公開市場相当指標

公開市場相当指標（PME ）は、プライベート・エクイティ・ファンドを評価し、内部収益率や投下資本倍率の測定限界を克服するために開発されたパフォーマンス指標の集合体です。計算方法は異なりますが、いずれもプライベート・エクイティ・ファンドのキャッシュフローを株式市場指数に投入することによるリターンを測定しようとしています

ロング・ニッケルズPME

最初のPME指標は、1996年にオースティン・M・ロングとクレイグ・J・ニッケルズによって提案されました。^{[ 1 ]}

この分析は業界ではロング・ニッケルズPME、LN-PME、PME、またはICMと呼ばれています。ロングとニッケルズはICM（Index Comparison Method）という略称を好んで使用しています。^{[ 2 ]}

ICMは、公的市場指数（PME）とも呼ばれます。私たちは、結果の算出に公的市場指数の使用に限定されない手法をより適切に表現するため、ICMという用語を推奨します。

PME分析は米国特許7058583で保護されている^{[ 3 ]}

方法

ロングとニッケルズは、プライベート・エクイティ・ファンドのキャッシュフローを用いてS&Pへの理論的な投資を作成し、プライベート・エクイティ・ファンドのパフォーマンスをS&P500指数と比較しました

• キャピタルコールを支払う際、同額が「インデックスの購入」に使用されると想定しています。
• 分配金を受け取る際には、同数の指数を売却したものとみなします。

インデックス価格の変動に伴い、インデックスに投資された理論上の金額の価値も変化します。ファンドの評価額を受け取る際に、ファンド投資額とインデックス投資の理論上の金額を比較することができます。

期間	キャッシュフロー	指数	指数パフォーマンス	理論投資
p1	-100	100	0.00%	100
2ページ	-50	105	5.00%	155
p3	60	115	9.52%	109.76
4ページ	10	117	1.74%	101.67
評価（p5）	110	120	2.56%	104.28
IRR	6.43%		PME	5.30%

マイナスのキャッシュフローは拠出金として扱われます。第1期では、ファンドの100ドルのコールに、インデックスへの100ドルの投資が同額になります。第2期では、100ドルのインデックス投資は105ドルになり、これに50ドルの新規投資が加算されます。プラスのキャッシュフローは、インデックス投資を同額減少させることで扱われます。評価期間では、ファンドから受け取った評価額と理論上の投資額を比較します。PME IRRは、インデックス評価額を最終キャッシュフローとしてIRRを計算することで得られます

ロング・ニッケルPMEは、同等の投資が公的市場でどのように運用されていたかを示します。このパフォーマンスは、ファンドの実際の内部収益率（IRR）と比較する必要があります。上記の例では、IRRはPMEを1.13パーセントポイント上回っており、これはプライベートファンドが公的インデックスをアウトパフォームしたことを意味します。IRRとPMEの差はIRRスプレッドと呼ばれます。

計算式

PME は、調整された PME NAV を最終キャッシュフローとして使用して、投資のキャッシュフローに対する IRR です。

${\displaystyle NAV_{PME}=\sum _{s}^{T}C_{s}\times {\cfrac {I_{T}}{I_{s}}}}$

ここで：

${\displaystyle C_{s}}$は日付sにおける投資からのキャッシュフローです。拠出の場合はプラス、分配の場合はマイナスです

${\displaystyle I_{s}}$日付sにおけるインデックスの値です

その後：

${\displaystyle PME=IRR(C_{s},NAV_{PME})}$

制限

ロングとニッケルズの論文に記載されているように：^{[ 1 ]}

個人投資が頻繁に多額の分配金を出し、インデックスを大きくアウトパフォームした場合、インデックスとの比較によって算出される最終値がマイナスになる可能性があります。実際、インデックスからの頻繁な多額の引き出しは、インデックス比較においてネットショートポジションを生み出します。

