パウリ方程式

Quantum mechanical equation of motion of charged particles in magnetic field

量子力学において、パウリ方程式またはシュレーディンガー・パウリ方程式は、スピン1/2粒子に対するシュレーディンガー方程式の定式化であり、粒子のスピンと外部電磁場との相互作用を考慮に入れています。これはディラック方程式の非相対論的極限であり、粒子が光速よりもはるかに遅い速度で運動している場合に使用でき、相対論的効果を無視できます。これは1927年にヴォルフガング・パウリによって定式化されました。 ^[1]線形化された形式では、レヴィ・ルブロンド方程式として知られています。

方程式

磁気ベクトルポテンシャルと電気スカラーポテンシャルによって記述される電磁場における質量と電荷の粒子の場合、パウリの方程式は次のようになります。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$

パウリ方程式 （一般）

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

ここでは便宜上、 パウリ演算子をベクトルにまとめています。は位置表現における運動量演算子です。系の状態（ディラック記法で表記）は、2成分スピノル波動関数、または（基底を選択した後は）列ベクトルとして考えることができます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|{\mathord {\uparrow }}\rangle +\psi _{-}|{\mathord {\downarrow }}\rangle \,{\stackrel {\cdot }{=}}\,{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}$。

ハミルトニアン演算子は、パウリ演算子のため 2 × 2 行列です。

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi }$

シュレーディンガー方程式に代入すると、パウリ方程式が得られます。このハミルトニアンは、電磁場と相互作用する荷電粒子の古典ハミルトニアンに似ています。この古典的ケースの詳細については、ローレンツ力を参照してください。電磁場がない場合の自由粒子の運動エネルギー項は 、運動量 であるのに対し、電磁場がある場合には最小結合となり、運動量、正準運動量となります。 ${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

パウリ演算子は、パウリベクトル恒等式を使用して運動エネルギー項から除去できます。

${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}$

ベクトルとは異なり、微分演算子は自身とのクロス積が非零であることに注意してください。これは、スカラー関数にクロス積を適用した場合を考えればわかります。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi &=-q\left[\mathbf {\hat {p}} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {\hat {p}} \psi \right)\right]\\&=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]\\&=iq\hbar \left[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi \end{aligned}}}$

磁場はどこにありますか。 ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

完全なパウリ方程式については、^[2]

パウリ方程式 （標準形）

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

これについては、例えば均一磁場でのランダウ量子化や、理想化されたクーロン状の不均一磁場での解析的な結果がわずかしか知られていない。 ^[3]

弱い磁場

磁場が一定かつ均一な場合、 対称ゲージを用いて展開することができる。ここでは位置演算子であり、A は演算子である。したがって、 ${\textstyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )^{2}}$ ${\textstyle \mathbf {\hat {A}} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} }$ ${\textstyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {\hat {A}} )^{2}=|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {p}} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^{2}|\mathbf {\hat {r}} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {r}} |^{2}\right)\approx \mathbf {\hat {p}} ^{2}-q\mathbf {\hat {L}} \cdot \mathbf {B} \,,}$

ここでは粒子の角運動量演算子であり、磁場の2乗項は無視した。したがって、 ${\textstyle \mathbf {\hat {L}} }$ ${\textstyle B^{2}}$

パウリ方程式 （弱い磁場）

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left[|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {L}} +2\mathbf {\hat {S}} )\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

ここで は粒子のスピンです。スピンの前にある係数 2 はディラックのg因子として知られています。 における項 は、磁気モーメントと磁場の間の通常の相互作用の形をとり、ゼーマン効果に似ています。 ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$ ${\textstyle \mathbf {B} }$ ${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$

等方性定常磁場中の電荷を持つ電子の場合、全角運動量とウィグナー・エッカートの定理を用いて式をさらに簡約することができる。したがって、 ${\textstyle -e}$ ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$

${\displaystyle \left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

ここではボーア磁子、はに関連する磁気量子数である。この項はランデg因子として知られ、次のように与えられる。 ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}$ ${\textstyle m_{j}}$ ${\textstyle \mathbf {J} }$ ${\textstyle g_{J}}$

${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac {3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},}$^[あ]

ここで、は に関連する軌道量子数であり、は に関連する全軌道量子数です。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J^{2}}$

ディラック方程式より

パウリ方程式は、スピン1/2粒子の相対論的量子運動方程式であるディラック方程式の非相対論的極限から推論することができる。 ^[4]

導出

ディラック方程式は次のように書きます。 $${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}+mc^{2}\,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{pmatrix}},}$$

ここで、 とは2成分スピノルであり、ビスピノルを形成します。 ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$

次の仮定を用いると、 2つの新しいスピノルを用いると、方程式は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=e^{-i{\tfrac {mc^{2}t}{\hbar }}}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \psi ,\chi }$ $${\displaystyle i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{pmatrix}}.}$$

