パレート分布

Probability distribution

パレートタイプI
確率密度関数 さまざまなに対するパレート I 型確率密度関数 の分布が に近づくにつれて、ディラックのデルタ関数はになります。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x_{\mathrm {m} }=1.}$ ${\displaystyle \alpha \rightarrow \infty ,}$ ${\displaystyle \delta (x-x_{\mathrm {m} }),}$ ${\displaystyle \delta }$
累積分布関数 さまざまなパレートI型累積分布関数 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x_{\mathrm {m} }=1.}$
パラメータ	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }>0}$ スケール（実数）形状（実数） ${\displaystyle \alpha >0}$
サポート	${\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} },\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}}$
CDF	${\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }}$
四分位数	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }{(1-p)}^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$
平均	${\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \leq 1\\{\dfrac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{for }}\alpha >1\end{cases}}}$
中央値	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}}$
モード	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }}$
分散	${\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \leq 2\\{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{for }}\alpha >2\end{cases}}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4}$
エントロピ	${\displaystyle \log \left(\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)\,e^{1+{\tfrac {1}{\alpha }}}\right)}$
MGF	存在しない
CF	${\displaystyle \alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)}$
フィッシャー情報	${\displaystyle {\mathcal {I}}(x_{\mathrm {m} },\alpha )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\alpha ^{2}}{x_{\mathrm {m} }^{2}}}&0\\0&{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\end{bmatrix}}}$
予想される不足額	${\displaystyle {\frac {x_{m}\alpha }{(1-p)^{\frac {1}{\alpha }}(\alpha -1)}}}$[1]

パレート分布は、イタリアの土木技師、経済学者、社会学者である ヴィルフレド・パレートにちなんで名付けられた分布であり^[2]、社会、品質管理、科学、地球物理学、保険数理、その他多くの種類の観測可能な現象の記述に使用されるべき乗法則の 確率分布です。この原理はもともと社会における富の分配を記述するために適用され、富の大部分が人口のごく一部によって保有されているという傾向に適合しています。^{[3] [4]}

パレートの法則、あるいは「80:20の法則」は、結果の80%は原因の20%に起因するという考え方で、パレートにちなんで名付けられましたが、両者の概念は明確に区別されており、形状値（α）が   log  ₄  5 ≈ 1.16^{となるパレート分布のみがこれを正確に反映しています。経験的観察により、この80:20分布は自然現象[5]}や人間活動[6]を含む幅広いケースに当てはまることが示されています^{[ 7] 。}

定義

Xがパレート分布（タイプI）に従う確率変数である場合^{[8] 、} Xがある数xよりも大きい確率、すなわち生存関数（テール関数とも呼ばれる）は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\overline {F}}(x)=\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} },\end{cases}}}$$

ここで、x _{mは（必ず正の）} Xの最小値であり、αは正のパラメータである。タイプIパレート分布は、尺度パラメータ x _mと形状パラメータ α （裾野指数と呼ばれる）によって特徴付けられる。この分布を富の分布モデル化に用いる場合、パラメータαはパレート指数と呼ばれる。

累積分布関数

定義から、パラメータαとx _mを持つパレート確率変数の累積分布関数は

$${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$$

確率密度関数

微分により、確率密度関数は

$${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$$

線形軸上にプロットすると、分布は各直交軸に漸近する、おなじみのJ字型曲線を描きます。曲線のすべての部分は自己相似性を持ちます（適切なスケーリング係数が適用されます）。両対数プロットにプロットすると、分布は直線で表されます。

プロパティ

モーメントと特性関数

• パレート分布に従う確率変数の期待値は $${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}}$$
• パレート分布に従う確率変数の分散は（α≤1の場合、分散は存在しません。） $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}}$$
• 生々しい瞬間は $${\displaystyle \mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}}$$
• モーメント生成関数は、非正の値t  ≤ 0に対してのみ定義されます。したがって、期待値はを含む開区間に収束しないため、モーメント生成関数は存在しないと言えます。 $${\displaystyle M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)}$$ $${\displaystyle M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.}$$ ${\displaystyle t=0}$
• 特性関数は、 Γ( a ,  x )が不完全ガンマ関数である、によって与えられます。 $${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),}$$

