箱の中の粒子

Mathematical model in quantum mechanics

箱の中の粒子の軌道を、ニュートンの古典力学の法則（A）と量子力学のシュレーディンガー方程式（B–F）に基づいて示した図。（B–F）では、横軸は位置、縦軸は波動関数の実部（青）と虚部（赤）である。状態（B、C、D）はエネルギー固有状態であるが、（E、F）はそうではない。

量子力学において、箱の中の粒子モデル（無限ポテンシャル井戸または無限正方井戸とも呼ばれる）は、侵入不可能な障壁に囲まれた小さな空間における自由粒子の運動を記述する。このモデルは主に、古典系と量子系の違いを説明するための仮説的な例として用いられる。例えば、古典系では、大きな箱の中に閉じ込められた粒子は箱の中を任意の速度で移動でき、ある位置で他の位置よりも多く見つかる可能性はない。しかし、井戸が非常に狭くなると（数ナノメートル程度）、量子効果が重要になる。粒子は特定の正のエネルギー準位しか占めない。同様に、粒子はエネルギーをゼロにすることはできず、つまり粒子が「静止」することはできない。さらに、粒子はエネルギー準位に応じて、特定の位置で他の位置よりも多く見つかる可能性がある。粒子は、空間ノードと呼ばれる特定の位置では決して検出されない可能性がある。

箱の中の粒子モデルは、量子力学において近似なしに解析的に解ける数少ない問題の一つです。その単純さゆえに、複雑な数学を必要とせずに量子効果を考察することができます。このモデルは、原子や分子といったより複雑な量子系に見られるエネルギーの量子化（エネルギー準位）がどのように生じるかを簡潔に示しています。これは学部物理学の授業で最初に教えられる量子力学の問題の一つであり、より複雑な量子系の近似としてよく用いられています。

一次元解

1次元の箱の外側の障壁は無限大のポテンシャルを持ちますが、箱の内側は一定のゼロポテンシャルを持ちます。図はシフトした井戸を示しており、 ${\textstyle x_{c}=L/2}$

箱の中の粒子モデルの最も単純な形式では、1 次元システムを検討します。ここでは、粒子は、両端に侵入できない障壁がある直線に沿って前後にのみ移動できます。^[1] 1 次元の箱の壁は、無限大の位置エネルギーを持つ空間領域と見なすことができます。逆に、箱の内部は一定のゼロの位置エネルギーを持ちます。^[2] これは、箱の中の粒子には力が作用せず、その領域内を自由に移動できることを意味します。ただし、無限大の力は、粒子が箱の壁に触れると粒子を反発させ、脱出を妨げます。 このモデルの位置エネルギーは次のように与えられます 。ここで、Lは箱の長さ、x _cは箱の中心の位置、x は箱内の粒子の位置です。単純なケースには、中心にある箱 ( x _c = 0) とシフトした箱 ( x _c = L /2) (図を参照) があります。 $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},}$$

位置波動関数

量子力学において、波動関数は粒子の挙動の最も基本的な記述を与える。粒子の測定可能な特性（位置、運動量、エネルギーなど）はすべて波動関数から導くことができる。^[3]波動関数は、シュレーディンガー方程式を解くことで求められる。ここで、は換算プランク定数、は粒子の質量、は虚数単位、は時間である。 ${\displaystyle \psi (x,t)}$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),}$$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$

