光子ガス

物理学において、光子気体とは、水素やネオンといった従来の気体と多くの特性（圧力、温度、エントロピーなど）を持つ、気体のような光子の集合体です。平衡状態にある光子気体の最も一般的な例は、黒体放射です。

光子は、ボーズ・アインシュタインの統計に従い、整数スピンを持つボソンと呼ばれる粒子群の一部です。1種類の粒子のみを含むボソン気体は、温度、体積、粒子数などの3つの状態関数によって一意に記述されます。しかし、黒体の場合、エネルギー分布は光子と物質（通常は容器の壁）の相互作用によって決まり、光子数は保存されません。結果として、黒体光子気体の化学ポテンシャルは熱力学的平衡でゼロになります。したがって、黒体状態を記述するために必要な状態変数の数は、3つから2つ（温度と体積など）に減ります。

黒体光子ガスの熱力学

質量を持つ粒子を含む古典的な理想気体では、粒子のエネルギーはマクスウェル・ボルツマン分布に従って分布します。この分布は、粒子が互いに衝突し、その過程でエネルギー（および運動量）を交換することで確立されます。光子気体でも平衡分布は存在しますが、光子は互いに衝突しないため（非常に極端な条件を除く、二光子物理学を参照）、平衡分布は他の手段によって確立する必要があります。平衡分布が確立される最も一般的な方法は、光子と物質の相互作用です。^{[ 1 ]}光子が光子気体を含むシステムの壁によって吸収および放出され、壁が特定の温度である場合、光子の平衡分布はその温度での黒体分布になります。^{[ 2 ]}

一般的なボーズ気体（質量を持つボーズ粒子の気体）と黒体分布を持つ光子気体との非常に重要な違いは、光子気体中の光子数が保存されないことです。壁内の原子が熱励起されて高い電子状態になると光子が生成され、その後、原子が低いエネルギー状態に戻る際に光子が放出されます。このタイプの光子生成は熱放出と呼ばれます。逆のプロセスも起こり、光子が破壊されて気体から除去されます。このようなプロセスの結果として、システム内の光子数に制約はなく、黒体放射の場合、光子の 化学ポテンシャルはゼロでなければならないことが示されます。

黒体光子ガスの熱力学は、量子統計力学的議論を用いて導出することができる。この場合、放射場は壁内の原子と平衡状態にある。この導出により、スペクトルエネルギー密度uが得られる。これは、単位体積あたり、単位周波数間隔あたりの放射場のエネルギーであり、次式で表される。^{[ 3 ]} ここで、 hはプランク定数、cは光速、νは周波数、kはボルツマン定数、Tは温度である。 $${\displaystyle u(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}},}$$

周波数について積分し、体積Vを掛けると、黒体光子ガスの内部エネルギーが得られる。 ^{[ 4 ]} $${\displaystyle U=\left({\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15(hc)^{3}}}\right)VT^{4}.}$$

この導出により、（期待される）光子数Nも得られます。 ここで、 はリーマンゼータ関数です。特定の温度において、粒子数Nは体積に応じて一定に変化し、光子密度が一定になるように調整されることに注意してください。 $${\displaystyle N=\left({\frac {16\pi k^{3}\zeta (3)}{(hc)^{3}}}\right)VT^{3},}$$ ${\displaystyle \zeta (n)}$

超相対論的量子気体（本質的に光子を記述する）の状態方程式が 次のように与えられることに注意すると、上記の式を組み合わせて理想気体の状態方程式によく似た状態方程式を作成できます。 $${\displaystyle U=3PV,}$$ $${\displaystyle PV={\frac {\zeta (4)}{\zeta (3)}}NkT\approx 0.9\,NkT.}$$

次の表は、黒体光子ガスの熱力学的状態関数をまとめたものです。圧力は という形で表すことができ、これは体積に依存しないことに注意してください（bは定数です）。 ${\displaystyle P=bT^{4}}$

黒体光子ガスの熱力学的状態関数

	状態関数( T , V )
内部エネルギー	${\displaystyle U=\left({\frac {\pi ^{2}k^{4}}{15c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{4}={\frac {4\sigma }{c}}\,VT^{4}}$
粒子数	${\displaystyle N=\left({\frac {2k^{3}\zeta (3)}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{3}}$[ 5 ]
化学ポテンシャル	${\displaystyle \mu =0\,}$
プレッシャー	${\displaystyle P={\frac {1}{3}}\,{\frac {U}{V}}=\left({\frac {\pi ^{2}k^{4}}{45c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,T^{4}={\frac {4\sigma }{3c}}\,T^{4}}$[ 4 ]
エントロピ	${\displaystyle S={\frac {4U}{3T}}=\left({\frac {4\pi ^{2}k^{4}}{45c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{3}={\frac {16\sigma }{3c}}\,VT^{3}}$[ 4 ]
エンタルピー	${\displaystyle H={\frac {4}{3}}\,U}$[ 4 ]
ヘルムホルツ自由エネルギー	${\displaystyle A=-{\frac {1}{3}}\,U}$
ギブスの自由エネルギー	${\displaystyle G=0\,}$

