パルス密度変調

Form of modulation

パルス密度変調（PDM ）は、アナログ信号を2進信号で表現する変調方式です。PDM信号では、パルス符号変調（PCM）のように、特定の振幅値が異なる重みを持つパルスのコードワードに符号化されるのではなく、パルスの相対的な密度がアナログ信号の振幅に対応します。1ビットDACの出力は、信号のPDM符号化と同じです。

説明

パルス密度変調ビットストリームにおいて、1は正極性パルス（+ A）に対応し、0は負極性パルス（− A）に対応する。数学的には、これは次のように表される。

${\displaystyle x[n]=-A(-1)^{a[n]},}$

ここで、x [ n ]はバイポーラビットストリーム（−Aまたは+ Aのいずれか）であり、a [ n ]は対応するバイナリビットストリーム（0または1のいずれか）です。

全て1で構成される連続は最大（正）振幅値に対応し、全て0で構成される連続は最小（負）振幅値に対応し、1と0が交互に出現する連続はゼロ振幅値に対応します。連続振幅波形は、バイポーラPDMビットストリームをローパスフィルタリングすることで復元されます。

例

三角関数の正弦関数の1周期を100 回サンプリングし、PDM ビット ストリームとして表すと、次のようになります。

010101101111011111111111111111111111111101111111011111011010100100100000010000000000000000000001000010010101

正弦波の 1 周期の 100 個のサンプルの PDM の例。1 は青で表され、0 は白で表され、正弦波に重ねて表示されます。

高周波正弦波の 2 つの周期は次のように表示されます。

010110111111111111111011010100100000000000001000100110111111111111111111011010100100000000000000100101

2番目のPDMの例は、周波数が2倍の正弦波の2周期分の100サンプルである。

パルス密度変調では、正弦波の山の部分で 1 の高密度が発生し、正弦波の谷の部分で 1 の 低密度が発生します。

アナログからデジタルへの変換

PDM ビットストリームは、1 ビットのデルタシグマ変調のプロセスを経てアナログ信号からエンコードされます。このプロセスでは、アナログ信号の振幅に応じて 1 または 0 を生成する 1 ビットの量子化器を使用します。1 または 0 は、それぞれ完全に上昇または完全に下降している信号に対応します。現実の世界では、アナログ信号が完全に一方向であることはめったにないため、1 または 0 とそれが表す実際の振幅との差である量子化誤差が存在します。この誤差は、ΔΣ プロセス ループで負のフィードバックを受けます。このように、すべての誤差が他のすべての量子化測定とその誤差に次々に影響を及ぼします。これにより、量子化誤差が平均化されると同時に、ノイズ シェーピングによって量子化誤差のほとんどが高周波領域に押しやられ、音声信号の場合は超音波レベルになります。

PDMからPCMへの変換

デシメーションは、PDM信号を非常に高いサンプリングレート（例えば、一部のPDMマイクは1MHzから3.25MHzの間でサンプリングすることがあります）からはるかに低いPCMサンプリングレート（オーディオの場合は16kHzから48kHzの範囲になることがあります）に変換するのに必要です。^[1]

デジタルからアナログへの変換

対象となる周波数成分、例えばオーディオ周波数範囲は、PDMの非常に高いサンプリングレートよりもはるかに低い。そのため、 PDM信号をアナログ信号に変換するプロセスは単純で、PDM信号をローパスフィルタに通すだけで済む。^[2]デルタシグマ変調器は量子化ノイズの大部分を高周波側に押し出しているため、ローパスフィルタは高周波の量子化ノイズを除去し、対象となる低周波信号を維持する。

PWMとの関係

パルス幅変調（PWM）はPDMの特殊なケースであり、スイッチング周波数は固定で、1つのサンプルに対応するすべてのパルスがデジタル信号内で連続しています。アナログ信号への復調方法はPDMと同じですが、8ビットの分解能で50%信号を表現する場合、PWM波形は128クロックサイクル間オンになり、残りの128サイクル間オフになります。PDMで同じクロックレートの場合、信号は1サイクルごとにオンとオフを交互に繰り返します。ローパスフィルタによって得られる平均は、どちらの波形でも最大信号レベルの50%ですが、PDM信号の方がスイッチング頻度が高くなります。100%または0%レベルでは、信号はそれぞれ永続的にオンまたはオフになります。

生物学との関係

特に、動物の神経系が感覚情報やその他の情報を表す方法の 1 つは、信号の大きさが感覚ニューロンの発火率と関連するレートコーディングです。 ^[要出典]直接的な類推では、活動電位と呼ばれる各神経イベントは 1 ビット (パルス) を表し、ニューロンの発火率はパルス密度を表します。