箱の中では粒子に力が作用しないため、箱の中の波動関数の部分は自由粒子と同じ形で空間と時間を通じて振動する：^{[1] [4]}

$${\displaystyle \psi (x,t)=\left[A\sin(kx)+B\cos(kx)\right]e^{-i\omega t},}$$

1

ここで、と は任意の複素数である。空間と時間における振動の周波数は、それぞれ波数と角周波数で与えられる。これらはどちらも粒子の全エネルギーと次の式で結びついている。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},}$$これは自由粒子の分散関係として知られています。 ^[1]しかし、粒子は完全に自由ではなく、ポテンシャルの影響下にあるため、粒子のエネルギーは となります 。 ここで、 Tは運動エネルギー、V はポテンシャルエネルギーです。したがって、上で与えられた粒子のエネルギーはとは異なります（つまり、粒子の運動量は で与えられません）。したがって、上記の波数k は実際には粒子のエネルギー状態を記述するものであり、「波数」が通常そうであるように運動量とは関係がありません。kを波数と呼ぶ根拠は、それが波動関数がボックス内に持つ山の数を列挙するものであり、この意味で k は波数であるということです。この矛盾は、粒子のエネルギースペクトルが離散的（エネルギーの離散的な値のみが許容される）である一方、運動量スペクトルは連続的（運動量は連続的に変化できる）である、つまり であることが分かると、以下でより明確に分かります。 $${\displaystyle E=T+V,}$$ ${\displaystyle E=p^{2}/2m}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle E\neq p^{2}/2m}$

箱の中の1次元粒子の最初の4つの状態の初期波動関数

与えられた位置における波動関数の振幅は、そこに粒子が存在する確率と関係している。したがって、波動関数は箱の縁を越えてどこでも消えていなければならない。^{[1] [4]} また、波動関数の振幅は、ある点から次の点へ急激に「ジャンプ」してはならない。^[1]これらの2つの条件は、 正の整数に対して^[5] 、となる 形式の波動関数によってのみ満たされる。最も単純な解、あるいはその両方は、系のどこにも存在しない粒子を記述する自明な波動関数を与える。 ^[6] ここで、粒子には離散的なエネルギー値と波数kの集合のみが許容されることがわかる。通常、量子力学では、波動関数自体に加えて、波動関数の微分も連続であることが要求される。ここでは、この要求は定数ゼロ関数という唯一の解につながるが、これは我々が望むものではないため、この要求は放棄する（無限の可能性を持つこの系は非物理的な抽象的な極限ケースと見なすことができるため、そのように扱い、「規則を曲げる」ことができる）。この要求を放棄するということは、波動関数がボックスの境界で微分可能な関数ではないことを意味し、したがって、波動関数は境界点ではシュレーディンガー方程式を解かない（ただし、他のすべての場所では解きます）と言えます。 ${\displaystyle P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}},}$$ $${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{L}},}$$ $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{n}={\frac {k_{n}^{2}\hbar ^{2}}{2m}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}},}$$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$ ${\displaystyle k_{n}=0}$ ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle \psi (x)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$

最後に、波動関数を正規化することで、未知の定数を求めることができます。つまり、絶対値がである任意の複素数は、同じ正規化された状態を与えることが分かります。 ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \int _{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1,}$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}},}$$

固有値、すなわち箱のエネルギーは、空間内の位置に関わらず一定であるはずですが、実際には変化します。 は波動関数の位相シフトを表していることに注意してください。この位相シフトはシュレーディンガー方程式を解く際には影響を与えないため、固有値にも影響を与えません。 ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x,t)}$ ${\displaystyle x_{c}-{\tfrac {L}{2}}}$

座標の原点をボックスの中心に設定すると、波動関数の空間部分を次のように簡潔に書き直すことができます。 $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

運動量波動関数

運動量波動関数は、位置波動関数のフーリエ変換に比例します。（以下の運動量波動関数を記述するパラメータkは、エネルギー固有値にリンクされた上記の 特別なk _nとは全く異なることに注意してください）運動量波動関数は次のように与えられます 。ここで、sinc は基数正弦sinc関数、sinc( x ) = sin( x )/ xです。中心のボックス（x _c = 0）の場合、解は実数で、右辺の位相係数が1に減少するため、特に単純です。（注意すれば、 pの偶関数として表すことができます。） ${\displaystyle k=p/\hbar }$ $${\displaystyle \phi _{n}(p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ikx}\,dx={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t},}$$

この波束の運動量スペクトルは連続的であることがわかり、波数k _nによって記述されるエネルギー状態の場合、運動量を測定すると、それを超える他の値も得られると結論付けることができます。 ${\displaystyle p=\pm \hbar k_{n}}$

