パーコレーション臨界指数

Mathematical parameter in percolation theory

パーコレーションの物理的および数学的理論の文脈において、パーコレーション転移は、一連の普遍 臨界指数によって特徴付けられる。これらの指数は、大きなスケールでかつ転移に十分近いパーコレーション媒質のフラクタル特性を記述する。これらの指数は、パーコレーションモデルの種類と空間次元のみに依存するという意味で普遍的である。これらの指数は、格子構造などの微視的な詳細や、サイトパーコレーションとボンドパーコレーションのどちらを考慮しているかには依存しないと予想される。本稿では、ランダムパーコレーションの臨界指数について扱う。

パーコレーション系には、系内のサイトまたは結合の占有率を制御するパラメータがあります。臨界値 では、平均クラスターサイズが無限大となり、パーコレーション転移が起こります。 に近づくにつれて、様々な量はにおけるべき乗則によって発散するか一定値に収束します。このべき乗則の指数が臨界指数です。このべき乗則の指数は閾値の両側で一般的に同じですが、係数、つまり「振幅」は一般的に異なるため、普遍的な振幅比が得られます。 ${\displaystyle p\,\!}$ ${\displaystyle p_{c}\,\!}$ ${\displaystyle p_{c}\,\!}$ ${\displaystyle |p-p_{c}|\,\!}$

説明

臨界点または連続相転移近傍の熱力学系または配位系はフラクタルとなり、そのような状況における多くの量の挙動は普遍臨界指数によって記述される。パーコレーション理論は、臨界点を持つ統計力学における特に単純かつ基本的なモデルであり、その臨界指数を求めるための理論的研究（2次元に限定）と数値的研究の両方において、多くの研究が行われてきた。

臨界指数は様々な観測量に対して存在しますが、そのほとんどは指数関係（またはスケーリング関係）によって相互に関連しています。独立な指数はごくわずかであり、基本指数の選択は研究の焦点に依存します。一つの選択肢はクラスターのサイズ分布に基づくものであり、もう一つは無限クラスターの構造に基づくものです。いわゆる補正指数はこれらの指数を拡張し、臨界点の周りの漸近展開の高次の次元を表します。 ${\displaystyle \{\sigma ,\,\tau \}\,\!}$ ${\displaystyle \{d_{\text{f}},\,\nu \}\,\!}$

指数の定義

パーコレーション閾値における自己相似性

パーコレーションクラスターは、十分に大きな長さスケールの閾値密度で正確に自己相似になり、次の漸近的べき乗則を伴います。 ${\displaystyle p_{c}\,\!}$

フラクタル次元は 、初期無限クラスターの質量が、大きなプローブサイズおよび において、半径またはその他の長さの尺度にどのように依存するかを表します。その他の表記法：磁気指数および余次元。 ${\displaystyle d_{\text{f}}\,\!}$ ${\displaystyle M(L)\sim L^{d_{\text{f}}}\,\!}$ ${\displaystyle p=p_{c}\,\!}$ ${\displaystyle L\to \infty \,\!}$ ${\displaystyle y_{h}=D-d_{f}\,\!}$ ${\displaystyle \Delta _{\sigma }=d-d_{f}\,\!}$

フィッシャー指数は、コンピューターシミュレーションでしばしば決定される クラスターサイズ分布を特徴付ける。フィッシャー指数は、与えられたサイズ（体積）を持つクラスターの数を、総体積（格子点の数）で正規化した値である。分布は閾値においてべき乗則に従い、漸近的には となる。 ${\displaystyle \tau \,\!}$ ${\displaystyle n_{s}\,\!}$ ${\displaystyle s\,\!}$ ${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }\,\!}$ ${\displaystyle s\to \infty \,\!}$

距離によって隔てられた2つのサイトが同じクラスターに属する確率は、距離が大きい場合、またはに比例して減少するため、異常次元が導入されます。また、および も導入されます。 ${\displaystyle {\vec {r}}\,\!}$ ${\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-2(d-d_{\text{f}})}\,\!}$ ${\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-d+(2-\eta )}\,\!}$ ${\displaystyle \eta \,\!}$ ${\displaystyle \delta =(d+2-\eta )/(d-2+\eta )}$ ${\displaystyle \eta =2-\gamma /\nu }$

