Integration over the space of functions
関数積分とは、 積分 の領域が もはや通常の空間領域ではなく、 関数の空間となる 数学 と 物理学 における一連の結果である 。関数積分は、 確率、 偏微分方程式 の研究 、そして粒子と場の 量子力学 における 経路積分の定式化 に現れる。この用語は通常の積分の拡張を示唆するが、無限次元空間には並進不変測度が存在しないため、関数積分はより微妙な方法で定義するか、形式的に解釈する必要がある。
通常の積分（ルベーグ積分 の意味で ）では、積分対象となる関数（被積分関数）と、その関数を積分する空間領域（積分領域）が存在します。積分は、領域を小さな部分に分割し、各部分で関数を評価し、その結果を加算することで得られる和の極限を表します。各小さな領域では、被積分関数の値はあまり変化しないため、単一の値に置き換えることができます。関数積分では、積分領域は関数の空間です。各関数について、被積分関数は加算すべき値を返します。この手順を厳密にすることは、現在もなお研究されている課題です。
関数積分は、 パーシー・ジョン・ダニエル が1919年の論文 [1] で、また ノーバート・ウィーナーが1921年の ブラウン運動 に関する論文に至る一連の研究で開発した。彼らは 、粒子のランダムな経路に確率を割り当てる 厳密な方法（現在では ウィーナー測度として知られている）を開発した。 リチャード・ファインマンは 、システムの量子特性を計算するのに役立つ別の関数積分である経路 積分 を開発した。ファインマンの経路積分では、粒子の唯一の軌道という古典的な概念が、それぞれの古典的な特性に応じて異なる重みを持つ古典的な経路の無限和に置き換えられている。
関数積分は理論物理学における量子化技術の中心です。関数積分の代数的性質は、量子電磁力学 や素粒子物理学の 標準模型 における特性を計算するための級数を開発するために用いられます 。
機能統合 標準的な リーマン積分は 関数 f ( x ) を x の連続範囲にわたって積分するのに対し 、関数積分は 関数 G [ f ] を積分する。これは関数 f の連続範囲（または空間）にわたる「関数の関数」と考えることができる。ほとんどの関数積分は厳密に評価することはできず、 摂動法 を用いて評価する必要がある 。関数積分の正式な定義は以下の通りである。 ∫ G [ f ] D [ f ] ≡ ∫ R ⋯ ∫ R G [ f ] ∏ x d f ( x ) . {\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G[f]\prod _{x}df(x)\;.}
しかし、ほとんどの場合、関数 f ( x )は、のような 直交関数 の無限級数で表すことができ 、その場合の定義は次のようになる。 f ( x ) = f n H n ( x ) {\displaystyle f(x)=f_{n}H_{n}(x)} ∫ G [ f ] D [ f ] ≡ ∫ R ⋯ ∫ R G ( f 1 ; f 2 ; … ) ∏ n d f n , {\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G(f_{1};f_{2};\ldots )\prod _{n}df_{n}\;,}
少し分かりやすくなりました。積分は、大文字の関数積分として示されます。 関数積分測度における関数の関数従属を示すために、 引数が角括弧で囲まれることもあります。 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} D [ f ] {\displaystyle {\mathcal {D}}[f]}
例 ほとんどの関数積分は実際には無限大ですが、関連する2つの関数積分の 商 の極限は有限であることがよくあります。厳密に評価できる関数積分は、通常、次の ガウス積分 から始まります。
∫ exp { − 1 2 ∫ R [ ∫ R f ( x ) K ( x ; y ) f ( y ) d y + J ( x ) f ( x ) ] d x } D [ f ] ∫ exp { − 1 2 ∫ R 2 f ( x ) K ( x ; y ) f ( y ) d x d y } D [ f ] = exp { 1 2 ∫ R 2 J ( x ) ⋅ K − 1 ( x ; y ) ⋅ J ( y ) d x d y } , {\displaystyle {\frac {\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)\cdot K^{-1}(x;y)\cdot J(y)\,dx\,dy\right\rbrace \,,} ここで。これを J ( x )に関して関数微分し、 0 とおくと、これは f の単項式に指数関数を乗じた形になります 。これを理解するために、次の表記法を用いましょう。 K ( x ; y ) = K ( y ; x ) {\displaystyle K(x;y)=K(y;x)}
G [ f , J ] = − 1 2 ∫ R [ ∫ R f ( x ) K ( x ; y ) f ( y ) d y + J ( x ) f ( x ) ] d x , W [ J ] = ∫ exp { G [ f , J ] } D [ f ] . {\displaystyle G[f,J]=-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\,\quad ,\quad W[J]=\int \exp \lbrace G[f,J]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;.}
この表記法を用いると、最初の方程式は次のように書けます。
W [ J ] W [ 0 ] = exp { 1 2 ∫ R 2 J ( x ) K − 1 ( x ; y ) J ( y ) d x d y } . {\displaystyle {\dfrac {W[J]}{W[0]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)K^{-1}(x;y)J(y)\,dx\,dy\right\rbrace .}
