粒子数演算子

量子力学では、粒子の総数が保存されない可能性があるシステムの場合、数演算子は粒子の数を数える観測可能なものになります。

以下はブラケット記法で表すと次のようになる：数演算子はフォック空間に作用する。

$|\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }$

フォック空間の基礎ヒルベルト空間の基底から抽出された一粒子状態からなるフォック状態とする。対応する生成消滅演算子および消滅演算子が与えられれば、数演算子を次のように定義する。 $|\phi _{i}\rangle$ $a^{\dagger }(\phi _{i})$ $a(\phi _{i})\,$

${\hat {N_{i}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})$

そして私たちは

${\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }$

ここでは状態にある粒子の数である。上記の等式は、次の式を用いることで証明できる。 $N_{i}$ $|\phi _{i}\rangle$ ${\begin{matrix}a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{matrix}}$ ${\begin{array}{rcl}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }&=&a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\dagger }(\phi _{i})\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&{\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\[1ex]\end{array}}$

参照

参考文献

ブルース、ヘンリック、フレンスバーグ、カーステン (2004). 『凝縮系物理学における多体量子論：入門』オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-856633-6。
フラドキンによる第二量子化ノート