指数はスケーリングに対する主要な補正と関連しており、これは例えば、に対するクラスターサイズ分布の漸近展開に現れる。また、 である。 ${\displaystyle \Omega \,\!}$ ${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }(1+{\text{const}}\times s^{-\Omega })\,\!}$ ${\displaystyle s\to \infty \,\!}$ ${\displaystyle \omega =\Omega /(\sigma \nu )=\Omega d_{f}}$

平均クラスターサイズのような量については、補正は指数によって制御されます。^[1] ${\displaystyle S\sim a_{0}|p-p_{c}|^{-\gamma }(1+a_{1}(p-p_{c})^{\Delta _{1}}+\ldots )}$ ${\displaystyle \Delta _{1}=\Omega \beta \delta =\omega \nu }$

最小距離、化学距離、または最短経路指数は、平均最小距離がユークリッド距離 とどのように関連しているかを表します。つまり、です。注: 与えられた に対して平均、< >を測定する方が適切かつ実用的です。弾性バックボーン^[2]は、最短経路と同じフラクタル次元を持ちます。関連する量は拡散次元で、これは化学距離 内の臨界クラスターの質量 M のスケーリングを として表し、によってクラスターのフラクタル次元に関連付けられています。化学距離は、流行の成長プロセスにおける時間と考えることもでき、 、および が動的指数である場合に定義されます。^[3]と書くこともできます。 ${\displaystyle d_{\mathrm {min} }}$ ${\displaystyle \langle \ell \rangle }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \langle \ell \rangle \sim r^{d_{\mathrm {min} }}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle d_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle M\sim \ell ^{d_{\ell }}}$ ${\displaystyle d_{f}}$ ${\displaystyle d_{\ell }=d_{f}/d_{\mathrm {min} }}$ ${\displaystyle \nu _{t}}$ ${\displaystyle d_{\mathrm {min} }=\nu _{t}/\nu =z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \nu _{\parallel }=\nu _{t}}$

最小次元に関連するもう一つの現象は、近接する2つのクラスターの同時成長である。2つのクラスターが正確に合体する確率は^[4]の式で表される。^[5] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p(t)\sim t^{-\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda =1+5/(4d_{\mathrm {min} })}$

バックボーンの次元は、2つの離れたサイト間に電圧差を印加した際に電流を流すクラスターサイトのサブセットとして定義され、（または）である。また、 も定義される。^[6] ${\displaystyle d_{\text{b}}}$ ${\displaystyle d_{\text{BB}}}$ ${\displaystyle \xi =d-d_{\text{b}}}$

無限初期パーコレーションクラスター上のランダムウォークのフラクタル次元は次のように与えられます。 ${\displaystyle d_{w}}$

ステップのランダムウォークで訪問される異なるサイトの平均数が に比例するスペクトル次元 。 ${\displaystyle {\tilde {d}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{\tilde {d}}}$

浸透閾値に近い臨界挙動

パーコレーション閾値へのアプローチは再びべき乗法則に支配され、漸近的に次の式に近似します。 ${\displaystyle p_{c}\,\!}$

指数は、パーコレーション転移に近づくにつれて相関長がどれだけ発散するかを表します。相関長を超える長さスケールでは、無限クラスターは均質になります。さらに、これは最大の有限クラスターの線形広がりを表す尺度でもあります。その他の表記：熱指数と次元。 ${\displaystyle \nu \,\!}$ ${\displaystyle \xi \,\!}$ ${\displaystyle \xi \sim |p-p_{c}|^{-\nu }\,\!}$ ${\displaystyle y_{t}=1/\nu }$ ${\displaystyle \Delta _{\epsilon }=d-1/\nu }$

臨界状態から外れると、最大クラスターサイズ までの有限個のクラスターしか存在せず、クラスターサイズ分布は急速に減衰する関数 によって滑らかに遮断されます。指数 は遮断パラメータ の発散を特徴付けます。フラクタル関係から が得られ、 となります。 ${\displaystyle s_{\max }\,\!}$ ${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }f(s/s_{\max })\,\!}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle s_{\max }\sim |p-p_{c}|^{-1/\sigma }\,\!}$ ${\displaystyle s_{\max }\sim \xi ^{d_{\text{f}}}\,\!}$ ${\displaystyle \sigma =1/\nu d_{\text{f}}\,\!}$