パラメータはモーメント法を使って解くことができる。^[9]

条件付き分布

パレート分布に従うランダム変数の条件付き確率分布は、それが を超える特定の数以上である場合 、同じパレート指数を持ちます が、の代わりに が最小となる パレート分布です。 ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{\text{m}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{\text{m}}}$

$${\displaystyle {\text{Pr}}(X\geq x|X\geq x_{1})={\begin{cases}\left({\frac {x_{1}}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{1},\\1&x<x_{1}.\end{cases}}}$$

これは、条件付き期待値（有限である場合、つまり）が に比例することを意味します。 ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle x_{1}}$

$${\displaystyle {\text{E}}(X|X\geq x_{1})\propto x_{1}.}$$

物体の寿命を記述するランダム変数の場合、これは平均寿命が年齢に比例することを意味し、リンディ効果またはリンディの法則と呼ばれます。^[10]

特性定理

が独立かつ同一分布に従う確率変数であり、その確率分布が何らかの に対して区間 で支持されるとする。すべての に対して、2つの確率変数と が独立であるとする。この場合、共通分布はパレート分布となる。^[要出典] ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc }$ ${\displaystyle [x_{\text{m}},\infty )}$ ${\displaystyle x_{\text{m}}>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle (X_{1}+\dotsb +X_{n})/\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$

幾何平均

幾何平均（G）は^[11]

$${\displaystyle G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).}$$

調和平均

調和平均（H）は^[11]

$${\displaystyle H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).}$$

グラフィカルな表現

特徴的な曲線の「ロングテール」分布は、線形スケールでプロットすると、両対数グラフにプロットしたときに関数の基本的な単純さを覆い隠し、負の勾配を持つ直線の形をとります。確率密度関数の式から、x ≥ x _mの場合、

$${\displaystyle \log f_{X}(x)=\log \left(\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\right)=\log(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha })-(\alpha +1)\log x.}$$

αは正なので、勾配−( α  +1)は負になります。

関連ディストリビューション

一般化パレート分布

^{パレート分布には階層構造[8] [12]}があり、パレートI型、II型、III型、IV型、そしてフェラー・パレート分布として知られています。^{[8] [12] [13]}パレートIV型は、パレートI型からIII型を特殊なケースとして含みます。フェラー・パレート^{[12] [14]}分布は、パレートIV型を一般化したものです。

パレートタイプI～IV

パレート分布階層は、生存関数(補完 CDF) を比較した次の表にまとめられています。

μ = 0のとき、パレート分布タイプIIはロマックス分布とも呼ばれる。^[15]

このセクションでは、 xの最小値を示すために以前使用されていた記号x _mをσに置き換えます 。

パレート分布

	${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$	サポート	パラメータ
タイプI	${\displaystyle \left[{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \sigma }$	${\displaystyle \sigma >0,\alpha }$
タイプII	${\displaystyle \left[1+{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0,\alpha }$
ロマックス	${\displaystyle \left[1+{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq 0}$	${\displaystyle \sigma >0,\alpha }$
タイプIII	${\displaystyle \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-1}}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0}$
タイプIV	${\displaystyle \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0,\alpha }$

形状パラメータαは裾指数、μは位置、σは尺度、γは不等式パラメータである。パレート型（IV）の特殊なケースとしては、

$${\displaystyle P(IV)(\sigma ,\sigma ,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha ),}$$ $${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha ),}$$ $${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma ).}$$

平均の有限性、および分散の存在と有限性は、裾指数α（不等式指数γ）に依存します。特に、分数δモーメントは、以下の表に示すように、あるδ > 0に対して有限となります。ただし、 δ は必ずしも整数ではありません。

パレート分布のモーメント（μ = 0の場合）

	${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$	状態	${\displaystyle \operatorname {E} [X^{\delta }]}$	状態
タイプI	${\displaystyle {\frac {\sigma \alpha }{\alpha -1}}}$	${\displaystyle \alpha >1}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\alpha }{\alpha -\delta }}}$	${\displaystyle \delta <\alpha }$
タイプII	${\displaystyle {\frac {\sigma }{\alpha -1}}+\mu }$	${\displaystyle \alpha >1}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\delta )\Gamma (1+\delta )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle 0<\delta <\alpha ,\mu =0}$
タイプIII	${\displaystyle \sigma \Gamma (1-\gamma )\Gamma (1+\gamma )}$	${\displaystyle -1<\gamma <1}$	${\displaystyle \sigma ^{\delta }\Gamma (1-\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}$	${\displaystyle -\gamma ^{-1}<\delta <\gamma ^{-1}}$
タイプIV	${\displaystyle {\frac {\sigma \Gamma (\alpha -\gamma )\Gamma (1+\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle -1<\gamma <\alpha }$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle -\gamma ^{-1}<\delta <\alpha /\gamma }$

