に対して ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cap E)+\mu (A\setminus E)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

非公式には、これは- 可測部分集合とは、他の任意の部分集合を断片（すなわち、可測集合の内部にある断片と外部にある断片）に分解する構成要素として使用できる部分集合であることを意味します。測度論の動機づけの観点から見ると、例えば面積 は平面上の外測度であるはずです。すると、 と が平面の互いに素な部分集合であるときはいつでも、平面のすべての部分集合は「可測」であるとみなされるはずです。しかし、理論の形式的な論理的展開は、状況がより複雑であることを示しています。選択公理の形式的な含意は、長方形の面積の標準的な公式を特別なケースとして含む、面積を外測度として定義する任意の定義において、平面の測定不可能な部分集合が必ず存在するということです。特に、上記の「予期される原理」は、選択公理を受け入れる限り誤りです。 ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \operatorname {area} (A\cup B)=\operatorname {area} (A)+\operatorname {area} (B)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

外側の小節に関連付けられた小節空間

上記の-測定可能性の定義を使うと、次 のことが簡単にわかります。 ${\displaystyle \mu }$

• が- 測定可能であれば、その補集合も- 測定可能になります。 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\setminus A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu }$

次の条件は、「測定可能な部分集合上の の可算な加法性」として知られています。 ${\displaystyle \mu }$

• が の-測定可能なペアワイズ・ディスジョイント（に対して）な部分集合である場合、 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_{j}).}$$

可算な加法性の証明。

外測の定義から「 」という形の結論が自動的に得られる。したがって、「 」という不等式を証明するだけでよい。上記の外測の「代替定義」の2番目の条件により、任意の正の数に対して が成り立つ。（帰納的に） ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$ $${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}\geq \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}}$$ ${\displaystyle N,}$ $${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N-1}A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{N-1}\mu (A_{j})}$$ 上記の- 可測性の定義を と に適用すると、 となり、これにより帰納法は終了します。証明の最初の行に戻ると、任意の正の整数に対してが成り立ちます。これを無限大に展開すると、必要な「」不等式が得られます。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{N}}$ ${\displaystyle E=A_{N},}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}&=\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\cap A_{N}\right)+\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\smallsetminus A_{N}\right)\\&=\mu (A_{N})+\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N-1}A_{j}{\Big )}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}\geq \sum _{j=1}^{N}\mu (A_{j})}$$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$

同様の証明から次のことがわかります。

• が の - 測定可能な部分集合である場合、和集合と積集合も- 測定可能です。 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

ここで示す特性は、次の用語で要約できます。

集合上の任意の外測度が与えられたとき、のすべての-測度可能な部分集合の集合はσ-代数となる。この -代数への の制限は測度である。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

したがって、上の外部測度の指定から自然に生じる上の測度空間構造が得られます。この測度空間には、次のステートメントに含まれる完全性という追加のプロパティがあります。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

• となるすべての部分集合は -測定可能である。 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$

これは、外部測定の「代替定義」の 2 番目のプロパティを使用すると簡単に証明できます。

外部対策の制限と推進

を集合 上の外測度とします。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

前進

別の集合とマップが次のように定義される。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{\sharp }\mu :2^{Y}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle {\big (}f_{\sharp }\mu {\big )}(A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}.}$

定義から、 が上の外部測度であることを直接確認できます。 ${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$ ${\displaystyle Y}$

制限

Bを_Xの部分集合とする。μB :  2X ^→ [0,∞]を次のように 定義する。

${\displaystyle \mu _{B}(A)=\mu (A\cap B).}$

定義から直接、μ _BがX上の別の外測度であることを確認できます。

プッシュフォワードまたは制限に対するセットの測定可能性

XのサブセットAがμ測定可能であれば、 Xの任意のサブセットBに対してもμ _B測定可能です。

写像f  : X → YとYの部分集合Aが与えられたとき、f ⁻¹ ( A )がμ -可測ならば、Aはf _# μ -可測である。より一般的には、f ⁻¹ ( A )がμ -可測であるためには、 Xの任意の部分集合Bに対してAがf _# ( μ _B ) -可測となる必要がある。

定期的な外部対策

正規外尺度の定義

集合Xが与えられたとき、 X上の外測度μが正則であるとは、任意の部分集合が「外側から」 μ -可測集合によって近似できる場合を言う。正式には、これは以下の同値な条件のいずれかを満たすことを要求する。 ${\displaystyle A\subseteq X}$

• ${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (B)\mid A\subseteq B,B{\text{ is μ-measurable}}\}}$
• Aと を含む、Xのμ測定可能な部分集合Bが存在する。 ${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)}$

2番目の条件が1番目の条件を暗示することは自動的に成り立ちます。1番目の条件は、2番目の条件と可算な共通部分を取ることによって2番目の条件を暗示します。 ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle \mu (B_{i})\to \mu (A)}$

