パターソン関数

パターソン関数は、 X線結晶構造解析における位相問題を解くために用いられる。1935年、 MITのバートラム・ユージン・ウォーレン研究室に客員研究員として在籍していたアーサー・リンド・パターソンによって導入された。^{[1] [2]}

パターソン関数は次のように定義される。

$${\displaystyle P(u,v,w)=\sum _{h,k,\ell \in \mathbb {Z} }\left|F_{h,k,\ell }\right|^{2}\;e^{-2\pi i(hu+kv+\ell w)}.}$$

これは本質的には構造因子ではなく強度のフーリエ変換である。パターソン関数は、電子密度とその逆関数の畳み込みにも等しい。

${\displaystyle P\left({\vec {u}}\right)=\rho \left({\vec {r}}\right)*\rho \left(-{\vec {r}}\right).}$

さらに、 N点のパターソンマップには、中心（原点）のピークと重なりを除いて、 N（N −1）個のピークがあります。

パターソン関数におけるピークの位置は原子間距離ベクトルであり、ピークの高さは関係する原子の電子数の積に比例します。

原子iとjの間の各ベクトルには、同じ長さの反対向きのベクトル (原子jとiの間) が存在するため、パターソン関数は常に中心対称性を持ちます。

1次元の例

次式で表されるデルタ関数の級数を考える。

${\displaystyle f(x)=\delta (x)+3\delta (x-2)+\delta (x-5)+3\delta (x-8)+5\delta (x-10).\,}$

パターソン関数は、次のデルタ関数と単位ステップ関数の系列によって与えられる^{[説明が必要]。}

${\displaystyle {\begin{aligned}P(u)={}&5\delta (u+10)+18\delta (u+8)+9\delta (u+6)+6\delta (u+5)+6\delta (u+3)\\&+18\delta (u+2)+45\delta (u)+18\delta (u-2)+6\delta (u-3)+6\delta (u-5)\\&+9\delta (u-6)+18\delta (u-8)+5\delta (u-10).\end{aligned}}}$

参考文献

1. Patterson, AL (1934-09-01). 「結晶中の原子間距離成分の決定のためのフーリエ級数法」 . Physical Review . 46 (5): 372– 376. Bibcode :1934PhRv...46..372P. doi :10.1103/PhysRev.46.372. ISSN  0031-899X.
2. アラバマ州パターソン (1935)。 「結晶中の原子間距離の成分を決定する直接的な方法」。結晶写真の時代。90 ( 1–6 ): 517.土井:10.1524/zkri.1935.90.1.517。S2CID  102041995。

外部リンク

• 「構造解析。パターソン関数とパターソン法」

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