極と極

Unique point and line of a conic section

点Oを中心とする半径rの円に関する点Qへの極直線q。点PはQの反転点である。極直線は、点Pを通り、 O、P、Qを含む直線に垂直な直線である。

幾何学において、 極と極線は、それぞれ、与えられた円錐曲線に対して一意の相互関係を持つ点と線です。

与えられた円における極往復とは、平面上の各点がその極線に変換され、平面上の各線がその極に変換されることです。

プロパティ

Pole と polar には、いくつかの便利なプロパティがあります。

• 点P が直線l上にある場合、直線lの極L は点Pの 極p上にある。（ラ・イールの定理）
• 点P が直線lに沿って動く場合、その極p は直線lの極Lを中心に回転します。
• 円錐曲線の極から 2 本の接線を引くことができる場合、その極は両方の接点を通ります。
• 点が円錐曲線上にある場合、その点を通る円錐曲線の接線が極線になります。
• 点Pがそれ自身の極線上にある場合、Pは円錐曲線上に存在します。
• 非退化円錐曲線に関して、各直線には正確に 1 つの極があります。
• 直線が円錐曲線と点および点で交差し、が上の点である場合、と の極座標のに関する交点は、およびに関するの調和共役点です。 ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

円の特殊なケース

円C上の直線Lの極とは、円の中心に最も近いL上の点PをC上で反転させた点Qのことである。逆に、円C上の点Qの極直線（または極線）とは、円の中心に最も近い点PがQのC上で反転した点となる直線Lのことである。

点Aが別の点Qの極直線q上にある場合、Q はAの極直線a上にある。これはラ・イールの定理と呼ばれることもある。より一般的には、直線q上のすべての点の極は、その極Qを通らなければならない。

極と極座標の関係は相互的です。したがって、点Aが点Qの極直線q上にある場合、点Qは点Aの極直線a上にある必要があります。2つの極直線aとq は平行である必要はありません。

点Pが円Cの外側にある場合の極直線については、別の記述法があります。この場合、Pを通り円 に接する2本の直線があり、Pの極直線は2つの接点（ここでは図示されていません）を結ぶ直線です。これは、極と極直線が平面の射影幾何学における概念であり、円Cの代わりに任意の非特異円錐曲線に一般化できることを示しています。

極往復

点と直線の双対性と「入射」の二重の意味を示す図。2つの直線aとkが1つの点Qを通る場合、 Qの極q は直線aと直線 k の極Aと極Kにそれぞれ接します。

極とその極直線の概念は、射影幾何学において発展しました。例えば、極直線は、与えられた点（極）の円錐曲線に対する射影調和共役の集合として見ることができます。すべての点をその極に置き換え、またその逆を行う操作は、極性と呼ばれます。

極性は相関関係であり、また反転でもあります。

ある点Pとその極pに対して、 p上の任意の点QはPを通る直線qの極となる。これは相互関係を構成し、接続関係が保存される関係である。^[1]

一般的な円錐曲線

線分pは点Pへの極線、線分lは点Lへの極線、 線分mは点Mへの極線である。

pは点Pへの極線 、mは点Mへの極線である。

極、極座標、そして往復運動の概念は、円から楕円、双曲線、放物線といった他の円錐曲線へと一般化できます。この一般化が可能なのは、円錐曲線が円を別の円に往復運動させることで生じ、入射角や複比といった関連する性質がすべての射影変換において保持されるためです。

点の極を計算する

一般的な円錐曲線は、平面の直交座標（x、y）における2次方程式として表される。

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}$$

ここで、 A _xx、A _xy、A _yy、B _x、B _y、Cは方程式を定義する定数である。このような円錐曲線の場合、与えられた極点（ξ、η）への極線は次式で定義される 。

$${\displaystyle Dx+Ey+F=0\,}$$

ここで、 D、E、Fは同様に極座標（ξ、η）に依存する定数である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\end{aligned}}}$$

