ペンローズのグラフィカル記法

Graphical notation for multilinear algebra calculations

5つの粒子の行列積状態のペンローズグラフィカル表記（テンソル図表記）

数学と物理学において、ペンローズグラフィカル表記法またはテンソル図表記法は、 1971年にロジャー・ペンローズによって提案された多重線形関数またはテンソルの（通常は手書きの）視覚的表現である。 ^[1]この表記法の図は、線で結ばれた複数の図形で構成される。

この表記法は現代の量子論、特に行列積状態と量子回路において広く用いられている。特に、圏論的量子力学（ ZX計算を含む）は、ペンローズ図を用いて量子論を完全に包括的に再定式化したものである。

この表記法はプレドラグ・ツヴィタノヴィッチによって広く研究されており、彼はこれをファインマンの図やその他の関連表記法とともに、群論的な図である「バードトラック」の開発に使用して、古典的なリー群を分類しました。^[2]ペンローズの表記法は、表現論を使用して物理学におけるスピンネットワークに、また行列群の存在を利用して線型代数における図をトレースするためにも一般化されています。

解釈

多重線型代数

多重線型代数の言語では、それぞれの図形は多重線型関数を表します。図形に付けられた線は関数の入力または出力を表し、何らかの方法で図形を結びつけることは、本質的に関数の合成です

テンソル

テンソル代数の言語では、特定のテンソルは、それぞれテンソルの抽象的な 上限と下限の添え字に対応する、上向きと下向きに伸びる多くの直線を持つ特定の図形に関連付けられます。2つの図形を結ぶ直線は、添え字の縮約に対応します。この表記法の利点の1つは、新しい添え字のために新しい文字を作成する必要がないことです。この表記法は、明示的に基底に依存しません。^[3]

行列

それぞれの図形は行列を表し、テンソルの乗算は水平方向に、行列の乗算は垂直方向に行われます

特殊テンソルの表現

計量テンソル

計量テンソルは、使用されるテンソルの種類に応じて、U字型のループまたは逆U字型のループで表されます

計量テンソル ${\displaystyle g^{ab}}$

計量テンソル ${\displaystyle g_{ab}}$

レヴィ・チヴィタテンソル

レヴィ・チヴィタ反対称テンソルは、使用されるテンソルの種類に応じて、下向きまたは上向きの棒が付いた太い水平バーで表されます

${\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}}$

${\displaystyle \varepsilon ^{ab\ldots n}}$

${\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}}$ ${\displaystyle =n!}$

構造定数

構造定数 ${\displaystyle {\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }}$

リー代数の構造定数（ ）は、1本の線が上向き、2本の線が下向きの小さな三角形で表されます ${\displaystyle {\gamma _{ab}}^{c}}$

テンソル演算

添字の縮約

添字の縮約は、添字の線をつなげることで表されます

クロネッカーのデルタ ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$

ドット積 ${\displaystyle \beta _{a}\,\xi ^{a}}$

${\displaystyle g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}}$

対称化

指数の対称化は、指数線を水平に横切る太いジグザグまたは波線で表されます

対称化（） ${\displaystyle Q^{(ab\ldots n)}}$ ${\displaystyle {}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}}$

反対称化

指数の反対称化は、指数線を水平に横切る太い直線で表されます

反対称化（） ${\displaystyle E_{[ab\ldots n]}}$ ${\displaystyle {}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}}$

行列式

行列式は、添字に反対称化を適用することによって形成されます

行列式 ${\displaystyle \det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)}$

逆行列 ${\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}}$

共変微分

共変微分（）は、微分するテンソルを囲む円と、その円から下向きに結ばれた線で表され、その線は微分の下限指数を表します ${\displaystyle \nabla }$

共変微分 ${\displaystyle 12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)}$ ${\displaystyle =12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)}$

テンソル操作

図式表記法はテンソル代数の操作に役立ちます。通常、テンソル操作の いくつかの単純な「恒等式」が含まれます

たとえば、nが次元数である は共通の「恒等式」です。 ${\displaystyle \varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!}$

リーマン曲率テンソル

リーマン曲率テンソルで表されるリッチ恒等式とビアンキ恒等式は、この表記法の威力を示しています

リーマン曲率テンソルの表記

リッチテンソル ${\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}}$

リッチ恒等式 ${\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}}$ ${\displaystyle =R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}}$

ビアンキ恒等式 ${\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0}$

拡張

この表記法はスピノルとツイスターをサポートするように拡張されている。^{[4] [5]}

参照

• 抽象指数表記
• 角運動量図（量子力学）
• 編み込みモノイド圏
• カテゴリー量子力学ではテンソル図表記法が用いられる
• 行列積状態はペンローズのグラフィカル表記法を使用する
• リッチ計算
• スピンネットワーク
• トレース図

注釈

1. ロジャー・ペンローズ、「負次元テンソルの応用」『組合せ数学とその応用』 、アカデミック・プレス（1971年）。簡潔な解説については、ウラジミール・トゥラエフ著『結び目と3次元多様体の量子不変量』（1994年）、De Gruyter、p. 71を参照。
2. Predrag Cvitanović (2008). 群論：バードトラック、リーの群、そして例外群. プリンストン大学出版局.
3. ロジャー・ペンローズ、『現実への道：宇宙の法則完全ガイド』、2005年、ISBN 0-09-944068-7第1章n次元多様体
4. ペンローズ, R.; リンドラー, W. (1984). スピノルと時空: 第1巻 2スピノル計​​算と相対論的場. ケンブリッジ大学出版局. pp.  424– 434. ISBN 0-521-24527-3。
5. ペンローズ, R.; リンドラー, W. (1986). スピノルと時空：第2巻、時空幾何学におけるスピノル法とツイスター法。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-25267-9。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Penrose_graphical_notation&oldid=1305144666"