フェラー・パレート分布

フェラー^{[12] [14]は、}ベータ確率変数Yの変換U  =  Y ⁻¹  − 1によってパレート変数を定義し、その確率密度関数は

$${\displaystyle f(y)={\frac {y^{\gamma _{1}-1}(1-y)^{\gamma _{2}-1}}{B(\gamma _{1},\gamma _{2})}},\qquad 0<y<1;\gamma _{1},\gamma _{2}>0,}$$

ここでB( )はベータ関数である。もし

$${\displaystyle W=\mu +\sigma (Y^{-1}-1)^{\gamma },\qquad \sigma >0,\gamma >0,}$$

この場合、Wはフェラー・パレート分布 FP( μ , σ , γ , γ ₁ , γ ₂ ) になります。^[8]

とが独立ガンマ変数である場合、フェラー・パレート（FP）変数の別の構成は^{[16]である。} ${\displaystyle U_{1}\sim \Gamma (\delta _{1},1)}$ ${\displaystyle U_{2}\sim \Gamma (\delta _{2},1)}$

$${\displaystyle W=\mu +\sigma \left({\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right)^{\gamma }}$$

W ~ FP( μ , σ , γ , δ ₁ , δ ₂ )と書きます。フェラー・パレート分布の特殊なケースは次のとおりです。

$${\displaystyle FP(\sigma ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha )}$$ $${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha )}$$ $${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma )}$$ $${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,\alpha )=P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,\alpha ).}$$

逆パレート分布 / べき乗分布

確率変数がパレート分布に従う場合、その逆分布はべき分布に従う。逆パレート分布はべき分布と等価である^[17] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=1/Y}$

$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pa} (\alpha ,x_{m})={\frac {\alpha x_{m}^{\alpha }}{y^{\alpha +1}}}\quad (y\geq x_{m})\quad \Leftrightarrow \quad X\sim \mathrm {iPa} (\alpha ,x_{m})=\mathrm {Power} (x_{m}^{-1},\alpha )={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{(x_{m}^{-1})^{\alpha }}}\quad (0<x\leq x_{m}^{-1})}$$

指数分布との関係

パレート分布は指数分布と以下のように関係している。Xが最小x _mと指数 αのパレート分布に従うとすると、

$${\displaystyle Y=\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)}$$

は速度パラメータ αで指数分布する。同様に、Yが速度αで指数分布する 場合、

$${\displaystyle x_{\mathrm {m} }e^{Y}}$$

は、 x _mが最小で指数 αのパレート分布に従います。

これは標準的な変数変換手法を使用して示すことができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(Y<y)&=\Pr \left(\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)<y\right)\\&=\Pr(X<x_{\mathrm {m} }e^{y})=1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x_{\mathrm {m} }e^{y}}}\right)^{\alpha }=1-e^{-\alpha y}.\end{aligned}}}$$

最後の式は、率αの指数分布の累積分布関数です 。

パレート分布は階層的指数分布によって構成できる。^[18]と とすると、となり、結果として となる。 ${\displaystyle \phi |a\sim {\text{Exp}}(a)}$ ${\displaystyle \eta |\phi \sim {\text{Exp}}(\phi )}$ ${\displaystyle p(\eta |a)={\frac {a}{(a+\eta )^{2}}}}$ ${\displaystyle a+\eta \sim {\text{Pareto}}(a,1)}$

より一般的には、（形状レートパラメータ化）かつ であれば、となります。 ${\displaystyle \lambda \sim {\text{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \eta |\lambda \sim {\text{Exp}}(\lambda )}$ ${\displaystyle \beta +\eta \sim {\text{Pareto}}(\beta ,\alpha )}$