ここで、 の定義に関数微分をとって 、 において評価すると 、次式が得られます。 W [ J ] {\displaystyle W[J]} J = 0 {\displaystyle J=0}
δ δ J ( a ) W [ J ] | J = 0 = ∫ f ( a ) exp { G [ f , 0 ] } D [ f ] , {\displaystyle {\dfrac {\delta }{\delta J(a)}}W[J]{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}
δ 2 W [ J ] δ J ( a ) δ J ( b ) | J = 0 = ∫ f ( a ) f ( b ) exp { G [ f , 0 ] } D [ f ] , {\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(a)\delta J(b)}}{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)f(b)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}
⋮ {\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots }
これは予想通りの結果です。さらに、最初の式を用いることで、次のような有用な結果が得られます。
δ 2 δ J ( a ) δ J ( b ) ( W [ J ] W [ 0 ] ) | J = 0 = K − 1 ( a ; b ) ; {\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}}{\delta J(a)\delta J(b)}}\left({\dfrac {W[J]}{W[0]}}\right){\Bigg |}_{J=0}=K^{-1}(a;b)\;;} これらの結果をまとめ、元の表記に戻すと次のようになります。
∫ f ( a ) f ( b ) exp { − 1 2 ∫ R 2 f ( x ) K ( x ; y ) f ( y ) d x d y } D [ f ] ∫ exp { − 1 2 ∫ R 2 f ( x ) K ( x ; y ) f ( y ) d x d y } D [ f ] = K − 1 ( a ; b ) . {\displaystyle {\frac {\displaystyle \int f(a)f(b)\exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=K^{-1}(a;b)\,.}
もう一つの便利な積分は関数 デルタ関数 です。
∫ exp { ∫ R f ( x ) g ( x ) d x } D [ f ] = δ [ g ] = ∏ x δ ( g ( x ) ) , {\displaystyle \int \exp \left\lbrace \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},} これは制約条件を指定するのに役立ちます。また、関数積分はグラスマン値 関数（ ） 上でも実行でき 、これは量子電磁力学において フェルミオン を 含む計算に役立ちます 。 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} ψ ( x ) ψ ( y ) = − ψ ( y ) ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)}
経路積分へのアプローチ 積分空間が経路（ ν = 1）で構成される関数積分は、様々な方法で定義できます。定義は2つの異なるクラスに分類されます。 ウィーナー理論から導かれる構成は 測度 に基づく積分を与えます が、ファインマンの経路積分に従う構成は測度に基づく積分を与えません。これらの2つの大まかな分類内においても、積分は同一ではありません。つまり、異なる関数のクラスに対しては異なる定義が行われます。
ウィーナー積分 ウィーナー積分 において、 ブラウン運動の 経路のクラスに確率が割り当てられる 。このクラスは、与えられた時間に空間の小さな領域を通過することが知られている経路 w から構成される。異なる空間領域を通過する経路は互いに独立であると仮定され、ブラウン運動の経路上の任意の2点間の距離は、 時間 t と拡散定数 D に依存する分散を持つ ガウス分布 に 従うと仮定される。
Pr ( w ( s + t ) , t ∣ w ( s ) , s ) = 1 2 π D t exp ( − ‖ w ( s + t ) − w ( s ) ‖ 2 2 D t ) . {\displaystyle \Pr {\big (}w(s+t),t\mid w(s),s{\big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {\|w(s+t)-w(s)\|^{2}}{2Dt}}\right).} 経路のクラスの確率は、ある領域から出発して次の領域に到達する確率を掛け合わせることで求めることができます。ウィーナー測度は、多数の小さな領域の極限を考慮することで構築できます。
ファインマン積分 トロッターの公式、または リー積の公式 。 ウィック回転の Kac のアイデア。 x-dot-dot-squared または i S[x] + x-dot-squared を使用します。 カルティエ・デウィット・モレットは尺度ではなく積分器に依存している
レヴィ積分 分数量子力学 分数シュレーディンガー方程式 レヴィ過程 分数統計力学
参照
参考文献 ^ ダニエル, PJ (1919年7月). 「無限次元における積分」. 『数学年報 』第2集. 20 (4): 281– 288. doi :10.2307/1967122. JSTOR 1967122.
