視点

Generalized measurement in quantum mechanics

関数解析と量子情報科学において、正作用素値測度（POVM）は、その値がヒルベルト空間上の半正定値作用素である測度である。POVMは射影値測度（PVM）の一般化であり、それに応じて、POVMによって記述される量子測定は、PVMによって記述される量子測定（射影測定と呼ばれる）の一般化である。

大まかに言えば、POVMとPVMの関係は、混合状態と純粋状態の関係に似ています。混合状態は、より大きなシステムのサブシステムの状態を特定するために必要です（量子状態の精製を参照）。同様に、POVMは、より大きなシステムで行われた射影測定がサブシステムに与える影響を記述するために必要です。

POVMは量子力学における最も一般的な測定法であり、量子場理論でも用いられる。^{[1] POVMは}量子情報の分野で広く用いられている。

意味

をヒルベルト空間と、をボレルσ-代数で囲んだ可測空間とする。POVMとは、その値が の正有界自己随伴作用素である関数であり、任意の ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle (X,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle ,}$

はσ-代数上の非負可算加法測度であり 恒等演算子である。^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}}$

量子力学において、POVM の重要な特性は、結果空間上の確率測度を決定することです。そのため、これは量子状態を測定する際のイベントの確率として解釈できます。 ${\displaystyle \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

最も単純なケース、つまりが有限集合、が のべき集合、が有限次元の場合、POVM は、単位行列に合計される半正定値エルミート行列の集合と同値である。[ ^{3] : 90} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \{F_{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

POVM は、投影値の測度の場合、 の値が直交投影である必要があるという点で、投影値の測度とは異なります。 ${\displaystyle F}$

離散的なケースでは、POVM要素は測定結果に関連付けられており、量子状態に対して量子測定を行うときにそれを得る確率は次のように与えられる。 ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$、

ここで、はトレース演算子である。測定対象の量子状態が純粋状態である場合、この式は次のように簡約される。 ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$。

POVMの離散的なケースは、PVMの最も単純なケースを一般化したもの、つまり、単位行列に合計される直交射影 の集合です。 ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.}$

PVMの確率公式はPOVMと同じです。重要な違いは、POVMの要素が必ずしも直交するわけではないことです。その結果、POVMの要素数は、それらが作用するヒルベルト空間の次元よりも大きくなる可能性があります。一方、PVMの要素数は最大でもヒルベルト空間の次元です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$

ナイマークの膨張定理

注: この定理の別の綴りは「ノイマークの定理」です。

ナイマークの膨張定理^[4]は、より広い空間に作用するPVMからPOVMが得られることを示しています。この結果は量子力学において極めて重要であり、POVM測定を物理的に実現する方法を提供します。^{[5] : 285}

最も単純なケース、すなわち有限次元ヒルベルト空間に作用する有限個の要素を持つPOVMの場合、ナイマークの定理によれば、が 次元のヒルベルト空間に作用するPOVMであるとき、次元のヒルベルト空間に作用するPVMが存在し、すべての に対して、 ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle d_{A'}}$ ${\displaystyle V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V.}$

ランク1のPOVMの特別な場合、つまり、いくつかの（正規化されていない）ベクトルに対して、この等長変換は次のように構築できる^{[5] ：285} ${\displaystyle F_{i}=|f_{i}\rangle \langle f_{i}|}$ ${\displaystyle |f_{i}\rangle }$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}|i\rangle _{A'}\langle f_{i}|_{A}}$

そしてPVMは単純に で与えられます。ここで であることに注意してください。 ${\displaystyle \Pi _{i}=|i\rangle \langle i|_{A'}}$ ${\displaystyle d_{A'}=n}$

^{一般的なケースでは、等長写像とPVMは[6] [7]} 、、およびを定義することによって構築できます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$ ${\displaystyle \Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}}$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}.}$

ここでは であることに注意してください。したがって、これはより無駄な構成です。 ${\displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$

どちらの場合でも、この PVM で結果を得る確率と、等長変換によって適切に変換された状態は、元の POVM で結果を得る確率と同じです。 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}\right)=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}V\right)=\operatorname {tr} (\rho _{A}F_{i})}$

この構成は、等長変換をユニタリに拡張することで、POVMの物理的実現のレシピに変換できます。つまり 、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle V|i\rangle _{A}=U|i\rangle _{A'}}$

1 から まで。これはいつでも実行できます。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d_{A}}$