クラスターの密度（サイトあたりのクラスターの数）は閾値で連続していますが、その3 次導関数は指数:で決まるように無限大になります。ここで、 は遷移点の上と下の係数を表します。 ${\displaystyle n_{c}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n_{c}\sim A+B(p-p_{c})+C(p-p_{c})^{2}+D_{\pm }|p-p_{c}|^{2-\alpha }+\cdots }$ ${\displaystyle D_{\pm }}$

パーコレーションクラスターの強度または重み、あるいはは、サイトが無限クラスターに属する確率です。は遷移の下ではゼロであり、非解析的です。遷移のすぐ上では、指数 を定義します。は秩序パラメータの役割を果たします。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{\infty }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\sim (p-p_{c})^{\beta }\,\!}$ ${\displaystyle \beta \,\!}$ ${\displaystyle \ P}$

平均クラスター サイズ の発散により指数が導入されます。 ${\displaystyle S=\sum _{s}s^{2}n_{s}/p_{c}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma }\,\!}$ ${\displaystyle \gamma \,\!}$

ギャップ指数Δ は、 Δ = 1/(β+γ) = 1/σ と定義され、 のある瞬間から次の瞬間までの臨界指数値の「ギャップ」を表します。 ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n+1}}$ ${\displaystyle n>2}$

導電率指数は、導体と絶縁体の混合物において電気伝導率がゼロに近づく様子を表します。また、 ${\displaystyle t=\nu t'}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\sim (p-p_{c})^{t}\,\!}$ ${\displaystyle t'=\zeta }$

表面臨界指数

表面上の点が浸透クラスターまたは無限クラスターに属する確率はです。 ${\displaystyle p\geq p_{c}}$ ${\displaystyle P_{\mathrm {surf} }\sim (p-p_{c})^{\beta _{\mathrm {surf} }}\,\!}$

表面フラクタル次元は次のように与えられる。^[7] ${\displaystyle d_{\mathrm {surf} }=d-1-\beta _{\mathrm {surf} }/\nu }$

表面に平行な相関と垂直な相関は、およびのように減少する。^[8] ${\displaystyle g_{\parallel }({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{2-d-\eta _{\parallel }}\,\!}$ ${\displaystyle g_{\perp }({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{2-d-\eta _{\perp }}\,\!}$

表面上のサイトに接続された有限クラスターの平均サイズはである。^{[9] [10] [11]} ${\displaystyle \chi _{1}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma _{1}}}$

地表のサイトに接続する地表サイトの平均数は^{[9] [10] [11]}である。 ${\displaystyle \chi _{1,1}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma _{1,1}}}$

スケーリング関係

ハイパースケーリング関係

${\displaystyle \tau ={\frac {d}{d_{\text{f}}}}+1\,\!}$

${\displaystyle d_{\text{f}}=d-{\frac {\beta }{\nu }}\,\!}$

${\displaystyle \eta =2+d-2d_{\text{f}}\,\!}$

関係に基づく{ σ , τ }

${\displaystyle \alpha =2-{\frac {\tau -1}{\sigma }}\,\!}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\tau -2}{\sigma }}\,\!}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {3-\tau }{\sigma }}\,\!}$

${\displaystyle \beta +\gamma ={\frac {1}{\sigma }}=\nu d_{f}\,\!}$

${\displaystyle \nu ={\frac {\tau -1}{\sigma d}}={\frac {2\beta +\gamma }{d}}\,\!}$

${\displaystyle \delta ={\frac {1}{\tau -2}}\,\!}$

関係に基づく{ d _f , ν }

${\displaystyle \alpha =2-\nu d\,\!}$

${\displaystyle \beta =\nu (d-d_{\text{f}})\,\!}$

${\displaystyle \gamma =\nu (2d_{\text{f}}-d)\,\!}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\nu d_{\text{f}}}}\,\!}$

導電率のスケーリング関係

${\displaystyle d_{w}=d+{\frac {t-\beta }{\nu }}\,\!}$

${\displaystyle t'=d_{w}-d_{f}\,\!}$

${\displaystyle {\tilde {d}}=2d_{f}/d_{w}}$

表面スケーリング関係

${\displaystyle \eta _{\parallel }=2-d+2\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!}$

${\displaystyle d_{\mathrm {surf} }=d-1-\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!}$