これは、前の例で、ファンドが多額の分配金を出し、指数が急落する期間を設けることでシミュレートできます。

期間	キャッシュフロー	指数	指数パフォーマンス	理論投資
p1	-100	100	0.00%	100
2ページ	-50	105	5.00%	155
p3	60	115	9.52%	109.76
4ページ	100	100	-13.04%	-4.55
評価（p5）	20	120	20%	-5.47
IRR	7.77%		PME	1.34%

理論投資の最終評価額がマイナスの場合、PMEのIRR式は結果を返さない可能性があります。PMEを計算できたとしても、投資額がマイナスのままであれば、指数の上昇はすべて理論投資のパフォーマンスへの打撃と解釈されます。上記の例では、指数の値は120に戻り、理論投資額にマイナスの影響を与えました。投資額が最終的にプラスに戻り、PMEを計算できたとしても、0未満の期間は不適切に考慮されます。^{[ 4 ]}

Rouvinez、Kaplan、Schoar による次の方法は、この問題に対処するために部分的に設計されています。

PME+

PME+は、2003年にChristophe Rouvinez ^{[ 5 ]}によって論文「Private Equity Benchmarking with PME+」で初めて説明されました。これは、ロングニッケルPMEの一般的な問題、すなわちインデックスを上回る投資は、インデックス理論上の投資においてマイナスの価値をもたらすという問題を解決するために書かれました

PME+手法

PME+は、投資のNAVを変更する代わりに、インデックス投資のNAVがファンドのNAVと一致するように計算された係数ですべての分配金を割引します

期間	キャッシュフロー	指数	理論上の寄与	割引配当	割引キャッシュフロー
p1	-100	100	100	0	-100
2ページ	-50	105	50	0	-50
p3	60	115		51.63	51.63
4ページ	100	100		86.05	86.05
評価（p5）	20	120			20
				ラムダ	0.86
IRR	7.77%			PME+	2.05%

ロング・ニッケルPMEと同様に、PME+はIRRと比較する必要があります。IRRがPMEを上回っているということは、ファンドが公開指数を上回っていることを意味します

PME+の公式

PMEベンチマーク法におけるヘンリー表記法の使用：^{[ 6 ]}

${\displaystyle NAV_{PME+,T}=\sum _{s=0}^{t}(contribution_{s}-\lambda _{T}.distribution_{s}).{\cfrac {I_{t}}{I_{s}}}}$

ここで

${\displaystyle \lambda _{T}={\cfrac {(S_{c}-NAV_{PE,T})}{S_{d}}}}$

および

${\displaystyle S_{c}=\sum _{s=0}^{T}(contribution_{s}.{\cfrac {I_{T}}{I_{s}}})}$

${\displaystyle S_{d}=\sum _{s=0}^{T}(distribution_{s}.{\cfrac {I_{T}}{I_{s}}})}$

言い換えれば、λは次のように選択されます。

${\displaystyle NAV_{PME+,T}=NAV_{PE,T}}$

IRRは、次のようにキャッシュフローを使用して計算されます

${\displaystyle PME+_{T}=IRR(Contributions,\lambda _{T}.Distributions,NAV_{PE,T})}$

修正PME

修正PME（またはmPME）法は、2013年10月にケンブリッジアソシエイツによってリリースされました。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}これは、LN-PMEの負のNAV制限に対処するための代替方法を提供します。

LN-PMEおよびPME+と同様に、mPMEは、公的ベンチマークにパフォーマンスが一致する仮想的な公的投資を考察します。民間投資への各貢献は、公的投資への同額の貢献と同額です。ただし、公的投資から分配額を差し引くのではなく、民間投資への分配額のウェイトを計算し、公的投資から同じウェイトを差し引きます。

期間	コール	分配	基準価額	指数	理論上の寄与	分配金の重み	理論上の純資産価値	加重分配金	純CF
p1	100	0	100	100	100	0	100	0	-100
2ページ	50		165	105	50	0	155	0	-50
p3	0	60	125	115	0	0.32	114.70	55	55.06
4ページ	0	100	15	100	0	0.87	13.01	87	86.73
評価（p5）			20	120			15.61		15.61
IRR	7.77%							mPME	2.02%