したがって、エネルギーはn番目の固有状態に対するものであるため、測定された運動量pに対しては関係が厳密には成り立たないこともわかります。エネルギー固有状態は運動量固有状態ではなく、実際には、上記の式 ( 1 )から想像したくなるかもしれませんが、2 つの運動量固有状態の重ね合わせでもありません。奇妙なことに、測定前には明確に定義された運動量がありません。 ${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$ ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$

位置と運動量の確率分布

古典物理学では、粒子は箱の中のどこにいても等確率で検出されます。しかし、量子力学では、与えられた位置で粒子が見つかる確率密度は波動関数から次のように導かれます。 箱の中の粒子の場合、与えられた位置で粒子が見つかる確率密度はその状態に依存し、次のように表されます。 ${\displaystyle P(x)=|\psi (x)|^{2}.}$ $${\displaystyle P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

したがって、 nが1より大きい任意の値に対して、ボックス内に となる領域が存在し、これは粒子が見つからない空間ノードが存在することを示しています。しかし、相対論的波動方程式を考慮すると、ノードにおいて確率密度はゼロになりません（自明な場合を除く）。^[7] ${\displaystyle P(x)=0}$ ${\displaystyle n=0}$

量子力学では、粒子の位置の 平均または期待値は次のように与えられる。 $${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.}$$

箱の中にある定常状態の粒子の場合、粒子の状態にかかわらず、平均位置は常に であることが示されます。状態の重ね合わせの場合、位置の期待値は に比例する交差項に基づいて変化します。 ${\displaystyle \langle x\rangle =x_{c}}$ ${\displaystyle \cos(\omega t)}$

位置の分散は粒子の位置の不確実性の尺度です。 $${\displaystyle \mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$

与えられた運動量を持つ粒子を見つける確率密度は、波動関数から と導出されます。位置と同様に、与えられた運動量を持つ粒子を見つける確率密度は粒子の状態に依存し、 で与えられます。ここでも です。運動量の期待値はゼロと計算され、運動量の分散は次のように計算されます。 ${\displaystyle P(x)=|\phi (x)|^{2}}$ $${\displaystyle P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)^{2}\,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)}$$ ${\displaystyle k=p/\hbar }$ $${\displaystyle \mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}$$

位置と運動量（および）の不確実性は、それぞれの分散の平方根に等しいと定義されるので、次のようになります。 ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p}$ $${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$$

この積はn の増加とともに増加し、 n = 1のときに最小値を持ちます。n = 1 の場合のこの積の値はおよそ 0.568 に等しく、これはハイゼンベルクの不確定性原理に従っており、積は 以上に等しくなるとされています。 ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar /2}$

位置の不確実性のもう一つの尺度は確率分布Hx_の情報エントロピーである: ^[8]ここでx0_は任意の基準長さである。 $${\displaystyle H_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2L}{e\,x_{0}}}\right)}$$

運動量における不確実性のもう一つの尺度は、確率分布H _pの情報エントロピーである。ここでγはオイラー定数である。量子力学的なエントロピー的不確定性原理によれば、( nats ) に対して $${\displaystyle H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{L\,p_{0}}}\right)}$$ ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$ $${\displaystyle H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\approx 2.14473...}$$

の場合、位置エントロピーと運動量エントロピーの合計は次のようになります。単位はnatであり、これは量子エントロピーの不確定性原理を満たします。 ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$ $${\displaystyle H_{x}+H_{p}(\infty )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma }\right)\approx 3.06974...}$$

エネルギーレベル

箱の中の粒子（黒丸）と自由粒子（灰色の線）のエネルギーは、どちらも同じように波数に依存します。ただし、箱の中の粒子は特定の離散的なエネルギー準位しか持たない場合があります。