${\displaystyle \eta _{\parallel }=2\eta _{\perp }-\eta \,}$^[12]

${\displaystyle \gamma _{1}=\nu (2-\eta _{\perp })\,\!}$^[11]

${\displaystyle \gamma _{1,1}=\nu (d-1-2\beta _{\mathrm {surf} }/\nu )=\nu (1-\eta _{\parallel })\,\!}$^{[11] [13]}

${\displaystyle \gamma +\nu =2\gamma _{1}-\gamma _{1,1}\,\!}$^{[10] [11]}

${\displaystyle x_{1}=\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!}$

標準浸透指数

${\displaystyle d}$	${\displaystyle 1}$[14]	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6-\varepsilon }$[15] [16] [17] [注1]	${\displaystyle 6+}$
${\displaystyle \alpha }$	1	–2/3	-0.625(3) -0.64(4) [20]	-0.756(40) -0.75(2) [20]	-0.870(1) [20]	${\displaystyle -1+{\frac {\varepsilon }{7}}-{\frac {443}{2^{2}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	-1
${\displaystyle \beta }$	0	0.14(3) [21] 5/36	0.39(2) [22] 0.4181(8) 0.41(1) [23] 0.405(25), [24] 0.4273 [19] 0.4053(5) [25] 0.429(4) [20]	0.52(3) [22] 0.639(20) [26] 0.657(9) 0.6590 [19] 0.658(1) [20]	0.66(5) [22] 0.835(5) [26] 0.830(10) 0.8457 [19] 0.8454(2) [20]	${\displaystyle 1-{\frac {\varepsilon }{7}}-{\frac {61}{2^{2}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	1
${\displaystyle \gamma }$	1	43/18	1.6 [23] 1.80(5) [22] 1.66(7) [27] 1.793(3) 1.805(20) [26] 1.8357 [19] 1.819(3) [25] 1.78(3) [20]	1.6(1) [22] 1.48(8) [27] 1.422(16) 1.4500 [19] 1.435(15) [26] 1.430(6) [20]	1.3(1) [22] 1.18(7) [27] 1.185(5) [26] 1.1817 [19] 1.1792(7) [20]	${\displaystyle 1+{\frac {\varepsilon }{7}}+{\frac {565}{2^{2}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	1
${\displaystyle \delta }$	${\displaystyle \infty }$	91/5, 18 [28]	5.29(6) [29] * 5.3 [28] 5.16(4) [20]	3.9 [28] 3.198(6) [30] 3.175(8) [20]	3.0 [28] 2.3952(12) [20]	${\displaystyle 2+{\frac {2}{7}}\varepsilon +{\frac {565}{2\cdot 3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	2
${\displaystyle \eta }$	1	5月24日	-0.046(8) [29] -0.059(9) [31] -0.07(5) [26] -0.0470 [19] −0.03(1) [20] −0.0431⁢(14) [32]	-0.12(4) [26] -0.0944(28) [30] -0.0929(9) [33] -0.0954 [19] -0.084(4) [20]	-0.075(20) [26] -0.0565 [19] −0.0547(10) [20]	${\displaystyle -{\frac {\varepsilon }{21}}-{\frac {206}{3^{3}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	0
${\displaystyle \nu }$	1	1.33(5) [34] 4/3	0.8(1), [23] 0.80(5), [34] 0.872(7) [26] 0.875(1) [29] 0.8765(18) [35] 0.8960 [19] 0.8764(12) [36] 0.8751(11) [37] 0.8762(12) [38] 0.8774(13) [39] 0.88(2) [20] 0.8762(7) [40]	0.6782(50) [26] 0.689(10) [30] 0.6920 [19] 0.693 [41] 0.6852(28) [39] 0.6845(23) [42] 0.6845(6) [43] 0.686(2) [20] 0.6842(16) [40]	0.51(5) [44] 0.569(5) [39] に引用0.571(3) [26] 0.5746 [19] 0.5723(18) [39] 0.5737(33) [42] 0.5757(7) [43] 0.5739(1) [20] 0.5720(43) [40]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {5}{84}}\varepsilon +{\frac {589}{2^{2}3^{3}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	1/2