非相対論的極限では、運動エネルギーと静電エネルギーは静止エネルギーに対して小さくなり、レヴィ・ルブロン方程式が成立する。^[5]したがって ${\displaystyle \partial _{t}\chi }$ ${\displaystyle mc^{2}}$ $${\displaystyle \chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.}$$

ディラック方程式の上側要素に挿入すると、パウリ方程式（一般形）が得られます。 $${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .}$$

フォルディ・ウトホイゼン変換から

パウリ方程式の厳密な導出は、外場におけるディラック方程式から、次数までの項を考慮した フォルディ・ウートハイゼン変換^[4]を実行することで得られる。同様に、パウリ方程式に対する高次の補正は、次数まで展開することで、スピン軌道相互作用項とダーウィン相互作用項を生じさせることで決定することができる。^[6] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/mc)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/(mc)^{2})}$

パウリカップリング

パウリ方程式は、 g因子g =2を与える最小結合を要求することによって導出される。ほとんどの素粒子は、2とは異なる異常なg因子を持つ。相対論的量子場理論の領域では、異常因子を付加するために、パウリ結合と呼ばれる非最小結合が定義される。

${\displaystyle \gamma ^{\mu }p_{\mu }\to \gamma ^{\mu }p_{\mu }-q\gamma ^{\mu }A_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

ここで、 は4元運動量演算子、は電磁4元ポテンシャル、は異常磁気双極子モーメントに比例し、は電磁テンソル、 はローレンツスピン行列とガンマ行列の交換子です。^{[7] [8]非相対論的量子力学の文脈では、シュレーディンガー方程式を扱う代わりに、パウリ結合は任意の}g因子に対してパウリ方程式を使用する（またはゼーマンエネルギーを仮定する）ことと同等です。 ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$ ${\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

参照

• 半古典物理学
• 原子・分子・光物理学
• グループの縮小
• ゴードン分解

脚注

1. ここで用いられている式は、スピン1/2、 g因子、軌道g因子を持つ粒子に対するものです。より一般的には、スピン量子数はと関係があります。 ${\textstyle g_{S}=2}$ ${\textstyle g_{L}=1}$ ${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {m_{s}(m_{s}+1)-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}}.}$ ${\displaystyle m_{s}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$

参考文献

1. パウリ、ヴォルフガング(1927)。「磁気電子の量子機械」。Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。43 ( 9–10 ): 601–623。Bibcode :1927ZPhy...43..601P。土井：10.1007/BF01397326。ISSN  0044-3328。S2CID  128228729。
2. ブランスデン, BH; ジョアチェイン, CJ (1983). 『原子と分子の物理学』（第1版）. プレンティス・ホール. p. 638. ISBN 0-582-44401-2。
3. Sidler, Dominik; Rokaj, Vasil; Ruggenthaler, Michael; Rubio, Angel (2022-10-26). 「不均一磁場下の2次元電子ガスにおける歪んだランダウ準位とホール位相のクラス」. Physical Review Research . 4 (4) 043059. Bibcode :2022PhRvR...4d3059S. doi :10.1103/PhysRevResearch.4.043059. hdl : 10810/58724 . ISSN  2643-1564. S2CID  253175195.
4. Greiner, Walter (2012-12-06). 相対論的量子力学：波動方程式. Springer. ISBN 978-3-642-88082-7。
5. グレイナー、ウォルター（2000年10月4日）『量子力学入門』シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、ISBN 978-3-540-67458-0。
6. Fröhlich, Jürg; Studer, Urban M. (1993-07-01). 「非相対論的多体理論におけるゲージ不変性とカレント代数」 . Reviews of Modern Physics . 65 (3): 733– 802. Bibcode :1993RvMP...65..733F. doi :10.1103/RevModPhys.65.733. ISSN  0034-6861.
7. ダス、アショク（2008年）『場の量子論講義』ワールドサイエンティフィック社、ISBN 978-981-283-287-0。
8. Barut, AO; McEwan, J. (1986年1月). 「スピンゲージ不変性によるパウリ結合を持つ質量ゼロニュートリノの4つの状態」 . Letters in Mathematical Physics . 11 (1): 67– 72. Bibcode :1986LMaPh..11...67B. doi :10.1007/BF00417466. ISSN  0377-9017. S2CID  120901078.

本

• シュヴァーブル、フランツ (2004)。クォンテンメカニック I。スプリンガー。ISBN 978-3-540-43106-0。
• シュヴァーブル、フランツ (2005)。Fortgeschrittene のための Quantenmechanik。スプリンガー。ISBN 978-3-540-25904-6。
• クロード・コーエン＝タンヌージ。バーナード・ディウ;フランク・ラロー (2006)。量子力学 ２．ワイリー、J. ISBN 978-0-471-56952-7。

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