計算式

各分配について、分配ウェイトが計算されます

${\displaystyle D_{weight,t}={\cfrac {D_{t}}{D_{t}+NAV_{t}}}}$

理論的な投資のNAVは次のように計算されます。

${\displaystyle NAV_{mPME,t}=(1-D_{weight,t})\times (NAV_{mPME,t-1}*{\cfrac {I_{t}}{I_{t-1}}}+Call_{t})}$

加重分布は次のように与えられます。

${\displaystyle Dist_{mPME,t}=(D_{weight,t})\times (NAV_{mPME,t-1}*{\cfrac {I_{t}}{I_{t-1}}}+Call_{t})}$

${\displaystyle IRR_{mPME}=IRR(Call,Dist_{mPME},NAV_{mPME,T})}$

カプラン・ショーアPME

カプラン・ショーアPMEは、2005年にスティーブ・カプランとアントワネット・ショーアによって初めて説明されました。^{[ 9 ]}ロング・ニッケルPMEはIRRを返しますが、カプラン・ショーアPME（またはKS-PME）は市場倍率を返します。その計算の簡単な説明は、ソレンセンとジャガンナサンの論文に記載されています。^{[ 10 ]}

X(t) は、時刻 t におけるファンドから LP へのキャッシュフローを表すものとする。このキャッシュフローは、正の分配（dist(t)）と負の分配（call(t)）に分けられる。分配は、PE ファンドが企業の売却に成功した際に LP に返還されるキャッシュフロー（手数料控除後）である。キャピタルコールは、LP によるファンドへの投資であり、継続的な運用手数料の支払いも含まれる。分配とキャピタルコールは、同期間における実現市場リターンを用いて割引評価され、[KS-]PME は、この 2 つの値の比率となる。

計算式

T時点の投資を検討する場合、KS-PMEはまずT時点の分配金として投資の現在の評価額を考慮します。次にKS-PMEは次のように定義されます。

${\displaystyle KS-PME={\cfrac {FV(Dist)}{FV(Call)}}}$

〜と

${\displaystyle FV(Dist)=\sum _{t}(dist(t)\times {\cfrac {I_{T}}{I_{t}}})}$

${\displaystyle FV(Call)=\sum _{t}(call(t)\times {\cfrac {I_{T}}{I_{t}}})}$

前の例を使用します。

期間	貢献	分配	指数	DPI		割引拠出金	割引分配金	KS PME
p1	100	0	100	0		120	0	0
2ページ	50	0	105	0		57.14	0	0
p3	0	60	115	0.40		0	62.60	0.35
4ページ	0	10	117	0.47		0	10.26	0.41
評価（p5）	0	110	120	1.20		0	110	1.03

ロング・ニッケルPMEは実際のIRRと比較する必要がありますが、KS PMEはインデックスのパフォーマンスと比較したファンドのパフォーマンスを直接示します。KS PMEが1を超える場合、ファンドがインデックスを上回ったことを示します。KS PMEが1を下回る場合、公開インデックスがファンドよりも優れた投資であったことを示します

式の簡略化

KS-PME式は、以下の式を合計から 削除することで簡略化できます ${\displaystyle I_{T}}$

${\displaystyle KS-PME={\frac {\sum _{t}{\frac {dist(t)}{I_{t}}}}{\sum _{t}{\frac {call(t)}{I_{t}}}}}}$

Kaplan Schoarの式は、キャッシュフローの予測や割引に用いる期間に依存しません。これは、最終的な値が時間の経過とともに減少するIRR計算を用いるPME式に比べて有利です。

使用法

KS PMEは、コロンビアビジネススクール^{[ 10 ]}の論文の主題であり、投資家（「LP」）が対数効用選好を持ち、LPの総資産の収益率が市場収益率と等しい場合、[Kaplan Schoar] PMEは有効な経済パフォーマンス指標を提供すると評価しています

