シンプルにつながる空間

穴のない空間

位相幾何学において、位相空間がパス連結であり、かつ2点間のすべてのパスが、問題の2つの端点を保存したまま、他の任意のそのようなパスに連続的に変換できる場合、その位相空間は単連結（または1連結、または1単連結^[1]）と呼ばれます。直感的には、これは分離した部分や完全に貫通する穴のない空間に対応します。なぜなら、そのような穴の異なる側を回る2つのパスは、互いに連続的に変換できないからです。位相空間の基本群は、空間が単連結でないことを示す指標です。パス連結な位相空間が単連結であるための必要十分条件は、その基本群が自明なことです。

定義と同等の定式化

この図形は、1 つ以上の穴を囲むループを領域から出ることなく点に縮小することができないため、単純接続されていないセットを表します。

位相空間は 、パス連結であり、によって定義される任意のループが点に縮約できる場合、単連結であると呼ばれます。つまり、に制限される連続写像が存在し、はここで、および はそれぞれユークリッド平面内の単位円と閉じた単位円を表します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S^{1}\to X}$ ${\displaystyle F:D^{2}\to X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

同等の定式化は次のようになります。が単連結であることと、それが経路連結であることは同値であり、と が同じ始点と終点（と）を持つ2つの経路（つまり連続写像）であるときはいつでも、 は両端を固定したまま連続的に変形できます。明示的に、と となるホモトピーが存在します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle q:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle p(0)=q(0)}$ ${\displaystyle p(1)=q(1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$ ${\displaystyle F(x,1)=q(x).}$

位相空間が単連結であるための必要十分条件は、が経路連結であり、かつ の各点におけるの基本群が自明である、すなわち単位元のみから成ることである。同様に、が単連結であるための必要十分条件は、の基本群内の射の集合がすべての点に対して1 つの元のみを持つことである。^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$ ${\displaystyle X}$

複素解析において、開集合が単連結であるためには、リーマン球面における開集合とその補集合の両方が連結している必要がある。虚部が0より大きく1より小さい複素数の集合は、平面上の無限で連結な開集合のうち、補集合が連結されていない例である。しかし、この開集合は単連結である。連結であるという要件を緩和すると、平面上の連結された拡張補集合を持つ開集合の探索につながる。例えば、（必ずしも連結とは限らない）開集合は、その連結成分のそれぞれが単連結である場合にのみ、連結された拡張補集合を持つ。 ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

非公式な議論

非公式には、私たちの空間にある物体は、一つのピースで構成され、全体を貫通する「穴」がない場合は単連結であると言えます。例えば、ドーナツも取っ手付きのコーヒーカップも単連結ではありませんが、中が空洞のゴムボールは単連結です。二次元では、円は単連結ではありませんが、円板と直線は単連結です。連結されているものの単連結ではない空間は、非単連結または多重連結と呼ばれます。

球体は、あらゆるループを（表面上で） 1 点に縮小できるため、単純に接続されています。

この定義では、ハンドル型の穴のみが除外されます。球体（または、中が空洞のゴムボール）は、球面上のループは中空の中心に「穴」があっても、点に収縮できるため、単純連結とみなされます。より強い条件、すなわち物体にいかなる大きさの穴も存在しないという条件は、収縮可能性と呼ばれます。

例

トーラスは単連結面ではありません。ここに示す2つの色のループはどちらも、面から離れることなく点に縮めることはできません。また、紫色のループは立体から離れることなく点に縮めることができないため、立体トーラスも単連結ではありません。

• ユークリッド平面 は単連結ですが、原点を引いた部分は単連結ではありません。 の場合、と原点を引いた部分は単連結です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle n>2,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 同様に、n次元球面 が単連結であることは、 ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2.}$
• のすべての凸部分集合は単連結である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• トーラス、（楕円）円筒、メビウスの帯、射影平面、クラインの壺は単純接続ではありません。
• すべての位相ベクトル空間は単連結であり、これにはバナッハ空間とヒルベルト空間が含まれます。
• 特殊直交群は単連結ではなく、特殊ユニタリ群は単連結である。 ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$
• の 1 点コンパクト化は単連結ではありません (が単連結であっても)。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 長い直線 は単純連結ですが、そのコンパクト化である拡張された長い直線は単純連結ではありません (パス連結さえもないため)。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{*}}$

プロパティ

面（2次元位相多様体）が単連結であるとは、面が連結であり、その種数（面のハンドルの数）が 0 である場合に限ります。

任意の（適切な）空間の普遍被覆は、被覆写像を介してに写像される単連結空間です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

とがホモトピー同値で単連結ならば、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

連続関数による単連結集合の像は、必ずしも単連結である必要はありません。例えば、指数写像による複素平面を考えてみましょう。その像は単連結ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

単純な連結性の概念は、次のような事実から 複素解析において重要です。

• コーシーの積分定理は、複素平面の単連結な開部分集合で、正則関数であるとき、 は に原始関数を持ち、における被積分関数を持つすべての線積分の値は経路の端点と のみに依存し、次のように計算できることを述べている。したがって、積分はとを結ぶ特定の経路には依存しない。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F(v)-F(u).}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v,}$
• リーマン写像定理は、 の空でない開単連結部分集合（それ自身を除く）は単位円板と等角的に同値であることを述べています。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

単純連結性の概念は、ポアンカレ予想における重要な条件でもあります。

参照

• 変形後退 – 位相空間から部分空間への連続的で位置保存的な写像リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 局所的に単連結な空間
• n連結空間
• 非干渉空間

参考文献

1. 「nLabにおけるn連結空間」ncatlab.org . 2017年9月17日閲覧。
2. ロナルド・ブラウン（2006年6月）「位相幾何学と群体」 Academic Search Complete. ノースチャールストン：CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC  712629429。

• スパニエ、エドウィン（1994年12月）『代数的位相幾何学』シュプリンガー、ISBN 0-387-94426-5。
• コンウェイ、ジョン（1986）『複素一変数関数 I』シュプリンガー、ISBN 0-387-90328-3。
• ブルバキ、ニコラス (2005)。リー群とリー代数。スプリンガー。ISBN 3-540-43405-4。
• ガムリン、セオドア (2001 年 1 月)。複雑な分析。スプリンガー。ISBN 0-387-95069-9。
• ジョシ、カプリ（1983年8月）『一般位相幾何学入門』ニューエイジ出版社。ISBN 0-85226-444-5。

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