直線の極を計算する

非退化円錐曲線に対する 直線の極は 、 2 つのステップで計算できます。 ${\displaystyle Dx+Ey+F=0}$ $${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}$$

まず、x、y、zの数値を計算します。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}}$$

さて、極とは座標を持つ点です ${\displaystyle \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)}$

極-極関係表

• 楕円の極-極関係
• 双曲線の極-極関係
• 放物線の極-極関係

円錐形	方程式	点の極 ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$
丸	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y=r^{2}}$
楕円	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$
双曲線	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$
放物線	${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle y+y_{0}=2ax_{0}x}$

円錐形	方程式	線分の極ux + vy = w
丸	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {r^{2}u}{w}},\;{\frac {r^{2}v}{w}}\right)}$
楕円	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}$
双曲線	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;-{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}$
放物線	${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle \left(-{\frac {u}{2av}},\;-{\frac {w}{v}}\right)}$

完全な四角形を介して

射影幾何学では、平面上の2本の直線は必ず交差します。したがって、完全な四角形を形成する4点が与えられた場合、それらの点を結ぶ直線は、さらに3つの対角点で交差します。

円錐曲線C上にない点ZからCを通る2本の割線を描き、それぞれ点A、B、D、Eで交わるようにする。すると、これら4点は完全な四角形を形成し、Zは対角点の1つに位置する。他の2つの対角点を結ぶ直線はZの極であり、Zはこの直線の極となる。^[2]

アプリケーション

極と極点はジョセフ・ディアス・ジェルゴンヌによって定義され、アポロニウスの問題の解決において重要な役割を果たした。^[3]

平面力学において、極は回転中心、極座標は作用力線、円錐座標は質量慣性行列である。^[4]極と極座標の関係は、平面剛体の打撃中心を定義するために使用される。極がヒンジ点である場合、極座標は平面ねじ理論で説明されているように、打撃作用線となる。

参照

• デュアルポリゴン
• 二重多面体
• 極曲線
• ブローカードの定理

参考文献

• ジョンソンRA (1960). 『上級ユークリッド幾何学：三角形と円の幾何学に関する初等的論文』ニューヨーク：ドーバー出版. pp.  100– 105.
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Geometry Revisited . Washington : MAA . pp. 132–136, 150. ISBN 978-0-88385-619-2。
• グレイ・JJ（2007年）『無から生まれた世界：19世紀幾何学史講座』ロンドン：シュプリンガー出版社、21頁。ISBN 978-1-84628-632-2。
• Korn GA, Korn TM (1961). 『科学者とエンジニアのための数学ハンドブック』 ニューヨーク: McGraw-Hill. pp.  43– 45. LCCN  59014456. ドーバー出版から出版されたペーパーバック版のISBNは 978-0-486-41147-7。
• ウェルズ・D (1991). 『ペンギン辞典 不思議で興味深い幾何学』 ニューヨーク: ペンギンブックス. pp. 190–191. ISBN 0-14-011813-6。

参考文献

1. エドワーズ、ローレンス;射影幾何学、第2版、フロリス (2003)。pp. 125-6。
2. GB Halsted (1906) Synthetic Projective Geometry、25ページ、インターネットアーカイブより
3. 「アポロニウスの問題：解決とその関連性に関する研究」（PDF） 。 2013年6月4日閲覧。
4. ジョン・アレクシオウ論文、第5章、pp. 80–108 2011年7月19日アーカイブ、Wayback Machine

外部リンク

• Cut-the-Knotの複数のポールとポーラーを使ったインタラクティブ アニメーション
• 1つの極とその極座標を使ったインタラクティブアニメーション
• 色付きの複数の極/極性を備えたインタラクティブ 3D - オープンソース
• ワイスタイン、エリック・W.「Polar」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「相互関係」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「反転ポール」。マスワールド。
• ワイスタイン、エリック・W.「逆曲線」。MathWorld。
• Math-abundanceのチュートリアル

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