LN-PMEとKS-PMEの関係

2008年の論文「ACGのICMとAICMとK&S PMEの共通の数学的基礎」^{[ 11 ]}で、オースティン・ロングはLN PMEとKS PMEの間の数学的つながりを研究している。

KS PME式から始めます:

${\displaystyle KS-PME={\cfrac {FV(Dist)}{FV(Call)}}}$

LN-PME式から：

${\displaystyle NAV_{PME}=\sum _{t}^{T}C_{t}{\cfrac {I_{T}}{I_{t}}}}$

${\displaystyle NAV_{PME}=\sum _{t}^{T}call(t){\cfrac {I_{T}}{I_{t}}}-\sum _{t}^{T}dist(t){\cfrac {I_{T}}{I_{t}}}}$

${\displaystyle NAV_{PME}=FV(Call)-FV(Dist)}$

2つの式を結合すると次のようになります。

${\displaystyle KS-PME=1-{\cfrac {NAV_{PME}}{FV(Call)}}}$

ダイレクトアルファ

ダイレクトアルファは、2014年3月6日にグレディル、グリフィス、シュトゥッケによる論文で導入されました。^{[ 7 ]}

これは、割引された貢献と分配を使用して IRR を計算し、その自然対数を取ることによって KS-PME 計算から推測されます。

${\displaystyle a=IRR(FV(C),FV(D),NAV_{PE})}$

${\displaystyle \alpha ={\cfrac {ln(1+a)}{\Delta }}}$

はアルファを計算する期間（通常は年）である^{[ 7 ]} ${\displaystyle \Delta }$

期間	キャッシュフロー	指数	指数パフォーマンス		割引キャッシュフロー
p1	-100	100	1.20		-120
2ページ	-50	105	1.14		-57.14
p3	60	115	1.04		62.60
4ページ	10	117	1.03		10.26
評価(p5)	110	120	1		110
				a (IRR) :	1.09%
				直接アルファ	1.08%

導出

はじめに、キャッシュフローと最終価値のセットに対するIRRの計算は、次式 を解くことによって行われることを思い出してください ${\displaystyle C_{0\ldots n}}$ ${\displaystyle NAV}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle NAV_{PE}=\sum _{i=0}^{n}{c_{i}\cdot (1+r)^{n-i}}}$

直接アルファの公式は、現代ポートフォリオ理論 におけるの定義から導き出されます。収益率 は、市場収益率とアルファの合計として定義されます。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r(t)=b(t)+\alpha }$

直接アルファの範疇では、r(t)とb(t)は連続的な利率であるとみなす。したがって、時刻におけるキャッシュフローの価値は次のようになる。 ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle v_{i}(t_{n})=c_{i}\cdot e^{\int _{t_{i}}^{t_{n}}{(b(t)+\alpha )dt}}}$

ベンチマーク値を使用すると、次のことがわかります。

${\displaystyle {\frac {I_{n}}{I_{i}}}=e^{\int _{t_{i}}^{t_{n}}{b(t)dt}}}$

したがって：

${\displaystyle v_{i}(t_{n})=c_{i}\cdot {\frac {I_{n}}{I_{i}}}\cdot e^{\int _{t_{i}}^{t_{n}}{\alpha dt}}}$

積分を解き、時間変数を次のように離散化することにより ： ${\displaystyle t_{i}=i\Delta }$

${\displaystyle v_{i}(t_{n})=c_{i}\cdot {\frac {I_{n}}{I_{i}}}\cdot e^{\alpha \cdot (n-i)\Delta }}$

民間投資におけるあらゆる貢献には次の式を使用します。

${\displaystyle NAV_{PE}=\sum _{i=0}^{n}{c_{i}\cdot {\frac {I_{n}}{I_{i}}}\cdot e^{\alpha \cdot (n-i)\Delta }}}$

最後に、aを次のように定義する。 ${\displaystyle 1+a=e^{\alpha \cdot \Delta }}$

${\displaystyle NAV_{PE}=\sum _{i=0}^{n}{c_{i}\cdot {\frac {I_{n}}{I_{i}}}\cdot (1+a)^{n-i}}}$

