16要素行列群
メビウス ・カントールグラフ 、生成元 x 、 y 、 z を持つパウリ群の ケーリーグラフ 物理学 と 数学 において 、 パウリ群は 16 要素の 行列群 です。
マトリックスグループ パウリ群は2×2 単位行列 とすべての パウリ行列から構成される。 私 {\displaystyle I}
X ＝ σ 1 ＝ （ 0 1 1 0 ） 、 はい ＝ σ 2 ＝ （ 0 − 私 私 0 ） 、 Z ＝ σ 3 ＝ （ 1 0 0 − 1 ） {\displaystyle X=\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad Y=\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad Z=\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}} 、 これらの行列と因子およびの積を併せて計算する と 、 ± 1 {\displaystyle \pm 1} ± 私 {\displaystyle \pm i}
G ＝ d e f { ± 私 、 ± 私 私 、 ± X 、 ± 私 X 、 ± はい 、 ± 私 はい 、 ± Z 、 ± 私 Z } ≡ ⟨ X 、 はい 、 Z ⟩ {\displaystyle G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{\pm I,\pm iI,\pm X,\pm iX,\pm Y,\pm iY,\pm Z,\pm iZ\}\equiv \langle X,Y,Z\rangle } 。 パウリ群は パウリ行列によって 生成され、パウリ行列と同様に、 ヴォルフガング・パウリ にちなんで名付けられています。
抽象群としては、位数4の 巡回群 と 位数8の 二面体群 の 中心積 である。 [1] G ≅ C 4 ∘ D 4 {\displaystyle G\ \cong C_{4}\circ D_{4}}
パウリ群は、 ガンマ群 を 3次元ユークリッド空間に 表現したものである。ガンマ群とは同型で はない 。パウリ群のカイラル元はガンマ群と同型であるのに対し、パウリ群のカイラル元はガンマ群にはそのような関係がないため 、パウリ群はそれほど自由ではない。 σ 1 σ 2 σ 3 ＝ 私 私 {\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=iI}
パウリ代数 パウリ 代数は 、 2 x 2複素行列M(2, C )の 代数 であり、行列の加法と 乗法を伴います 。その歴史は、 WRハミルトン が 著書『四元数講義』 （1853年）で導入した 双四元数 に始まります。行列による表現は、 LEディクソン によって1914年に指摘されました。 [2] パウリの著作が、最終的に現在使用されている パウリ代数の名称 につながりました。この代数の 基底 元はパウリ群を生成します。
量子コンピューティング 量子コンピューティングは量子ビット に基づいています。 量子ビット 上のパウリ群は、 テンソル積 ヒルベルト空間 の各量子ビット に上記の演算子を適用することで生成される群です 。つまり、 n {\displaystyle n} G n {\displaystyle G_{n}} n {\displaystyle n} （ C 2 ） ⊗ n {\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes n}}
G n ＝ ⟨ W 1 ⊗ ⋯ ⊗ W n : W 私 ∈ { 私 、 X 、 はい 、 Z } ⟩ 。 {\displaystyle G_{n}=\langle W_{1}\otimes \cdots \otimes W_{n}:W_{i}\in \{I,X,Y,Z\}\rangle .}
の 順序 は 、任意のテンソル位置にあるスカラー または 因子を他の任意の位置に移動できる
ため です。 G n {\displaystyle G_{n}} 4 ⋅ 4 n {\displaystyle 4\cdot 4^{n}} ± 1 {\displaystyle \pm 1} ± 私 {\displaystyle \pm i}
参考文献
外部リンク ^ GroupNames の Pauli グループ ^ LE Dickson (1914) 線形代数 、13、4 ページ 2. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9807006
