確率生成関数

Power series derived from a discrete probability distribution

確率論において、離散確率変数の確率生成関数は、確率変数の確率質量関数のべき級数表現（生成関数）である。確率生成関数は、確率変数Xの確率質量関数における確率列 Pr( X = i )を簡潔に記述するため、また、非負係数を持つよく発達したべき級数理論を利用するために、しばしば用いられる。

意味

単変量の場合

Xが{0,1,...}の非負整数をとる離散確率変数である場合、 Xの確率生成関数は^[1]のように定義されます。

$${\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},}$$ここではの確率質量関数です。添え字付きの表記 と は、これらが特定の確率変数およびその分布に関係することを強調するためによく用いられることに注意してください。このべき級数は、を満たすすべての複素数に対して少なくとも絶対収束します。収束半径は、多くの場合、 よりも大きくなります。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G_{X}}$ ${\displaystyle p_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|<1}$

多変量の場合

X = ( X ₁ ,..., X _d )がd次元非負整数格子{0,1,...} ^dにおいて( x ₁ ,..., x _d )をとる離散確率変数であるとすると、Xの確率生成関数は次のように定義される 。ここでpはXの確率質量関数である。このべき級数は、少なくとも以下のすべての複素ベクトルに対して絶対収束する。 $${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}$$ ${\displaystyle z=(z_{1},...z_{d})\in \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle {\text{max}}\{|z_{1}|,...,|z_{d}|\}\leq 1.}$

プロパティ

べき級数

確率生成関数は、非負係数のべき級数の規則をすべて遵守します。特に、、ただしx が より下から 1 に近づく場合、確率の和は必ず1になるからです。したがって、非負係数のべき級数に対するアーベルの定理より、あらゆる確率生成関数の収束半径は少なくとも1でなければなりません。 ${\displaystyle G(1^{-})=1}$ ${\displaystyle G(1^{-})=\lim _{x\to 1,x<1}G(x)}$

確率と期待

以下の特性により、 に関連するさまざまな基本量を導出できます。 ${\displaystyle X}$

1. の確率質量関数は、の導関数を取ることによって復元される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle p(k)=\operatorname {Pr} (X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.}$$
2. 性質1から、確率変数と の確率生成関数が等しい場合、となる。つまり、と の確率生成関数が同一であれば、それらは同一の分布に従う。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G_{X}=G_{Y}}$ ${\displaystyle p_{X}=p_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
3. 確率質量関数の正規化は、生成関数を用いて次のように表すことができます。の期待値は次のように与えられます。より一般的には、の階乗モーメントは次のように与えられます。したがって、の分散は次のように与えられます。最後に、 Xのk次の素モーメントは次のように与えられます。 $${\displaystyle \operatorname {E} [1]=G(1^{-})=\sum _{i=0}^{\infty }p(i)=1.}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=G'(1^{-}).}$$ ${\displaystyle k^{th}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X(X-1)\cdots (X-k+1)]}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {X!}{(X-k)!}}\right]=G^{(k)}(1^{-}),\quad k\geq 0.}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-\left[G'(1^{-})\right]^{2}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\left(z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{k}G(z){\Big |}_{z=1^{-}}}$$
4. ${\displaystyle G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}$ここで、Xはランダム変数、は確率生成関数 ( )、はモーメント生成関数( )です。 ${\displaystyle G_{X}(t)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{X}(t)}$ ${\displaystyle X}$

独立確率変数の関数

確率生成関数は、独立確率変数の関数を扱う際に特に有用です。例えば、

• が自然数をとる独立な（必ずしも同一分布ではない）確率変数の列であり、 ${\displaystyle X_{i},i=1,2,\cdots ,N}$

  $${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}$$ここで、は定数の自然数であり、確率生成関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle a_{i}}$

  $${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} \left(z^{\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}\right)=G_{X_{1}}(z^{a_{1}})G_{X_{2}}(z^{a_{2}})\cdots G_{X_{N}}(z^{a_{N}}).}$$
• 特に、およびが独立した確率変数である 場合、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle G_{X+Y}(z)=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(z)}$$ $${\displaystyle G_{X-Y}(z)=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(1/z).}$$
• 上記において、系列中の独立確率変数の数は固定されています。 は とは独立な非負整数 の値を取る離散確率変数であると仮定し、確率生成関数 を考えます。 が独立しているだけでなく、共通の確率生成関数 で同一分布に従う場合、 と なります。これは、全期待値 の法則を用いて次のように表すことができます。この最後の事実は、ゴルトン・ワトソン過程や複合ポアソン過程の研究に役立ちます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle G_{N}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle G_{X}=G_{X_{i}}}$ $${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z)).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{S_{N}}(z)&=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}})\\[4pt]&=\operatorname {E} {\big (}\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}}\mid N){\big )}=\operatorname {E} {\big (}(G_{X}(z))^{N}{\big )}=G_{N}(G_{X}(z)).\end{aligned}}}$$
• が同一に分布していない（ただし、 および から独立している）と仮定すると、次の式が成り立ちます。同一に分布しているs の場合、これは前述の恒等式に簡略化されますが、一般的なケースでは、生成関数によっての分解を取得するのに役立つことがあります。 ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\sum _{n\geq 1}f_{n}\prod _{i=1}^{n}G_{X_{i}}(z),}$$ ${\displaystyle f_{n}=\Pr(N=n).}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle S_{N}}$

例

• ほぼ確実に定数である確率変数、すなわち とを持つ変数の確率生成関数は、 ${\displaystyle \Pr(X=c)=1}$ ${\displaystyle \Pr(X\neq c)=0}$ $${\displaystyle G(z)=z^{c}.}$$
• 試行ごとの成功確率を持つ、試行での成功回数である二項ランダム変数の確率生成関数は、注: これは、パラメータ を持つベルヌーイランダム変数の確率生成関数の - 倍の積です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle G(z)=\left[(1-p)+pz\right]^{n}.}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$
  公平なコイン の確率生成関数は、 $${\displaystyle G(z)={\frac {1}{2}}+{\frac {z}{2}}.}$$
• 上の負の二項確率変数の確率生成関数は、各試行での成功確率が である、成功までの失敗回数であり、に対して収束します。 ${\displaystyle \{0,1,2\cdots \}}$ ${\displaystyle r^{th}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle G(z)=\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)^{r},}$$ ${\displaystyle |z|<{\frac {1}{1-p}}}$
  これは、のパラメータを持つ幾何ランダム変数の確率生成関数の 倍積であることに注意してください。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle \{0,1,2,\cdots \}}$
• 速度パラメータを持つポアソン確率変数の確率生成関数は ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle G(z)=e^{\lambda (z-1)}.}$$

関連概念

確率生成関数は、数列の生成関数の一例です。形式冪級数も参照してください。これは確率質量関数の Z変換と等価であり、Z変換と呼ばれることもあります。

確率変数の他の生成関数には、モーメント生成関数、特性関数、キュムラント生成関数などがある。確率生成関数は階乗モーメント生成関数とも等価であり、連続変数やその他の確率変数に対しても同様に考えることができる。 ${\displaystyle \operatorname {E} \left[z^{X}\right]}$

注記

1. Gleb Gribakin. 確率と分布理論(PDF) .

参考文献

• ジョンソン、ノーマン・ロイド、コッツ、サミュエル、ケンプ、アドリアン・W. (1992). 『単変量離散分布』 ワイリー確率・数理統計シリーズ（第2版） ニューヨーク：J. Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54897-3。

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