${\displaystyle \sigma }$	1	36/91	0.42(6) [45] 0.445(10) [29] 0.4522(8) [30] 0.4524(6) [38] 0.4419 [19] 0.452(7) [20]	0.476(5) 0.4742 [19] 0.4789(14) [20]	0.496(4) 0.4933 [19] 0.49396(13) [20]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{98}}\varepsilon ^{2}}$	1/2
${\displaystyle \tau }$	2	187/91	2.186(2) [31] 2.1888 [19] 2.189(2) [29] 2.190(2) [33] 2.189(1) [46] 2.18906(8) [30] 2.18909(5) [38] 2.1892(1) [47] 2.1938(12) [20]	2.26 [28] 2.313(3) [48] 2.3127(6) [30] 2.313(2) [33] 2.3124 [19] 2.3142(5) [47] 2.3150(8) [20]	2.33 [28] 2.412(4) [48] 2.4171 [19] 2.419(1) [47] 2.4175(2) [20]	${\displaystyle {\frac {5}{2}}-{\frac {\varepsilon }{14}}+{\frac {313}{2^{3}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	5/2
${\displaystyle d_{\text{f}}}$	1	91/48	2.523(4) [29] * 2.530(4) [31] * 2.5230(1) [35] 2.5226(1) [49] 2.52293(10) [38]	3.12(2), [44] 3.05(5), 3.003 [41] 3.0472(14) [30] 3.046(7) [48] 3.046(5) [33] 3.0479 [19] 3.0437(11) [47] 3.0446(7) [42]	3.54(4) 3.69(2) [44] 3.528 [19] 3.524(2) [47] 3.5260(14) [42]	${\displaystyle 4-{\frac {10}{21}}\varepsilon +{\frac {103}{3^{3}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	4
${\displaystyle \Omega }$		0.70(2) [33] 0.77(4) [50] 0.77(2) [51] 72/91 [52] [53] 0.44(9) [1]	0.50(9) [26] 0.64(2) [29] 0.73(8) [31] 0.65(2) [54] 0.60(8) [33] 0.77(3) [47] 0.64(5) [35]	0.31(5) [26] 0.5(1) [33] 0.37(4) [30] 0.4008 [19]	0.27(7) [26] 0.2034 [19] 0.210(2) [20]	${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{4}}-{\frac {283}{2^{2}3^{2}7^{2}}}\varepsilon ^{2}}$
${\displaystyle \omega }$		3/2 [52]	1.26(23) [26] 1.6334 [19] 1.62(13) [35] 1.61(5) [29]	0.94(15) [26] 1.2198 [19] 1.13(10) [30] 1.0(2) [55]	0.96(26) [26] 0.7178 [19]	${\displaystyle \varepsilon -{\frac {671}{2\cdot 3^{2}7^{2}}}\varepsilon ^{2}}$[56] [19]	0
${\displaystyle t'=t/\nu }$		0.9479 [57] 0.995(1) [58] 0.977(8)) [59] 0.9825(8) [4]	2.276(12) [60] 2.26(4) [61] 2.305(15) [62] 2.283(3) [55]				3
${\displaystyle d_{w}}$		2.8784(8) [4]
${\displaystyle d_{s}}$		4/3 [57] 1.327(1) [58] 1.3100(11) [4]	1.32(6) [63]
${\displaystyle d_{\mathrm {surf} }}$		2/3 [64] [65]	1.04(5) [10] 1.030(6) [66] 1.0246(4) [67]	1.32(7) [68]	1.65(3) [68]	${\displaystyle 2-{\frac {5}{21}}\varepsilon }$[68]	2 [68]
${\displaystyle \beta _{\mathrm {surf} }/\nu =x_{1}}$		1/3 [64]	0.98(2) [69] 0.970(6) [66] 0.975(4) [70] 0.9754(4) [67] 0.974(2) [71]	1.64(2) [71]	2.408(5) [71]	3
${\displaystyle \eta _{\parallel }}$（サーフィン）		2/3 [64]	1.02(12) [68] 1.08(10) [10]	1.37(13) [68]	1.7(6) [68]
${\displaystyle d_{\text{b}}}$		1.60(5) [2] 1.64(1) [72] 1.647(4) [3] 1.6432(8) [4] 1.6434(2) [73] 1.64336(10) [74] 1.64333316328711...* [6]	1.8、1.77(7) [2] 1.855(15) [75]	1.95(5) [76] 1.9844(11) [42]	2.00(5) [76] 2.0226(27) [42]		2
${\displaystyle d_{\text{min}}=z}$		1.132(2) [77] 1.130(3) [78] 1.1307(4) [3] 1.1303(8) [79] 1.1306(3) [4] 1.130 77(2) [80]	1.35(5) [2] 1.34(1) [78] 1.374(6) [66] 1.3756(6) [80] 1.3756(3) [36] 1.3755(3) [38]	1.607(5) [48] 1.6042(5) [42]	1.812(6) [48] 1.8137(16) [42]		2
${\displaystyle \lambda =\mu +1}$		2.1055(10) [81] 2.1056(3) [5] 2.1045(10) [82] 2.105 [83]

