部分波解析

Technique in quantum mechanics for solving scattering problems

量子力学における部分波解析とは、各波をその構成角運動量成分に分解し、境界条件を用いて散乱問題を解く手法を指す。部分波解析は、いくつかの角運動量成分のみが支配的な低エネルギー散乱に典型的に有効である。散乱が弱い高エネルギーでは、ボルン近似と呼ばれる代替手法が用いられる。^{[1] : 507}

予備的な散乱理論

定常粒子ビームは、短距離の球対称ポテンシャル で散乱するため、長距離 では粒子は自由粒子のように振舞う。入射ビームは、z軸に沿って伝播する平行平面波であると仮定する。ビームは、粒子と散乱ポテンシャルとの相互作用時間よりも長い時間オンにされるため、定常状態であると仮定する。これは、粒子ビームを表す波動関数に対する 定常シュレーディンガー方程式を解く必要があることを意味する。 ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \exp(ikz)}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right]\Psi (\mathbf {r} )=E\Psi (\mathbf {r} ).}$

私たちは次のような仮説を立てます。

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\Psi _{0}(\mathbf {r} )+\Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} ),}$

ここで、 は入射平面波であり、は元の波動関数を乱す散乱部分です。 ${\displaystyle \Psi _{0}(\mathbf {r} )\propto \exp(ikz)}$ ${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )}$

興味深いのはの漸近形である。なぜなら、散乱中心（例えば原子核）付近での観測はほぼ不可能であり、粒子の検出は原点から遠く離れた場所で行われるからである。遠距離では、粒子は自由粒子のように振舞うはずであり、したがって自由シュレーディンガー方程式の解となるはずである。球対称ポテンシャルの場合、これらの解は遠距離では球面波として出射するはずである。したがって、散乱波の漸近形は^{[2] : 371 として選ばれる。} ${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )\propto \exp(ikr)/r}$

${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )\to f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}},}$

ここではいわゆる散乱振幅であり、この場合、仰角とエネルギーのみに依存します。これにより、波動関数全体について次の漸近表現が得られます。 ${\displaystyle f(\theta ,k)}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\to \Psi ^{(+)}(\mathbf {r} )=\exp(ikz)+f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}}.}$

部分波展開

球対称ポテンシャルの場合、散乱波動関数は球面調和関数で展開することができ、方位対称性（ に依存せず）によりルジャンドル多項式に簡約される。 ${\displaystyle V(\mathbf {r} )=V(r)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {u_{\ell }(r)}{r}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

標準的な散乱問題では、入射ビームは波数kの平面波の形をとると仮定され、球面ベッセル関数とルジャンドル多項式を用いた平面波展開によって部分波に分解できます。

${\displaystyle \psi _{\text{in}}(\mathbf {r} )=e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).}$

ここでは、 Z軸 がビーム方向と一致する球面座標系を仮定しています。この波動関数の動径方向部分は球面ベッセル関数のみで構成されており、これは2つの球面ハンケル関数の和として書き直すことができます。

${\displaystyle j_{\ell }(kr)={\frac {1}{2}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+h_{\ell }^{(2)}(kr)\right).}$

これには物理的な意味がある。h ℓ ₍ ^{2) は}漸近的に（すなわちrが大きい場合） i ^{−( ℓ +1)} e ^ikr /( kr )として振舞い、したがって出射波となる。一方、h _ℓ ^{(1)は漸近的に}i ^{ℓ +1} e ^−ikr /( kr )として振舞い、したがって入射波となる。入射波は散乱の影響を受けないが、出射波は部分波S行列要素 S _ℓと呼ばれる因子によって変化する。

${\displaystyle {\frac {u_{\ell }(r)}{r}}{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {i^{\ell }k}{\sqrt {2\pi }}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)\right),}$

ここで、u _ℓ ( r )/ rは実際の波動関数の動径成分である。散乱位相シフトδ _ℓはS _ℓの位相の半分として定義される。

${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}.}$

フラックスが失われていない場合、| S _ℓ | = 1となり、位相シフトは実数となる。これは、ポテンシャルに虚数吸収成分が含まれていない限り、典型的には当てはまる。虚数吸収成分は、他の反応経路による損失をシミュレートする現象論的モデルでよく用いられる。

したがって、完全な漸近波動関数は

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)}{2}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

ψを減算する_と漸近的な出力波動関数が得られる。

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {S_{\ell }-1}{2}}h_{\ell }^{(2)}(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).}$

球面ハンケル関数の漸近挙動を利用すると、次の式が得られる。

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

散乱振幅 f ( θ , k )は次のように定義される。

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}f(\theta ,k),}$

すると^{[2] : 386}

${\displaystyle f(\theta ,k)=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}P_{\ell }(\cos \theta ),}$

そして微分断面積は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta ,k)|^{2}={\frac {1}{k^{2}}}\left|\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )\right|^{2}.}$

これはあらゆる短距離相互作用に有効です。長距離相互作用（例えばクーロン相互作用）の場合、 ℓに関する和は収束しない可能性があります。このような問題に対する一般的なアプローチは、クーロン相互作用を短距離相互作用とは別に扱うことです。なぜなら、クーロン問題はクーロン関数を用いて正確に解くことができ、この問題におけるハンケル関数の役割を担うからです。

参照

• レビンソンの定理

参考文献

1. グリフィス、JD (1995).量子力学入門. ピアソン・プレンティス・ホール. ISBN 0-13-111892-7。
2. メサイア, アルバート (1976).量子力学. 1 (22. 印刷版). アムステルダム: 北ホラント. ISBN 978-0-471-59766-7。

外部リンク

• 初心者のための部分波解析
• 散乱の部分波解析

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