許容される波数のそれぞれに対応するエネルギーは、次のように表記されます。^[9]エネルギー レベルは とともに増加します。つまり、高エネルギー レベル同士の間隔は、低エネルギー レベル同士の間隔よりも大きくなります。粒子の可能な最低エネルギー（ゼロ点エネルギー）は状態 1 で見つかり、次のように与えられます。^{[10]したがって、粒子は常に正のエネルギーを持ちます。これは、粒子が動かずにゼロエネルギーになることがある古典的システムとは対照的です。これは}不確定性原理によって説明することができ、粒子の位置と運動量の不確定性の積は によって制限されると述べます。粒子の位置の不確定性は箱の幅に比例することが示されます。^[11] したがって、運動量の不確定性は箱の幅に反比例します。^[10]粒子の運動エネルギーはで与えられる ため、箱の中の粒子の最小運動エネルギーは質量と井戸幅の2乗に反比例し、上記の計算と定性的に一致する。^[10] $${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$ ${\displaystyle n^{2}}$ $${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$ ${\displaystyle E=p^{2}/(2m)}$

高次元ボックス

（超）長方形の壁

_{n x} =4、n _y =4の2次元井戸の波動関数

粒子が2次元の箱の中に閉じ込められている場合、粒子はそれぞれ長さ と で隔てられた障壁の間を 方向と 方向に自由に移動できます。中心にある箱の場合、位置波動関数は箱の長さを含めて と表すことができます。1次元の箱の場合と同様のアプローチを用いると、中心にある箱の波動関数とエネルギーはそれぞれ で与えられ、 2次元の波動ベクトルは で与えられる ことがわかります。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x,t,L)}$ $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),}$$ $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} .}$$

3 次元ボックスの場合、解は3 次元波数ベクトルが次のように与えられる場所です。 $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),}$$ $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}} .}$$

一般にn次元の箱の場合、解は $${\displaystyle \psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})}$$

n次元の運動量波動関数も同様に次のように表すことができ、 n次元の中心ボックスの運動量波動関数は次のようになります。 ${\displaystyle \phi _{n}(x,t,L_{x})}$ $${\displaystyle \phi =\prod _{i}\phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})}$$

上記の解法の興味深い特徴は、長さのうち2つ以上が同じ場合（例：）、同じ全エネルギーに対応する波動関数が複数存在することです。例えば、 の波動関数は、 の波動関数と同じエネルギーを持ちます。この状況は縮退と呼ばれ、縮退した波動関数がちょうど2つ同じエネルギーを持つ場合、そのエネルギーレベルは二重縮退していると言われます。縮退は、系の対称性から生じます。上記の例では、長さのうち2つが等しいため、系は90°回転に関して対称です。 ${\displaystyle L_{x}=L_{y}}$ ${\displaystyle n_{x}=2,n_{y}=1}$ ${\displaystyle n_{x}=1,n_{y}=2}$

より複雑な壁の形状

任意の形状の壁を持つ箱の中の量子力学的粒子の波動関数は、壁で波動関数が零になるという境界条件のもとで、ヘルムホルツ方程式で与えられる。これらの系は、対応する力学的ビリヤード台が非積分となる壁形状に対する量子カオスの分野で研究されている。

アプリケーション

箱の中の粒子モデルは数学的に単純であるため、2つの高電位障壁の間の狭い低電位領域に粒子が閉じ込められるような、より複雑な物理系の近似解を求めるのに用いられます。これらの量子井戸系は特にオプトエレクトロニクスにおいて重要であり、量子井戸レーザー、量子井戸赤外光検出器、量子閉じ込めシュタルク効果変調器などのデバイスに用いられます。また、クローニッヒ・ペニーモデルにおける格子のモデル化や、自由電子近似を用いた有限金属のモデル化にも用いられます。

共役ポリエン

β-カロテンは共役ポリエンである

共役ポリエン系は、箱の中の粒子を用いてモデル化することができる。^[12]共役電子系は、ポリエンの一方の末端からもう一方の末端までの全結合距離に等しい長さを持つ1次元の箱としてモデル化することができる。この場合、各π結合の各電子対は、それぞれのエネルギー準位に対応する。2つのエネルギー準位n _fとn _iのエネルギー差は、以下の通りである。 $${\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}}$$

基底状態エネルギーnと第一励起状態n+1の差は、系を励起するために必要なエネルギーに対応します。このエネルギーは特定の波長、つまり光の色を持ち、それらは以下の関係にあります。 $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}}$$