• の場合、は の近傍でを満たす。^[6] ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle d_{\mathrm {b} }=2-(z^{2}-1)/12}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}z/4+\sin(2\pi z/3)=0}$ ${\displaystyle z=2.3}$

保護浸透の指数

保護パーコレーションでは、パーコレーションするクラスターからのみ結合が1つずつ除去される。孤立したクラスターはもはや変更されない。スケーリング関係： 、、、ここでプライムマークの付いた量は保護パーコレーションを示す^[25] ${\displaystyle \beta '=\beta /(1+\beta )}$ ${\displaystyle \gamma '=\gamma /(1+\beta )}$ ${\displaystyle \nu '=\nu /(1+\beta )}$ ${\displaystyle \tau '=\tau }$

${\displaystyle d}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6-\varepsilon }$	${\displaystyle 6+}$
${\displaystyle \beta '}$		5/41 [25]	0.288 71(15) [25]
${\displaystyle \gamma '}$		86/41 [25]	1.3066(19) [25]
${\displaystyle \tau '}$		187/91 [25]	2.1659(21) [25]

有向浸透の指数

有向パーコレーション（DP）とは、流体が結合に沿って一方向にのみ流れるパーコレーションのことを指します。例えば、45度回転した正方格子上では下向きにのみ流れます。このシステムは「1+1次元DP」と呼ばれ、2つの次元は空間と時間として考えられます。

${\displaystyle \nu _{\perp }}$および はそれぞれ横（垂直）および縦（平行）相関長指数です。また、 はハイパースケーリング関係 を満たします。 ${\displaystyle \nu _{\parallel }}$ ${\displaystyle \zeta =1/z=\nu _{\perp }/\nu _{\parallel }}$ ${\displaystyle d/z=\eta +2\delta }$

指数には別の慣例が使われており、ここでは と呼ばれ、関係 によって定義されるので となる。^[84] これはハイパースケーリング関係 を満たす。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle \langle R^{2}\rangle \sim t^{z'}}$ ${\displaystyle z'=\nu _{\parallel }/\nu _{\perp }=2/z}$ ${\displaystyle dz'=2\eta +4\delta }$

${\displaystyle \delta }$は、時間の関数としての生存確率の挙動に対応する指数です。 ${\displaystyle P(t)\sim t^{-\delta }}$

${\displaystyle \eta }$( と呼ばれることもある) は、時間における訪問サイトの平均数の挙動に対応する指数です(拡散が停止したサンプルも含めたすべてのサンプルの平均値) 。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle N(t)\sim t^{-\eta }}$