外部測定に関連付けられた通常の外部測定

集合X上の外測度μが与えられたとき、ν  :2X ^→ [0,∞]を次のように 定義する。

${\displaystyle \nu (A)=\inf {\Big \{}\mu (B):\mu {\text{-measurable subsets }}B\subset X{\text{ with }}B\supset A{\Big \}}.}$

このとき、νはX上の正規外測度であり、 Xのすべてのμ -可測部分集合にμと同じ測度を割り当てる。すべてのμ -可測部分集合はν -可測であり、有限ν -測度のすべてのν -可測部分集合はμ -可測である。

したがって、 νに付随する測度空間は、μに付随する測度空間よりも大きな σ-代数を持つ可能性がある。 νとμの、より小さな σ-代数への制約は同一である。より大きな σ-代数の元で、より小さな σ-代数に含まれない元は、無限のν -測度と有限のμ -測度を持つ。

この観点から、ν はμの拡張と見なすことができます。

外測度と位相

(X, d)を計量空間とし、φ をX上の外測度とする。φ が以下の性質を持つ とすると、

${\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)}$

いつでも

${\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}$

φは計量外部測度と呼ばれます。

定理。φ がX上の計量外部測度である場合、Xのすべてのボレル部分集合はφ測定可能である。（Xのボレル集合は、開集合によって生成される最小のσ代数の元である。）

外部対策の構築

集合上の外測度を構築する手順はいくつかあります。以下に示すMunroeの古典的な参考文献では、特に有用な2つの手順が説明されており、それぞれMethod IとMethod IIと呼ばれています。

方法I

X を集合、C を空集合を含むXのサブ集合の族、 p を空集合上で消えるC上の非負の拡張実数値関数とします。

定理. 族Cと関数pが上記の通りであるとし、次のように定義する。

${\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}.}$

つまり、最小値は、 Eを覆うCの元のすべての列{A _i }に及ぶ。ただし、そのような列が存在しない場合は最小値は無限であるという規則がある。この場合、φはX上の外測度となる。

方法II

2番目の手法は、計量空間上の外測度を構成するのにより適している。なぜなら、計量外測度が得られるからである。(X, d)を計量空間とする。上述のように、Cは空集合を含むXの部分集合族であり、 pはC上の非負の拡張実数値関数で、空集合上ではゼロである。各δ > 0に対して、

${\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}}$

そして

${\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.}$

明らかに、δ ≤ δ'のときφ _δ ≥ φ _δ'である。なぜなら、 δが減少するにつれて、最小値はより小さなクラスに渡るからである。したがって、

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]}$

存在する（おそらく無限）。

定理。φ 0_はX上の計量外部測度である。

これは、距離空間のハウスドルフ測度の定義で使用される構成です。

参照

• 内測

注記

1. カラテオドリー 1968
2. アリプランティスとボーダー 2006、pp. S379
3. 上記のオリジナルの定義は、広く引用されているフェデラー、エヴァンス、ガリエピの文献に基づいています。これらの書籍ではどちらも、「尺度」をここで「外尺度」と呼ぶ際に、非標準的な用語を使用していることに注意してください。

参考文献

• フォランド、ジェラルド・B. (1999). 『実分析：現代技法とその応用（第2版）』 ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-31716-0。
• アリプランティス, CD; ボーダー, KC (2006). 『無限次元解析』（第3版）. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク:シュプリンガー出版. ISBN 3-540-29586-0。
• Carathéodory、C. (1968) [1918]。Vorlesungen über reelle Funktionen (ドイツ語) (第 3 版)。チェルシー出版。ISBN 978-0828400381。
• エヴァンス、ローレンス・C. ; ガリエピ、ロナルド・F. (2015).測度論と関数の微細性質. 改訂版. 数学教科書. CRC Press, ボカラトン, フロリダ州. pp. xiv+299. ISBN 978-1-4822-4238-6。
• フェデラー, H. (1996) [1969].幾何学的測度論. 数学の古典（第1版復刻版）. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク:シュプリンガー出版. ISBN 978-3540606567。
• ハルモス、P. (1978) [1950]。メジャー理論。数学の大学院テキスト (第 2 版)。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク: Springer Verlag。ISBN 978-0387900889。
• マンロー, ME (1953).測度と積分入門（第1版）.アディソン・ウェスレー. ISBN 978-1124042978。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• コルモゴロフ, AN ;フォミン, SV (1970). 『実解析入門』リチャード・A・シルバーマン訳. ニューヨーク: Dover Publications . ISBN 0-486-61226-0。

外部リンク

• 数学百科事典の外測度
• 数学百科事典のカラテオドリー尺度

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