この現象の一般的な例はβ-カロテンである。^[要出典] β-カロテン (C ₄₀ H ₅₆ ) ^[13]は、オレンジ色の共役ポリエンであり、分子長は約 3.8 nm である（ただし、鎖長は約 2.4 nm に過ぎない）。^{[14] β-カロテンは}共役レベルが高いため、電子は分子の全長にわたって分散しており、箱に入った 1 次元の粒子としてモデル化することができる。β-カロテンには 11 個の炭素- 炭素二重結合が共役している。^{[13]これらの二重結合のそれぞれには 2 個の π 電子が含まれるため、β-カロテンには 22 個の π 電子がある。エネルギー準位ごとに電子が 2 個あるため、β-カロテンはエネルギー準位}n =11の箱に入った粒子として扱うことができる。^{[14]したがって、}電子を次のエネルギーレベルに励起するために必要な最小エネルギーはn = 12として次のように計算できる^[14]（電子の質量は9.109 × 10-31 kg [15] であること^を思い出す^）。 $${\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {(12^{2}-11^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658\times 10^{-19}{\text{ J}}}$$

前述の波長とエネルギーの関係を使用し、プランク定数 hと光速 cの両方を思い出してください。 $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}=0.00000084{\text{ m}}=840{\text{ nm}}}$$

これは、β-カロテンが主に赤外線スペクトルの光を吸収することを示しており、人間の目には白く見えるはずです。しかし、観測された波長は450 nmであり、^[16]箱の中の粒子はこの系の完全なモデルではないことを示しています。

量子井戸レーザー

箱の中の粒子モデルは、量子井戸レーザーに適用できます。量子井戸レーザーは、1つの半導体「井戸」材料を異なる材料の2つの半導体層で挟んだ構造のレーザーダイオードです。このサンドイッチ構造の層は非常に薄いため（中間層の厚さは通常約100Å）、量子閉じ込め効果が観測されます。^[17]量子効果を利用してより優れたレーザーダイオードを作製できるという考えは、1970年代に生まれました。量子井戸レーザーは、1976年にR. DingleとCH Henryによって特許を取得しました。^[18]

具体的には、量子井戸の挙動は有限井戸モデル内の粒子によって表すことができます。2つの境界条件を選択する必要があります。1つ目は、波動関数が連続していることです。多くの場合、2番目の境界条件は、波動関数の導関数が境界を越えて連続しているように選択されますが、量子井戸の場合は境界の両側で質量が異なります。代わりに、2番目の境界条件は、実験と一致して、粒子フラックスを として保存するように選択されます。箱の中の有限井戸粒子の解は数値的に解く必要があり、その結果、量子井戸内では正弦関数、障壁内では指数関数的に減衰する関数となる波動関数が得られます。^[19]この電子のエネルギー準位の量子化により、量子井戸レーザーは従来の半導体レーザーよりも効率的に光を放射することができます。 ${\displaystyle (1/m)d\phi /dz}$

量子ドットはサイズが小さいため、特定の半導体のバルク特性を示すのではなく、量子化されたエネルギー状態を示します。^[20]この効果は量子閉じ込めとして知られており、量子井戸レーザーなど、量子ドットの多くの応用につながっています。^[20]

プリンストン大学の研究者たちは最近、米粒ほどの大きさの量子井戸レーザーを開発しました。^[21]このレーザーは、2つの量子ドット（二重量子ドット）を通過する単一の電子によって駆動されます。電子はマイクロ波領域の光子を放出しながら、高エネルギー状態から低エネルギー状態へと遷移します。これらの光子は鏡で反射され、光線、すなわちレーザーを生成します。^[21]

量子井戸レーザーは、光と電子の相互作用に大きく依存しています。この関係は、ド・ブロイ波長や「箱の中の粒子」といった量子力学理論の重要な要素です。二重量子ドットを用いることで、科学者は電子の動きを完全に制御することができ、結果としてレーザービームを生成することができます。^[21]

量子ドット

量子ドットは極めて小さな半導体（ナノメートルスケール）である。^{[22]量子ドットは電子が「ドット」から脱出できないという}量子閉じ込め特性を示すため、箱の中の粒子の近似が適用できる。^[23]量子ドットの挙動は、箱の中の粒子の3次元エネルギー量子化方程式によって記述できる。^[23]