ここで、典型的なIRRの計算式に戻ります。言い換えれば、直接アルファは、ベンチマークとなる割引キャッシュフローを用いてIRRを計算し、次に ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ={\cfrac {ln(1+a)}{\Delta }}}$

超過IRR

この手法は、アルファ、超過IRR、インプライド・プライベート・プレミアム（IPP）、PMEアルファなどとも呼ばれます。^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

アルファに関する最初の言及は、2005年のファリッポウとゴットシャルグによる論文^{[ 12 ]で、単にアルファ、あるいは超過IRRと呼ばれています。この分析は、グローバル・エンダウメント・マネジメント[ 15 ]}によって詳細に説明され、GEMインプライド・プライベート・プレミアム（または「IPP」）と名付けられています。

計算式

超過IRRは次の式 で計算されます ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle NAV_{PE}=\sum _{i=0}^{n}{c_{i}.((1+b_{i})^{\frac {1}{t_{n}-t_{i}}}+\alpha )^{t_{n}-t_{i}}}}$

〜と ${\displaystyle b_{i}={\frac {I_{n}}{I_{i}}}-1}$

方法

インプライド・プライベート・プレミアムを計算するために、プライベート投資の過去の分配金と拠出金の将来価値を計算します。各キャッシュフローは、ベンチマークの年率リターンにIPPを加えた利回りで複利計算されます。次に、PME比率が1になるように必要なIPPを算出します。IPPは、他の報告方法と整合性を保ち、IRRと比較できるように、年率複利を使用しています

より具体的には、インプライド・プライベート・プレミアムは数値的に次のように解かれる。

${\displaystyle 1={\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}(1+b_{T_{i},T_{N}}+r_{pp})^{T_{N}-T_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}c_{j}(1+b_{T_{j},T_{N}}+r_{pp})^{T_{N}-T_{j}}}},}$

ここで、 およびは、それぞれ、時刻および における拠出金と分配金です。は、時刻 から までの年率ベンチマーク収益率です。 は、求めるIPPです。 ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle d_{j}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{j}}$ ${\displaystyle b_{T_{i},T_{N}}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{N}}$ ${\displaystyle r_{pp}}$

導出

IRRの定義から始めましょう。IRRは次の ように計算されます ${\displaystyle r}$

${\displaystyle NAV_{PE}=\sum _{i=0}^{n}{c_{i}.(1+r)^{t_{n}-t_{i}}}}$

r を 2 つの要素の合計とみなします。ここで はとの間の年間複利ベンチマーク パフォーマンスです。 ${\displaystyle r(t_{i})=\beta _{i,n}+\alpha }$ ${\displaystyle \beta _{i,n}}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle \beta _{i,n}=({\frac {I_{n}}{I_{i}}})^{\frac {1}{t_{n}-t_{i}}}-1}$

${\displaystyle \beta _{i,n}=(1+b_{i})^{\frac {1}{t_{n}-t_{i}}}-1}$

元の方程式を置き換えると：

${\displaystyle NAV_{PE}=\sum _{i=0}^{n}{c_{i}.((1+b_{i})^{\frac {1}{t_{n}-t_{i}}}+\alpha )^{t_{n}-t_{i}}}}$

Direct Alphaとの比較

IPPの理論的基盤はダイレクトアルファと類似していますが、実装の詳細は異なります。IPPの利点は、年複利の算術超過収益率であることです。これにより、IPPはIRR（同じく年複利）などの一般的に認められたパフォーマンス指標と直接比較可能です。一方、連続ダイレクトアルファはIRRと同じ単位で測定されず、離散ダイレクトアルファは幾何超過収益率です。

