PROP（カテゴリー理論）

Type of monoidal category in category theory

数学の一分野である圏論において、PROPは対称な厳密なモノイド圏であり、その対象は有限集合と同一視される自然数nであり、そのテンソル積は数上の加法によって対象に与えられる。^[1]「対称」であるため、各nに対して、n文字上の対称群はnの自己同型群の部分群として与えられる。PROPという名称は「PROduct and Permutation category（積と順列のカテゴリー）」の略称である。 ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$

この概念はアダムズとマクレーンによって導入され、その位相的なバージョンは後にボードマンとヴォクトによって提示された。^[2] 彼らに続いて、JPメイはボードマンとヴォクトが「標準形式の演算子のカテゴリ」と呼んだオブジェクトに対して、PROPの特定の種類である「オペラド」という用語を導入した。

完全なサブカテゴリには以下のものが含まれます: ^[3]

${\displaystyle {\mathsf {Operads}}\subset {\tfrac {1}{2}}{\mathsf {PROP}}\subset {\mathsf {PROP}}}$

ここで、最初のカテゴリは（対称的な）オペラドのカテゴリです。

例とバリエーション

PROP の重要な基本クラスは、ある固定された環上のすべての行列（行数と列数に関わらず）の集合です。より具体的には、これらの行列はPROP の射です。対象は（ベクトルの集合）または単なる自然数（対象は必ずしも何らかの構造を持つ集合である必要はないため）としてとることができます。この例では、 ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{\bullet \times \bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {R}}^{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• 射影合成は通常の行列乗算です。 ${\displaystyle \circ }$
• オブジェクト(または)の恒等射は、サイズ の単位行列です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n}}$ ${\displaystyle n}$
• 積は 、加算 (または) のようなオブジェクトや、ブロック対角行列を構築する操作のような射に作用します。 ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle m\otimes n=m+n}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{m}\otimes {\mathcal {R}}^{n}={\mathcal {R}}^{m+n}}$ ${\displaystyle \alpha \otimes \beta ={\begin{bmatrix}\alpha &0\\0&\beta \end{bmatrix}}}$
  • 構成と製品の適合性は、

    ${\displaystyle (A\otimes B)\circ (C\otimes D)={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}C&0\\0&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}AC&0\\0&BD\end{bmatrix}}=(A\circ C)\otimes (B\circ D)}$。

  • エッジケースとして、行（行列）または列（行列）を持たない行列が許容され、乗算に関してはゼロ行列としてカウントされます。単位行列は行列です。 ${\displaystyle 0\times n}$ ${\displaystyle m\times 0}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle 0\times 0}$
• PROPにおける順列は順列行列です。したがって、行列（このPROPの射）における順列の左作用は行の順列であり、右作用は列の順列です。

積がクロネッカー積である行列の PROP もありますが、その PROP のクラスでは、行列はすべて(辺はすべて共通の基数 のべき乗)の形式でなければなりません。これらは、テンソル積の下でのベクトル空間の適切な対称モノイド カテゴリの座標対応物です。 ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle k^{m}\times k^{n}}$ ${\displaystyle k}$

PROP のその他の例:

• 自然数の離散的カテゴリ 、 ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• 自然数とそれらの間の関数のカテゴリFinSet 、
• 自然数と全単射のカテゴリBij 、
• 自然数と単射のカテゴリInj 。

「対称的」という要件が削除されると、 PROカテゴリの概念が得られます。「対称的」が「b raided」に置き換えられると、 PROBカテゴリの概念が得られます 。

• 自然数のカテゴリBij_組紐 。各nの自己同型として組紐群 B _n を備えています(他の写像はありません)。

PROB ですが PROP ではありません。

• 自然数と順序保存関数の拡大単体カテゴリ 。 ${\displaystyle \Delta _{+}}$

これは PROB ですらない PRO の例です。

PROの代数

モノイド圏におけるPROの代数は、からへの正格モノイド関手である。すべてのPROと圏は、その対象がにおけるの代数であり、それらの間の自然変換が射であるような代数の圏を生み出す。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathrm {Alg} _{P}^{C}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

例えば：

• の代数は の単なるオブジェクトであり、 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle C}$
• FinSetの代数はの可換モノイドオブジェクトであり、 ${\displaystyle C}$
• の代数は のモノイドオブジェクトです。 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle C}$

より正確に言えば、ここで「 の代数は のモノイド対象である」とは、例えばの代数のカテゴリが のモノイドのカテゴリと同等であることを意味します。 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

参照

• ローヴェア理論
• 順列カテゴリ

参考文献

1. Mac Lane 1965、第V章、§24。
2. Boardman, JM; Vogt, RM (1968). 「ホモトピー万能H空間」(PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 74 (6): 1117–22 . doi :10.1090/S0002-9904-1968-12070-1. MR  0236922.
3. Markl, Martin (2006). 「オペラドとPROP」.代数ハンドブック. 5 (1): 87– 140. doi :10.1016/S1570-7954(07)05002-4. ISBN 978-0-444-53101-8. S2CID  3239126。45ページ

• マック・レーン、サンダース(1965). 「圏論的代数」.アメリカ数学会報. 71 : 40–106 . doi : 10.1090/S0002-9904-1965-11234-4 .
• マルクル、マーティン、シュナイダー、ジム・スタシェフ(2002). 『代数学、位相幾何学、物理学におけるオペラッド』アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4362-8。
• レンスター、トム (2004). 『高等オペラド、高等カテゴリー』 ケンブリッジ大学出版局. arXiv : math/0305049 .書誌コード:2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0。

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