量子ドットのエネルギーギャップとは、価電子帯と伝導帯の間のエネルギーギャップのことである。このエネルギーギャップは、バルク物質のギャップに、電子と正孔のエネルギーを与える「箱の中の粒子」のエネルギー方程式を加えたものに等しい。^[23]これは次の式で示される。ここで、とは電子と正孔の有効質量、はドットの半径、はプランク定数である。^[23] ${\displaystyle \Delta E(r)}$ ${\displaystyle E_{\text{gap}}}$ ${\displaystyle m_{e}^{*}}$ ${\displaystyle m_{h}^{*}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle \Delta E(r)=E_{\text{gap}}+\left({\frac {h^{2}}{8r^{2}}}\right)\left({\frac {1}{m_{e}^{*}}}+{\frac {1}{m_{h}^{*}}}\right)}$$

したがって、量子ドットのエネルギーギャップは「箱の長さ」、つまり量子ドットの半径の2乗に反比例する。^[23]

エネルギーは波長に反比例するため、バンドギャップを操作することで特定の波長の光の吸収と放出が可能になります。^[22]量子ドットが小さいほどバンドギャップは大きくなり、吸収される波長は短くなります。^{[22] [24]}

異なるサイズの量子ドットを合成するためには、異なる半導体材料が使用され、異なる波長の光を放射します。^[24]通常、可視領域の光を放射する材料がしばしば使用され、そのサイズは特定の色を放射するように微調整されます。^[22]量子ドットの合成に使用される典型的な物質は、カドミウム（Cd）とセレン（Se）です。^{[22] [24]}例えば、2ナノメートルのCdSe量子ドットの電子が励起後に緩和すると、青色光が放射されます。同様に、4ナノメートルのCdSe量子ドットでは赤色光が放射されます。^{[25] [22]}

量子ドットには、蛍光色素、トランジスタ、LED、太陽電池、光プローブによる医療用画像など、さまざまな機能があります。 ^{[22] [23]}

量子ドットの機能の一つは、リンパ節マッピングへの応用です。これは、量子ドットが近赤外線（NIR）領域で光を発する独自の能力によって可能となります。リンパ節マッピングにより、外科医は癌細胞の存在の有無や場所を追跡することができます。^[26]

量子ドットは、他の物質よりも明るい光を放出し、多様な波長で励起され、光に対する耐性が高いため、これらの機能に役立ちます。^{[26] [22]}

参照

• ブロッホの定理
• 配置積分（統計力学）
• デルタ関数ポテンシャル
• 有限ポテンシャル井戸
• 箱入りガス
• 量子力学の歴史
• リング内の粒子
• 球対称ポテンシャル内の粒​​子
• 量子調和振動子
• 長方形のポテンシャル障壁
• 半円型ポテンシャル井戸