同様に、 かつであれば となります。 ${\displaystyle Y\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,1)}$ ${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(1)}$ ${\displaystyle x_{\text{m}}\!\left(1+{\frac {X}{Y}}\right)\sim {\text{Pareto}}(x_{\text{m}},\alpha )}$

対数正規分布との関係

パレート分布と対数正規分布は、同じ種類の量を記述するための代替分布です。両者の関連性の一つは、どちらも指数分布と正規分布という他の一般的な分布に従って分布する確率変数の指数分布であるという点です。（前のセクションを参照。）

一般化パレート分布との関係

パレート分布は、一般化パレート分布の特殊なケースです。一般化パレート分布は、同様の形の分布族ですが、分布の支持点が下方に有界（変数点）となるか、上方と下方に有界（両方が変数）となるような追加のパラメータを含みます。ロマックス分布は特殊なケースです。この族には、シフトされていない指数分布とシフトされた指数分布の両方が含まれます。

スケールと形状を持つパレート分布は、位置、スケール、形状を持つ一般化パレート分布と同等であり、逆に、 の場合にと を取ることで GPD からパレート分布を取得できます。 ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu =x_{m}}$ ${\displaystyle \sigma =x_{m}/\alpha }$ ${\displaystyle \xi =1/\alpha }$ ${\displaystyle x_{m}=\sigma /\xi }$ ${\displaystyle \alpha =1/\xi }$ ${\displaystyle \xi >0}$

有界パレート分布

有界パレート
パラメータ	${\displaystyle L>0}$ 場所（実際の場所）場所（実際の場所） ${\displaystyle H>L}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ 形状（実数）
サポート	${\displaystyle L\leqslant x\leqslant H}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}}$
平均	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\left({\frac {\alpha }{\alpha -1}}\right)\left({\frac {1}{L^{\alpha -1}}}-{\frac {1}{H^{\alpha -1}}}\right),&\alpha \neq 1\\{\frac {{H}{L}}{{H}-{L}}}\ln {\frac {H}{L}},&\alpha =1\end{cases}}}$
中央値	${\displaystyle L\left(1-{\frac {1}{2}}\left(1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }\right)\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$
分散	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\left({\frac {\alpha }{\alpha -2}}\right)\left({\frac {1}{L^{\alpha -2}}}-{\frac {1}{H^{\alpha -2}}}\right),&\alpha \neq 2\\{\frac {2{H}^{2}{L}^{2}}{{H}^{2}-{L}^{2}}}\ln {\frac {H}{L}},&\alpha =2\end{cases}}}$ （これは2番目の生のモーメントであり、差異ではありません）
歪度	${\displaystyle {\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot {\frac {\alpha (L^{k-\alpha }-H^{k-\alpha })}{(\alpha -k)}},\alpha \neq j}$ （これはk番目の生のモーメントであり、歪度ではありません）

有界（または切断）パレート分布には、α、L、Hの3つのパラメータがあります。標準的なパレート分布と同様に、αによって形状が決まります。Lは最小値、Hは最大値を表します。

確率密度関数は

$${\displaystyle {\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}},}$$

ここで、 L  ≤  x  ≤  H、α  > 0である。

有界パレート確率変数の生成

Uが(0, 1)に均一分布している場合、逆変換法^{[19]を適用すると}

$${\displaystyle U={\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-({\frac {L}{H}})^{\alpha }}}}$$ $${\displaystyle x=\left(-{\frac {UH^{\alpha }-UL^{\alpha }-H^{\alpha }}{H^{\alpha }L^{\alpha }}}\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$$

有界パレート分布です。

対称パレート分布

対称パレート分布とゼロ対称パレート分布の目的は、鋭い確率ピークと対称的な長い確率の裾を持つ特殊な統計分布を捉えることです。これら2つの分布はパレート分布から派生しています。確率の裾が長いということは、通常、確率が緩やかに減衰することを意味し、様々なデータセットに適合させることができます。しかし、分布が対称構造を持ち、2つの緩やかに減衰する裾を持つ場合、パレート分布ではこの特性を再現できません。その場合、代わりに対称パレート分布またはゼロ対称パレート分布が適用されます。^[20]