さらに読む Jean Zinn-Justin (2009)、Scholarpedia 4(2):8674。 Kleinert, Hagen , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004); Paperback ISBN 981-238-107-4 (also available online: PDF-files) Laskin, Nick (2000). "Fractional quantum mechanics". Physical Review E . 62 (3): 3135– 3145. arXiv :0811.1769 . Bibcode :2000PhRvE..62.3135L. doi :10.1103/PhysRevE.62.3135. PMID 11088808. S2CID 15480739. Laskin, Nick (2002). "Fractional Schrödinger equation". Physical Review E . 66 (5) 056108. arXiv :quant-ph/0206098 . Bibcode :2002PhRvE..66e6108L. doi :10.1103/PhysRevE.66.056108. PMID 12513557. S2CID 7520956. Minlos, R. A. (2001) [1994], "Integral over trajectories", Encyclopedia of Mathematics EMS Press O. G. Smolyanov, E. T. Shavgulidze. Continual integrals . Moscow, Moscow State University Press, 1990. (in Russian). http://lib.mexmat.ru/books/5132 Victor Popov , Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics, Springer 1983Sergio Albeverio , Sonia Mazzucchi, A unified approach to infinite-dimensional integration, Reviews in Mathematical Physics, 28, 1650005 (2016)Klauder, John . "Lectures on Functional Integration." University of Florida. Archived on July 8th, 2024.![{\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G[f]\prod _{x}df(x)\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98896b3a405a434f0bee0209d902bc494d98e767)
![{\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G(f_{1};f_{2};\ldots )\prod _{n}df_{n}\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9478835916656a4fca4083dd1c94cc79e9b1724)
![{\displaystyle {\mathcal {D}}[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2011bb58d335a173e137b8ab0ea6d712915af39)
![{\displaystyle {\frac {\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)\cdot K^{-1}(x;y)\cdot J(y)\,dx\,dy\right\rbrace \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e84b5e590181838f5dc77809e9c36c8a9bb98a2)
![{\displaystyle G[f,J]=-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\,\quad ,\quad W[J]=\int \exp \lbrace G[f,J]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3250c38a2dbf325177e93e266da0b4903c8ef3a)
![{\displaystyle {\dfrac {W[J]}{W[0]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)K^{-1}(x;y)J(y)\,dx\,dy\right\rbrace .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1e44f6afd739751867dcace98340f4a7d3bce2)
![{\displaystyle W[J]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ebdc65f8e1fc5204380a81951ea53868aca978)
![{\displaystyle {\dfrac {\delta }{\delta J(a)}}W[J]{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5683a8e9beebd4760e385930195974844feb72)
![{\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(a)\delta J(b)}}{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)f(b)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f266d3a38180e28f148c61150a391f56df677b15)
![{\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}}{\delta J(a)\delta J(b)}}\left({\dfrac {W[J]}{W[0]}}\right){\Bigg |}_{J=0}=K^{-1}(a;b)\;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc48127d61d29e93f3e4c1cd51992459dadbeced)
![{\displaystyle \int \exp \left\lbrace \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d31aaa6c9f8d92eb119a39321eb6ac89ccb9f9)