その他のPME分析

他にあまり一般的ではないPME分析も存在しますが、通常はロングニッケルズPMEまたはカプラン・ショアーPMEからの派生です

アライメントキャピタルは、オルタナティブICM（AICM）^{[ 11 ]}をロングニッケルPMEのバリエーションとして定義しています。

ACGのICM計算では、インデックスに投資された資金がロングポジションであると想定していますが、代替インデックス比較法（AICM）ではその逆を想定しています。つまり、プライベート市場投資への投資に使用された現金は、プライベート市場投資とインデックスの両方の外部からではなく、インデックスのショートポジション（つまり売却）から生じたものであると想定しています。同じ言葉で表現すると、AICMによるインデックスの期末価値（AICMの計算に使用される期末価値）の計算は以下のとおりです。

${\displaystyle Value_{Index_{Ending}}=FV_{Returned}-FV_{Invested}}$

2011年12月13日の「プライベートエクイティの評価」において、^{[ 16 ]}ソレンセン、ワン、ヤンはKS PMEに基づいた代替PMEを定義している。

標準的なPME指標には3つの懸念事項があります。第一に、分母には投資と運用手数料という2種類のキャッシュフローが組み合わされています。運用手数料は実質的にリスクフリーの請求権であり、リスクフリーレートに近いレートで割引されるべきです。第二に、分子にはキャリード・インタレストを差し引いた総収益が含まれています。キャリード・インタレストは実質的にコールオプションであり、満期時のLPのペイオフ総額は原資産よりもリスクが低くなります。したがって、キャリード・インタレストは原PE投資よりも低いレートで割引されるべきです。最後に、PE投資のベータは1と等しくならない可能性があります。 ${\displaystyle I_{0}}$これらの懸念に対処するため、調整済みPMEを以下のように定義します。

${\displaystyle Adj.PME={\cfrac {E[e^{-rT}(LP_{1}(A_{t},T)+LP_{2}(A_{T},T)+LP_{3}(A_{T},T))]}{I_{0}+E[\int _{0}^{T}e^{-rs}mX_{0}ds]}}}$

参考文献

1. 「民間投資ベンチマーク」（PDF）。2014年3月5日閲覧
2. Inside Private Equity: The professional Investor Handbook』Kocis, Bachman, Long and Nickels著、157ページ
3. 「特許US7058583 - ポートフォリオスケールIRRの計算方法」2014年3月5日閲覧。
4. Jost, Philippe; Stoll, Philipp. 「PMEの短さの問題の定量化」（PDF）。
5. 「PME+によるプライベート・エクイティ・ベンチマーク」 venturecapitaljournal.com . 2025年8月15日閲覧。
6. Samuel Henly (2013年8月12日). 「PMEベンチマーク手法」(PDF) . 2014年3月5日閲覧。
7. 「プライベート・エクイティのベンチマーキング：ダイレクト・アルファ法」SSRN 2403521。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
8. 「ケンブリッジ・アソシエイツが民間投資と公的投資のパフォーマンスを比較する新しい手法を導入」ケンブリッジ・アソシエイツ。
9. 「プライベート・エクイティのパフォーマンス：リターン、持続性、資本フロー」（PDF） . シカゴ大学経営大学院. 2014年3月5日閲覧。
10. モーテン・ソレンセン、ラヴィ・ジャガンナサン「公的市場相当額とプライベート・エクイティのパフォーマンス」Papers.ssrn.com. SSRN 2347972 . {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
11. 「プライベート・エクイティ・ポートフォリオにおけるリターンの集中を定量化する手法」（PDF） 。 2014年3月5日閲覧。
12. 「プライベート・エクイティ・ファンドのパフォーマンス」17ページ。Ludovic Phalippou & Olivier Gottschalg。SSRN 473221。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
13. 「MIRRの進化：PME Alpha」。2014年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2014年12月11日閲覧。
14. 「GEMインプライド・プライベート・プレミアム（IPP）プライベート・エクイティ・ベンチマーク」（PDF） . Global Endowment Management, LP . 2014年11月21日閲覧。
15. 「商標GEMはプライベートプレミアムを暗示」。
16. 「プライベートエクイティの評価」（PDF） 2011年12月13日。 2014年3月5日閲覧。

• Jカーブへの対応：プライベートエクイティファンド投資の理解と管理、ウルリッヒ・グラベンヴァルター＆トム・ワイディグ、第5章

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