p型電気力学

電気力学の一般化

理論物理学において、p型電気力学はマクスウェルの電磁気学理論の一般化である。

通常の（一形式を介した）アーベル電磁力学

1形式、ゲージ対称性 ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +d\alpha ,}$

ここで、 は任意の固定された0形式であり、は外微分であり、ゲージ不変なベクトル電流で密度1が連続方程式を満たす。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle d{\star }\mathbf {J} =0,}$

ここでホッジスター演算子は です。 ${\displaystyle {\star }}$

あるいは、閉じた( n −1)形式として表現することもできますが、ここではその場合は考慮しません。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle \mathbf {F} }$は外微分 として定義されるゲージ不変な 2次元形式である。 ${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {F} }$運動方程式を満たす

${\displaystyle d{\star }\mathbf {F} ={\star }\mathbf {J} }$

（この方程式は明らかに連続方程式を意味します）。

これは、行動から導き出されます

${\displaystyle S=\int _{M}\left[{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge {\star }\mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge {\star }\mathbf {J} \right],}$

どこに時空多様体があるか。 ${\displaystyle M}$

pアーベル電磁力学

p型、ゲージ対称性がある ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} \rightarrow \mathbf {B} +d\mathbf {\alpha } ,}$

ここで、 は任意の固定された( p − 1) -形式であり、は外微分であり、ゲージ不変なp -ベクトルで密度が1で連続方程式を満たす。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle d{\star }\mathbf {J} =0,}$

ここでホッジスター演算子は です。 ${\displaystyle {\star }}$

あるいは、閉じた( n − p )形式として表現することもできます。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle \mathbf {C} }$は外微分として定義されるゲージ不変な ( p +1)形式である。 ${\displaystyle \mathbf {C} =d\mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} }$運動方程式を満たす

${\displaystyle d{\star }\mathbf {C} ={\star }\mathbf {J} }$

（この方程式は明らかに連続方程式を意味します）。

これは、行動から導き出されます

${\displaystyle S=\int _{M}\left[{\frac {1}{2}}\mathbf {C} \wedge {\star }\mathbf {C} +(-1)^{p}\mathbf {B} \wedge {\star }\mathbf {J} \right]}$

ここで、Mは時空多様体です。

他にも記号規則は存在します。

カルブ・ラモンド場は弦理論におけるp = 2の例である。荷電源がDブレーンであるラモンド・ラモンド場は、 pのあらゆる値の例である。11次元超重力理論、すなわちM理論では、3形式電磁力学が成り立つ。

非可換一般化

ヤン＝ミルズ理論につながる電気力学の非可換一般化があるように、p型電気力学の非可換一般化も存在します。これらは通常、ゲルブの使用を必要とします。

参考文献

• ヘノー、テイテルボイム（1986）、「p型電磁力学」、物理学基礎 16（7）：593-617、doi：10.1007/BF01889624
• Bunster, C.; Henneaux, M. (2011). 「ねじれた自己双対性に対する作用」. Physical Review D. 83 ( 12) 125015. arXiv : 1103.3621 . Bibcode :2011PhRvD..83l5015B. doi :10.1103/PhysRevD.83.125015. S2CID  119268081.
• Navarro; Sancho (2012)、「微分k形式のエネルギーと電磁気学」、J. Math. Phys. 53 , 102501 (2012) doi :10.1063/1.4754817

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