アルゴリズム

このアルゴリズムを用いた正弦波のパルス密度変調

パルス密度変調の以下のデジタルモデルは、1次1ビットデルタシグマ変調器のデジタルモデルから得られる。離散時間領域における信号を1次デルタシグマ変調器への入力として考え、出力はとする。離散周波数領域において、振幅時系列にZ変換を適用して を得ると、デルタシグマ変調器の動作出力は次のように表される。 ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle Y(z)}$

${\displaystyle Y(z)=X(z)+E(z)\left(1-z^{-1}\right),}$

ここで、はデルタシグマ変調器の周波数領域量子化誤差である。項を整理すると、 ${\displaystyle E(z)}$

${\displaystyle Y(z)=E(z)+\left[X(z)-Y(z)z^{-1}\right]\left({\frac {1}{1-z^{-1}}}\right).}$

係数はハイパスフィルタを表しているため、低周波数では出力への寄与が少なく、高周波数では寄与が大きいことがわかります。これはデルタシグマ変調器のノイズシェーピング効果を示しています。量子化ノイズは低周波数から高周波数領域へと「押し上げられる」のです。 ${\displaystyle 1-z^{-1}}$ ${\displaystyle E(z)}$ ${\displaystyle Y(z)}$

逆Z変換を使用すると、これをデルタシグマ変調器の入力と離散時間領域 での出力を関連付ける差分方程式に変換できます。

${\displaystyle y[n]=x[n]+e[n]-e[n-1].}$

考慮すべき制約が2つあります。1つ目は、各ステップで出力サンプルは「実行中の」量子化誤差を最小化するように選択されることです。2つ目は、1ビットで表現されるため、2つの値しか取れません。便宜上、次のように記述できます 。 ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle e[n].}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle y[n]=\pm 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=\operatorname {sgn} {\big (}x[n]-e[n-1]{\big )}\\&={\begin{cases}+1&x[n]>e[n-1]\\-1&x[n]<e[n-1]\end{cases}}\\&=(x[n]-e[n-1])+e[n].\\\end{aligned}}}$

整理して収量を求めると次のようになります。 ${\displaystyle e[n]}$

${\displaystyle e[n]=y[n]-{\big (}x[n]-e[n-1]{\big )}=\operatorname {sgn} {\big (}x[n]-e[n-1]{\big )}-{\big (}x[n]-e[n-1]{\big )}.}$

これにより、最終的に、入力サンプルに関する出力サンプルの式が得られます。各サンプルの量子化誤差は、次のサンプルの入力にフィードバックされます。 ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle x[n]}$

次の疑似コードは、このアルゴリズムを実装して、パルス符号変調信号を PDM 信号に変換します。

// 1次シグマデルタ変調器を使用してサンプルをパルス密度変調にエンコードしますfunction pdm( real[0..s] x, real qe = 0) // 初期実行誤差はゼロ var  int[0..s] y nが0からsまでの場合 qe := qe + x[n] qe > 0の場合 y[n] := 1 それ以外 y[n] := −1 qe := qe - y[n] return y, qe // 出力と実行エラーを返す

アプリケーション

PDM は、 Direct Stream Digitalという名前でSony のスーパーオーディオ CD (SACD) 形式で使用されるエンコーディングです。

PDMは一部のMEMS マイクの出力でもある。^[3]

一部のシステムでは、PDMステレオオーディオを単一のデータ線で伝送します。マスタークロックの立ち上がりエッジは左チャンネルのビットを示し、立ち下がりエッジは右チャンネルのビットを示します。^{[4] [5] [6]}

参照

• デルタ変調
• パルス符号変調
• デルタシグマ変調

参考文献

1. アプリケーションノート AN5027 (Rev 2)：「STM32 MCUおよびMPUを使用したPDMデジタルマイクのインターフェース」（PDF） STMicroelectronics 2019年7月 p. 13 2025年7月30日閲覧。
2. 「PDMについてもっと詳しく」Audio Precision . 2025年5月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。2025年7月30日閲覧。
3. Fried, Limor (2018年1月10日). 「Adafruit PDM Microphone Breakout」. Adafruit Learning System . 2022年12月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2023年6月30日閲覧。
4. Thomas Kite. 「PDMデジタルオーディオを理解する」(PDF). 2012. 6ページの「PDMマイク」セクション。
5. Maxim Integrated. 「PDM入力クラスDオーディオパワーアンプ」（PDF）。2013年。5ページの図1、および13ページの「デジタルオーディオインターフェース」セクション。
6. Knowles. 「SPK0641 デジタル CMOS MEMS マイク」(PDF).

さらに読む

• 1ビットA/DおよびD/Aコンバータ -デルタ変調、PDM（シグマデルタ変調またはSDMとも呼ばれる）、およびパルスコード変調（PCM）との関係について説明します。
• Kite, Thomas (2012). 「PDMデジタルオーディオを理解する」(PDF) . Audio Precision . 2017年1月19日閲覧.

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