対称パレート分布の累積分布関数（CDF）は次のように定義される。^[20]

$${\displaystyle F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over 2b-X})^{a}&X<b\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{X}})^{a}&X\geq b\end{cases}}}$$

対応する確率密度関数（PDF）は次の通りである：^[20]

$${\displaystyle p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x-b\right\vert )^{a+1}},X\in R}$$

この分布には2つのパラメータaとbがあり、bに関して対称です。したがって、数学的な期待値はbです。この場合、分散は次のようになります。

$${\displaystyle E((x-b)^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-b)^{2}p(x)dx={\frac {2b^{2}}{(a-2)(a-1)}}}$$

ゼロ対称パレート (ZSP) 分布の CDF は次のように定義されます。

$${\displaystyle F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over b-X})^{a}&X<0\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{b+X}})^{a}&X\geq 0\end{cases}}}$$

対応する PDF は次のとおりです。

$${\displaystyle p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x\right\vert )^{a+1}},X\in R}$$

この分布はゼロを中心に対称である。パラメータaは確率の減衰率と関連しており、(a/2b)は確率のピークの大きさを表す。^[20]

多変量パレート分布

単変量パレート分布は多変量パレート分布に拡張されている。^[21]

統計的推論

パラメータの推定

独立標本x = ( x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n ) が与えられた場合のパレート分布パラメータαとx _mの尤度関数は、

$${\displaystyle L(\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\prod _{i=1}^{n}\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x_{i}^{\alpha +1}}}=\alpha ^{n}x_{\mathrm {m} }^{n\alpha }\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}^{\alpha +1}}}.}$$

したがって、対数尤度関数は

$${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })=n\ln \alpha +n\alpha \ln x_{\mathrm {m} }-(\alpha +1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}.}$$

はx _mとともに単調増加していることがわかる。つまり、x _mの値が大きいほど、尤度関数の値も大きくなる。したがって、x ≥ x _mであるので、 ${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })}$

$${\displaystyle {\widehat {x}}_{\mathrm {m} }=\min _{i}{x_{i}}.}$$

αの推定値を見つけるには、対応する偏微分を計算し、それがゼロになる場所を特定します。

$${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial \alpha }}={\frac {n}{\alpha }}+n\ln x_{\mathrm {m} }-\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}=0.}$$

したがって、αの最大尤度推定値は次のようになります。

$${\displaystyle {\widehat {\alpha }}={\frac {n}{\sum _{i}\ln(x_{i}/{\widehat {x}}_{\mathrm {m} })}}.}$$

予想される統計誤差は次の通りである: ^[22]

$${\displaystyle \sigma ={\frac {\widehat {\alpha }}{\sqrt {n}}}.}$$

Malik (1970) ^[23]は、の正確な結合分布を与えている。特に、と は独立しており、尺度パラメータx _mと形状パラメータnαを持つパレート分布であるのに対し、は形状パラメータn  − 1 と尺度パラメータnαを持つ逆ガンマ分布である。 ${\displaystyle ({\hat {x}}_{\mathrm {m} },{\hat {\alpha }})}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

発生と応用

一般的な

ヴィルフレド・パレートはもともとこの分布を個人間の富の分配を説明するために用いました。これは、社会の富の大部分がその社会のより少数の人々によって所有されているという状況を非常によく示しているように思われたからです。彼はまた、所得分配を説明するためにもこの分布を用いました。^{[4]この考え方は、}パレート原理、あるいは「80-20ルール」としてより簡潔に表現されることもあります。これは、人口の20%が富の80%を支配しているというものです。^{[24]マイケル・ハドソンが}『古代の崩壊』で指摘しているように、「数学的な帰結として、10%が富の65%を、5%が国の富の半分を所有することになる」のです。^[25]しかし、80-20ルールは特定のα値に対応しており、実際、パレートが著書『経済政治学』で示したイギリスの所得税に関するデータは、人口の約30%が所得の約70%を所有していることを示しています。^[要出典]この記事の冒頭にある確率密度関数（PDF）のグラフは、一人当たりの資産額が少額である人口の割合、つまり「確率」が比較的高いものの、資産額が増加するにつれて着実に減少することを示しています。（しかし、低所得層の資産についてはパレート分布は現実的ではありません。実際、純資産額がマイナスになることもあります。）この分布は、資産や所得の分布だけでなく、規模や規模の分布に均衡が見られる多くの状況にも当てはまります。以下の例は、近似的にパレート分布していると見なされることがあります。