参考文献

1. デイヴィス、p.4
2. 実際には、ボックス内に任意の定数、有限のポテンシャルを指定できます。これは単に状態のエネルギーを だけシフトさせるだけです。 ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$
3. デイヴィス、1ページ
4. ブランズデンとジョアチェーン、p. 157
5. コーエン＝タンヌージ、ディウ＆ラロエ、2019年、p. 271.
6. ブランスデンとジョアチェイン、158ページ
7. Alberto, P; Fiolhais, C; Gil, VMS (1996). 「箱の中の相対論的粒子」(PDF) . European Journal of Physics . 17 (1): 19– 24. Bibcode :1996EJPh...17...19A. doi :10.1088/0143-0807/17/1/004. hdl : 10316/12349 . S2CID  250895519.
8. Majernik, Vladimir; Richterek, Lukas (1997-12-01). 「無限井戸におけるエントロピー的不確実性関係」J. Phys. A . 30 (4): L49. Bibcode :1997JPhA...30L..49M. doi :10.1088/0305-4470/30/4/002 . 2016年2月11日閲覧。
9. ホール2013、81ページ。
10. ブランスデンとジョアチェイン、159ページ
11. デイヴィス、15ページ
12. Autschbach, Jochen (2007年11月). 「なぜParticle-in-a-Boxモデルはシアニン色素には有効だが共役ポリエンには有効ではないのか」 . Journal of Chemical Education . 84 (11): 1840. doi :10.1021/ed084p1840. ISSN  0021-9584.
13. Pubchem. 「ベータカロテン | C40H56 – PubChem」. pubchem.ncbi.nlm.nih.gov . 2016年11月10日閲覧。
14. Sathish, RK; Sidharthan, PV; Udayanandan, KM「Particle in a Box- A Treasure Island for Undergraduates」。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
15. PJ Mohr、BN Taylor、D.B. Newell、「2014年 CODATA 基本物理定数推奨値」。このデータベースは、J. Baker、M. Douma、S. Kotochigovaによって開発されました。[1] 国立標準技術研究所（NIST）、メリーランド州ゲイサーズバーグ 20899。
16. β-カロテン http://www.sigmaaldrich.com/catalog/product/aldrich/855553?lang=en®ion=us (2016年11月8日アクセス).
17. ゾリー、ピーター（1993年）『量子井戸レーザー』サンディエゴ：アカデミック・プレス・アンリミテッド。
18. 米国特許第3,982,207号、1976年9月21日発行、発明者R. DingleおよびCH Henry、「ヘテロ構造レーザーにおける量子効果」、1975年3月7日出願。
19. ミラー、デイヴィッド (1995). バースタイン、エリアス; ワイスブック、クロード (編).閉じ込められた電子と光子：新しい物理学と応用. ニューヨーク: プレナム・プレス. pp.  675– 702.
20. Miessler, GL (2013).無機化学（第5版）. ボストン: ピアソン. pp.  235– 236. ISBN 978-0321811059。
21. ザンドネッラ、キャサリン. 「米粒大のレーザー、電子1個ずつ駆動、量子コンピューティングに好材料」.プリンストン大学. 2016年11月8日閲覧。
22. Rice, CV; Griffin, GA (2008). 「CdSe量子ドットの簡易合成」 . Journal of Chemical Education . 85 (6): 842. Bibcode :2008JChEd..85..842R. doi :10.1021/ed085p842 . 2016年11月5日閲覧。
23. 「量子ドット：真の『箱の中の粒子』システム」PhysicsOpenLab 2015年11月20日. 2016年11月5日閲覧。
24. Overney, René M. 「量子閉じ込め」（PDF） . ワシントン大学. 2016年12月2日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2016年11月5日閲覧。
25. Zahn, Dietrich RT「ラマン分光法による半導体量子ドットの表面および界面特性」（PDF） 。ケムニッツ工科大学。 2016年12月1日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2016年11月5日閲覧。
26. Bentolila, Laurent A.; Ebenstein, Yuval (2009). 「量子ドットを用いた生体内小動物イメージング」. Journal of Nuclear Medicine . 50 (4): 493– 496. doi :10.2967/jnumed.108.053561. PMC 3081879. PMID  19289434 . 

参考文献

• ブランスデン, BH; ジョアチェイン, CJ (2000).量子力学（第2版）. エセックス: ピアソン・エデュケーション. ISBN 978-0-582-35691-7。
• コーエン・タンヌージ、クロード。ディウ、バーナード。フランク・ラロエ（2019）。量子力学、第 1 巻。ワインハイム：ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 978-3-527-34553-3。
• デイヴィス、ジョン・H. (2006). 『低次元半導体の物理学：入門』（第6版）ケンブリッジ大学出版局.
• Hall, BC (2013). 『数学者のための量子論』. 大学院数学テキスト. 第267巻. Springer.書誌コード:2013qtm..book.....H. ISBN 978-1461471158。
• グリフィス、デイヴィッド・J. (2004). 『量子力学入門（第2版）』 プレンティス・ホール出版. ISBN 978-0-13-111892-8。

外部リンク

• 配置積分（統計力学）、2008 年。この wiki サイトはダウンしています。2012 年 4 月 28 日の Web アーカイブにあるこの記事を参照してください。

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