量子状態上で によって記述される POVM を実現するための方法は、量子状態をヒルベルト空間に埋め込み 、それをユニタリ で展開し、PVM によって記述される射影測定を行うことです。 ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$

測定後の状態

測定後の状態はPOVM自体によって決定されるのではなく、それを物理的に実現するPVMによって決定されます。同じPOVMを実現するPVMは無限に存在するため、演算子だけでは測定後の状態がどうなるかは決定されません。これを理解するには、任意のユニタリ演算子について、演算子が ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle M_{i}=W{\sqrt {F_{i}}}}$

も性質を持つので、等長変換を用いると ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$

${\displaystyle V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}}$

上記の2番目の構成でも同じPOVMが実装されます。測定対象の状態が純粋状態である場合、結果として得られるユニタリはそれを補助状態と合わせて状態 ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle U_{W}}$

${\displaystyle U_{W}(|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B})=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|\psi \rangle _{A}|i\rangle _{B},}$

そして、補助点の射影測定は^{[3] : 84の}状態に収束する。 ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$

${\displaystyle |\psi '\rangle _{A}={\frac {M_{i_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{0}}|\psi \rangle }}}}$

結果を得ることに関して。測定対象の状態が密度行列で記述される場合、対応する測定後の状態は次のように与えられる。 ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{A}}$

${\displaystyle \rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$。

したがって、測定後の状態はユニタリ に明示的に依存することがわかります。 は常にエルミートですが、一般に はエルミートである必要はないことに注意してください。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

投影測定とのもう一つの違いは、POVM測定は一般的に再現性がないことです。最初の測定で同じ結果が得られた場合、 2回目の測定で異なる結果が得られる確率は ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle i_{1}}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i_{1}|i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$、

とが直交しない場合、これらは非ゼロとなる可能性があります。射影測定では、これらの演算子は常に直交するため、測定は常に繰り返し可能です。 ${\displaystyle M_{i_{0}}}$ ${\displaystyle M_{i_{1}}}$

例: 明確な量子状態の識別

状態とにおける明確な量子状態識別のための状態のブロッホ球表現（青）と最適なPOVM（赤）。ブロッホ球上では直交状態は反平行であることに注意する。 ${\displaystyle |\psi \rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )}$

状態か 状態 のいずれかにあることが分かっている 2 次元ヒルベルト空間を持つ量子システムがあり、どちらの状態であるかを判定したいとします。と が直交している場合、このタスクは簡単です。セットはPVM を形成し、この基底での射影測定により、状態が確実に判定されます。 しかし、とが直交していない場合は、PVM または POVM のいずれの測定でも、これらを確実に区別できないという意味で、このタスクは不可能です。 ^{[3] : 87}非直交状態を完全に区別することが不可能であることは、量子暗号、量子コイン投げ、量子マネーなどの量子情報プロトコルの基礎となっています。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

明確な量子状態識別（UQSD）というタスクは、次善の策です。つまり、状態が であるかであるかについて決して間違えないようにすることですが、ときには決定的でない結果になることがあります。これは射影測定で行うことができます。^[8]たとえば、 がに直交する量子状態である PVM を測定し、結果 を得た場合、状態が であったことが確実にわかります。結果が だった場合、それは決定的ではありません。同様の推論がが に直交する状態であるPVM にも当てはまります。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|\}}$ ${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$ ${\displaystyle \{|\varphi \rangle \langle \varphi |,|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|\}}$ ${\displaystyle |\varphi ^{\perp }\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

しかし、これは不十分です。なぜなら、1回の測定で両方を検出することはできず、POVMよりも決定的な結果を得る確率が低いからです。このタスクにおいて、決定的な結果を得る確率が最も高いPOVMは^{[8] [9]です。} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }={\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,}$

どこ

${\displaystyle |\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).}$

に注意してください。したがって、結果が得られる場合、量子状態は であることが確実であり、結果が得られる場合、量子状態は であることが確実です。 ${\displaystyle \operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

決定的な結果となる確率は次のように表される。

${\displaystyle 1-|\langle \varphi |\psi \rangle |,}$

量子系が状態にあるとき、または同じ確率で状態にあるとき。この結果は、UQSD研究の先駆者である著者にちなんで、イヴァノヴィッチ＝ディークス＝ペレス限界として知られています。^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