• 家計予算制約の4つの変数：消費、労働所得、資本所得、富。^[26]
• 人間の居住地の規模（少数の大都市、多数の集落/村落）^{[27] [28]}
• TCPプロトコルを使用するインターネットトラフィックのファイルサイズ分布（小さいファイルが多く、大きいファイルは少ない）^[27]
• ハードディスクドライブのエラー率^[29]
• 絶対零度付近のボーズ・アインシュタイン凝縮体のクラスター^[30]

CumFreqを使用して最大1日降雨量に近似した累積パレート（Lomax）分布。分布の近似も参照してください。

• 油田の石油埋蔵量（少数の大規模油田、多数の小規模油田）^[27]
• スーパーコンピュータに割り当てられたジョブの長さの分布（少数の大規模ジョブと多数の小規模ジョブ）^[31]
• 個別株の標準化された価格収益率^[27]
• 砂粒の大きさ^[27]
• 隕石の大きさ
• 一般賠償責任保険、商用自動車保険、労働者災害補償保険などの特定の事業分野における大規模な損害保険損失の深刻さ^{[32] [33]}
• 水文学において、パレート分布は年間最大日降水量や河川流量などの極端な事象に適用されます。^[34]青い図は、年間最大日降水量の順位付けにパレート分布を当てはめた例を示しており、二項分布に基づく90%信頼区間も表示しています。降水量データは、累積頻度分析の一部としてプロットされた位置によって表されています。
• 電力供給の信頼性（顧客の供給中断時間の 80% は、年間の約 20% の日に発生します）

ジップの法則との関係

パレート分布は連続確率分布です。ジップの法則（ゼータ分布とも呼ばれる）は離散分布であり、値を単純な順位に分けます。どちらも負の指数を持つ単純なべき乗法則で、累積分布が1になるように尺度化されています。値（所得）を順位に分け、各階級の人数が1/順位パターンに従うようにすれば、パレート分布からジップの法則を導くことができます。この分布は、 と定義することで正規化されます。ここでは一般化調和数です。これにより、ジップの確率密度関数はパレートの確率密度関数から導出できます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle \alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }={\frac {1}{H(N,\alpha -1)}}}$ ${\displaystyle H(N,\alpha -1)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}={\frac {1}{x^{s}H(N,s)}}}$$

ここで 、は1からNまでの順位を表す整数で、Nは最高所得層です。したがって、ある集団（または言語、インターネット、国）からランダムに選ばれた人物（または単語、ウェブサイトのリンク、都市）が順位 になる確率は です。 ${\displaystyle s=\alpha -1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

「パレートの法則」との関係

「80/20の法則」によれば、全人口の20%が全所得の80%を受け取り、最も裕福な20%のうちの20%がその80%の80%を受け取る、といった関係が成り立ちますが、これはパレート指数が のときにまさに成立します。この結果は、以下に示すローレンツ曲線の式から導き出されます。さらに、以下の式は数学的に等価であることが示されています^[35]。 ${\displaystyle \alpha =\log _{4}5={\cfrac {\log _{10}5}{\log _{10}4}}\approx 1.161}$

• 所得は、指数α  > 1のパレート分布に従って分配されます。
• 0 ≤ p ≤ 1/2の任意の数が存在し  、全人口の 100 p %が全所得の 100(1 −  p )% を受け取ります。同様に、すべての実数（必ずしも整数ではない） n > 0 に対して、 全人口の  100 p ⁿ % が全所得の100(1 − p ) ⁿ % を受け取ります。αとpは次のように関係しています。 $${\displaystyle 1-{\frac {1}{\alpha }}={\frac {\ln(1-p)}{\ln(p)}}={\frac {\ln((1-p)^{n})}{\ln(p^{n})}}}$$