d(空間)+1(時間)次元指数は以下のとおりです。

${\displaystyle d+1}$	${\displaystyle 1+1}$	${\displaystyle 2+1}$	${\displaystyle 3+1}$	${\displaystyle 4-\varepsilon }$[85] [86]	${\displaystyle {\text{Mean Field}}}$
${\displaystyle \beta }$	0.276486(8) [87] 0.276 7(3) [88]	0.5834(30) [89] 0.580(4) [88]	0.813(9) [90] 0.818(4) [88] 0.82205 [85]	${\displaystyle 1-{\frac {\varepsilon }{6}}}$	1
${\displaystyle \delta ,\alpha }$	0.159464(6) [87] 0.15944(2) [88]	0.4505(1) [89] 0.451(3) [84] 0.4509(5) [91] 0.4510(4) [88] 0.460(6) [92]	0.732(4) [93] 0.7398(10) [88] 0.73717 [94]	${\displaystyle 1-{\frac {\varepsilon }{4}}}$	1
${\displaystyle \eta ,\theta }$	0.313686(8) [87] 0.31370(5) [88]	0.2303(4) [91] 0.2307(2) [88] 0.2295(10) [89] 0.229(3) [84] 0.214(8) [92]	0.1057(3) [88] 0.114(4) [90] 0.12084 [94]	${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{12}}}$	0
${\displaystyle \nu _{\parallel }}$	1.733847(6) [87] 1.733825(25) [95] 1.7355(15) [88] 1.73(2) [96]	1.16(5) [96] 1.287(2) [88] 1.295(6) [84]	1.106(3) [88] 1.11(1) [90] 1.10571 [94]	${\displaystyle 1+{\frac {\varepsilon }{12}}}$	1
${\displaystyle \nu _{\perp }}$	1.096854(4) [87] 1.096844(14) [95] 1.0979(10) [88]	0.7333(75) [93] 0.729(1) [88]	0.584(5) [93] 0.582(2) [88] 0.58360 [94]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {\varepsilon }{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle z=2/z'}$	1.580745(10) [87] 1.5807(2) [88]	1.7660(16) [93] 1.765(3) [84] 1.766(2) [89] 1.7665(2) [88] 1.7666(10) [91]	1.88746 [94] 1.8990(4) [88] 1.901(5) [93]	${\displaystyle 2-{\frac {\varepsilon }{12}}}$	2
${\displaystyle \gamma }$	2.277730(5) = 41/18?、[87] 2.278(2) [97]	1.595(18) [89]	1.237(23) [90]	${\displaystyle 1+{\frac {\varepsilon }{6}}}$	1
${\displaystyle \tau }$	2.112(5), [98] 2.1077(13), [99] 2.10825(8) [87]

有向浸透のスケーリング関係

${\displaystyle \beta ={\frac {\tau -2}{\sigma }}}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {3-\tau }{\sigma }}}$

${\displaystyle \tau =2+{\frac {2}{1+\gamma /\beta }}}$^[99]

${\displaystyle {\tilde {\tau }}=\nu _{\parallel }-\beta }$^[87]

${\displaystyle \eta =\gamma /\nu _{\parallel }-1}$

${\displaystyle d_{\mathrm {DP} }=2-\beta /\nu _{\parallel }}$^[100]

${\displaystyle d_{b,\mathrm {DP} }=2-2\beta /\nu _{\parallel }}$^[100]

${\displaystyle \Delta =\beta +\gamma }$

${\displaystyle dz'=2\eta +4\delta }$

${\displaystyle d/z=\eta +2\delta }$

動的パーコレーションの指数

動的パーコレーション（通常のパーコレーションクラスターの流行的成長）の場合、

${\displaystyle P(t)\sim L^{-\beta /\nu }\sim (t^{1/d_{\mathrm {min} }})^{-\beta /\nu }=t^{-\delta }}$、つまり

${\displaystyle \delta ={\frac {\beta }{\nu d_{\mathrm {min} }}}={\frac {d-d_{f}}{d_{\mathrm {min} }}}}$

について、 を考え、 について導 関数 をとると、次の 式が得られる。 ${\displaystyle N(t)\sim t^{\eta }}$ ${\displaystyle N(\leq s)\sim s^{3-\tau }\sim R^{d_{f}(3-\tau )}\sim t^{d_{f}(3-\tau )/d_{\mathrm {min} }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle N(t)\sim t^{d_{f}(3-\tau )/d_{\mathrm {min} }-1}}$

${\displaystyle \eta ={\frac {d_{f}(3-\tau )}{d_{\mathrm {min} }}}-1={\frac {2d_{f}-d}{d_{\mathrm {min} }}}-1}$

また、 ${\displaystyle z=d_{\mathrm {min} }}$

上記の指数を使うと、

${\displaystyle d:}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6-\varepsilon }$	${\displaystyle {\text{Mean Field}}}$
${\displaystyle \delta }$	0.09212	0.34681	0.59556	0.8127		1
${\displaystyle \eta ,\mu }$	0.584466	0.48725	0.30233	0.1314		0

参照

• 臨界指数
• 普遍性クラス
• パーコレーション理論
• 浸透閾値
• 浸透面臨界挙動
• 浸透閾値付近の導電率

注記

1. 展開における高次の項については^{[18] [19] [20]}を参照。 ${\displaystyle \varepsilon }$

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さらに読む

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