POVMはランク1なので、上記の構成の単純な例を用いて、このPOVMを物理的に実現する射影測定を得ることができる。拡大されたヒルベルト空間の3つの可能な状態を、、、とラベル付けすると、結果として得られるユニタリは状態を次のように 取ることがわかる。 ${\displaystyle |{\text{result ψ}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{result φ}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{result ?}}\rangle }$ ${\displaystyle U_{\text{UQSD}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\psi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle ,}$

そして同様に、国家は ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\varphi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle .}$

投影測定では、POVM と同じ確率で目的の結果が得られます。

このPOVMは、光子の非直交偏光状態を実験的に区別するために用いられてきた。射影測定を用いたPOVMの実現は、ここで説明したものとは若干異なる。^{[13] [14]}

参照

• SIC-POVM
• 量子測定
• 量子力学の数学的定式化
• 密度行列
• 量子演算
• 投影値測定
• ベクトル測定

参考文献

1. Peres, Asher ; Terno, Daniel R. (2004). 「量子情報と相対性理論」. Reviews of Modern Physics . 76 (1): 93– 123. arXiv : quant-ph/0212023 . Bibcode :2004RvMP...76...93P. doi :10.1103/RevModPhys.76.93. S2CID  7481797.
2. デイヴィス、エドワード・ブライアン (1976). 『開放系の量子理論』 ロンドン: アカデミー・プレス. p. 35. ISBN 978-0-12-206150-9。
3. M. NielsenとI. Chuang, 量子計算と量子情報, Cambridge University Press, (2000)
4. IM GelfandとMA Neumark、「ヒルベルト空間における演算子の環へのノルム環の埋め込みについて」、Rec. Math. [Mat. Sbornik] NS 12(54) (1943)、197–213。
5. A. Peres. 量子理論：概念と方法. Kluwer Academic Publishers, 1993.
6. J. プレスキル、物理学講義ノート229：量子情報と計算、第3章、https://web.gps.caltech.edu/~rls/book.pdf
7. J. Watrous. 量子情報理論. Cambridge University Press, 2018. 第2章3節, https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/
8. JA Bergou、U. Herzog、M. Hillery (2004). 「量子状態の識別」. M. Paris、J. Řeháček (編).量子状態推定. Springer. pp. 417–465. doi :10.1007/978-3-540-44481-7_11. ISBN 978-3-540-44481-7。
9. Chefles, Anthony (2000). 「量子状態識別」. Contemporary Physics . 41 (6). Informa UK Limited: 401– 424. arXiv : quant-ph/0010114v1 . Bibcode :2000ConPh..41..401C. doi :10.1080/00107510010002599. ISSN  0010-7514. S2CID  119340381.
10. Ivanovic, ID (1987). 「非直交状態を区別する方法」. Physics Letters A. 123 ( 6). Elsevier BV: 257– 259. Bibcode :1987PhLA..123..257I. doi :10.1016/0375-9601(87)90222-2. ISSN  0375-9601.
11. Dieks, D. (1988). 「量子状態の重なりと識別可能性」. Physics Letters A. 126 ( 5–6 ) . Elsevier BV: 303–306 . Bibcode :1988PhLA..126..303D. doi :10.1016/0375-9601(88)90840-7. ISSN  0375-9601.
12. Peres, Asher (1988). 「非直交状態を区別する方法」. Physics Letters A. 128 ( 1–2 ) . Elsevier BV: 19. Bibcode :1988PhLA..128...19P. doi :10.1016/0375-9601(88)91034-1. ISSN  0375-9601.
13. B. Huttner; A. Muller; JD Gautier; H. Zbinden; N. Gisin (1996). 「非直交状態の明確な量子測定」. Physical Review A. 54 ( 5). APS: 3783– 3789. Bibcode :1996PhRvA..54.3783H. doi :10.1103/PhysRevA.54.3783. PMID  9913923.
14. RBM Clarke; A. Chefles; SM Barnett; E. Riis (2001). 「最適な曖昧でない状態識別の実験的実証」. Physical Review A. 63 ( 4). APS: 040305(R). arXiv : quant-ph/0007063 . Bibcode :2001PhRvA..63d0305C. doi :10.1103/PhysRevA.63.040305. S2CID  39481893.

• POVM
  • K. Kraus、「状態、効果、および操作」、物理学講義ノート 190、Springer (1983)。
  • AS Holevo、「量子論の確率的および統計的側面」、North-Holland Publ. Cy.、アムステルダム (1982)。

外部リンク

• 量子状態の識別に関するインタラクティブなデモンストレーション

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