これは収入だけでなく、富やこの分布でモデル化できる他のあらゆるものにも当てはまります。

これには、0 <  α  ≤ 1 のパレート分布は含まれません。これは、前述のように、期待値が無限大であるため、所得分布を合理的にモデル化することはできません。

プライスの法則との関係

プライスの法則は、パレート分布の性質として、あるいはパレート分布に類似するものとして提示されることがあります。しかし、この法則が成立するのは の場合のみです。この場合、富の総量と期待値は定義されておらず、この法則はランダム標本に対して漸近的にのみ適用されることに注意してください。前述の拡張パレートの法則は、はるかに一般的な法則です。 ${\displaystyle \alpha =1}$

ローレンツ曲線とジニ係数

様々なパレート分布のローレンツ曲線。α = ∞の場合は完全 に均等な分布（G  = 0）に対応し、α  = 1の場合は完全に不均等な分布（G  = 1）に対応する。

ローレンツ曲線は、所得や富の分布を特徴づけるためによく用いられる。任意の分布に対して、ローレンツ曲線L ( F )は、PDF fまたはCDF Fを用いて次のように 表される。

$${\displaystyle L(F)={\frac {\int _{x_{\mathrm {m} }}^{x(F)}xf(x)\,dx}{\int _{x_{\mathrm {m} }}^{\infty }xf(x)\,dx}}={\frac {\int _{0}^{F}x(F')\,dF'}{\int _{0}^{1}x(F')\,dF'}}}$$

ここでx ( F )はCDFの逆関数である。パレート分布の場合、

$${\displaystyle x(F)={\frac {x_{\mathrm {m} }}{(1-F)^{\frac {1}{\alpha }}}}}$$

そしてローレンツ曲線は次のように計算される。

$${\displaystyle L(F)=1-(1-F)^{1-{\frac {1}{\alpha }}},}$$

分母が無限大なので、 L =0となります。いくつかのパレート分布におけるローレンツ曲線の例を右のグラフに示します。 ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$

オックスファム（2016年）によると、世界人口の最も裕福な62人が保有する富は、最も貧しい半分の人々の富と同額です。^[36]この状況に当てはまるパレート指数を推定することができます。εを等しくすると、次の式が得られます。または解はαが約1.15となり、富の約9%が2つのグループによってそれぞれ所有されるというものです。しかし実際には、世界の成人人口の最も貧しい69%が所有する富は、わずか3%程度です。^[37] ${\displaystyle 62/(7\times 10^{9})}$ $${\displaystyle L(1/2)=1-L(1-\varepsilon )}$$ $${\displaystyle 1-(1/2)^{1-{\frac {1}{\alpha }}}=\varepsilon ^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}$$

ジニ係数は、ローレンツ曲線が[0, 0]と[1, 1]を結ぶ等分布線からどれだけ離れているかを表す指標であり、右のローレンツプロットでは黒（α  = ∞）で示されています。具体的には、ジニ係数はローレンツ曲線と等分布線の間の面積の2倍です。パレート分布のジニ係数は（ の場合） 次のように計算されます。 ${\displaystyle \alpha \geq 1}$

$${\displaystyle G=1-2\left(\int _{0}^{1}L(F)\,dF\right)={\frac {1}{2\alpha -1}}}$$

（Aaberge 2005 を参照）。

ランダム変数生成

ランダムサンプルは逆変換サンプリングを用いて生成することができる。単位区間[0, 1]の一様分布から抽出されたランダム変量Uが与えられたとき、変量Tは

$${\displaystyle T={\frac {x_{\mathrm {m} }}{U^{1/\alpha }}}}$$

パレート分布に従う。^[38]

参照

• ブラッドフォードの法則 – 科学雑誌における引用のパターン
• ジニ係数 – 統計分布の不平等の尺度Pages displaying short descriptions of redirect targets
• グーテンベルク・リヒターの法則 - 地震の頻度と規模を記述する地震学の法則
• マシュー効果 – 金持ちはますます金持ちになり、貧乏人はますます貧乏になる
• パレート分析 – 原因と結果の比率に関する統計原理Pages displaying short descriptions of redirect targets
• パレート効率性 – 資源の弱最適配分
• パレート補間法 – 母集団の中央値を推定する方法
• べき乗法則確率分布 – 2つの量間の関数関係
• スタージョンの法則 – 「あらゆるものの90%はゴミだ」
• トラフィック生成モデル
• ジップの法則 – 確率分布
• 重裾分布 – 確率分布

参考文献

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外部リンク

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