表の中で、は縮約プランク定数、すなわち、はシュテファン・ボルツマン定数、を指します。 ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60c^{2}\hbar ^{3}}}}$

等温変換

光子ガスを伴う熱力学過程の例として、可動ピストンを備えたシリンダーを考えてみましょう。シリンダーの内壁は「黒」で、光子の温度を特定の温度に維持できるようにしています。これは、シリンダー内の空間が黒体分布の光子ガスを含むことを意味します。質量のあるガスとは異なり、このガスは外部から光子を導入することなく存在し、壁がガスに光子を供給します。ピストンがシリンダーの奥まで押し込まれ、容積が非常に小さくなったとします。容積内の光子ガスはピストンを圧迫し、外側へ移動させます。この変化が等温になるためには、ピストンの動きが非常に遅くなるように、ほぼ同じ値の反力をピストンに加える必要があります。この反力は、圧力とピストンの断面積（A ）の積に等しくなります。この過程は、光子ガスの容積がV ₀になるまで一定温度で継続できます。移動距離（ x ）にわたって力を積分すると、この体積でこの光子ガスを生成するために行われた全仕事が得られる。 ここでV = Axの 関係が用いられている。^{[ 4 ]} $${\displaystyle W=-\int _{0}^{x_{0}}P(A\mathrm {d} x),}$$ $${\displaystyle b={\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15c^{3}h^{3}}}.}$$

プレッシャーは $${\displaystyle P(x)={\frac {bT^{4}}{3}}\,.}$$

統合すると、完了した作業は $${\displaystyle W=-{\frac {bT^{4}Ax_{0}}{3}}=-{\frac {bT^{4}V_{0}}{3}}.}$$

ガスを生成するために加えなければならない熱量は、 H ₀が変換終了時のエンタルピーである 場合です。エンタルピーは光子ガスを生成するために必要なエネルギー量であることがわかります。 $${\displaystyle Q=U-W=H_{0}\,.}$$

調整可能な化学ポテンシャルを持つ光子ガス

低次元系、例えば色素溶液を満たした光マイクロキャビティにおいて、共振器ミラー間の距離が二次元状態となる波長域にある場合、調整可能な化学ポテンシャルを持つ光子ガスも実現可能である。このような光子ガスは、多くの点で物質粒子のガスのように振舞う。調整可能な化学ポテンシャルの帰結として、位相空間密度が高い場合、光子のボーズ＝アインシュタイン凝縮が観測される。^{[ 6 ]}

参照

• 箱の中のガス– すべての理想気体の分布関数の導出
• ボーズガス
• フェルミガス
• プランクの黒体放射の法則–周波数または波長の関数としての光子エネルギーの分布
• シュテファン・ボルツマンの法則– 黒体から放射される全フラックス
• 放射圧

参考文献

1. アインシュタイン、A. (1917)。 「Zur Quantentheorie der Strahlung」。物理的ツァイツシュリフト。18 : 121–128。Bibcode : 1917PhyZ...18..121E。ter Haar, D. (1967). 「放射の量子論について」 . The Old Quantum Theory . Pergamon Press . pp.  167– 183. LCCN 66029628 . [1]も参照。
   • アインシュタイン、A. (1993).アルバート・アインシュタイン著作集. 第3巻. ベック、A.による英訳.プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-10250-4。
2. キッテル、チャールズ、ハーバート・クローマー(1980年1月15日).熱物理学（第2版）. WHフリーマン. ISBN 978-0-7167-1088-2。
3. プランクの法則Planck, M. (1900)。「正常スペクトルにおけるエネルギー理論の理論」。Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft。2：237～ 245。ter Haar, D. (1967). 「正規スペクトルのエネルギー分布法則の理論について」(PDF) . The Old Quantum Theory . Pergamon Press . p. 82. LCCN 66029628 . 2016年9月20日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2024年5月1日閲覧。 
4. Leff, Harvey S. (2002-07-12). 「入門物理学における光子ガスの指導」 . American Journal of Physics . 70 (8): 792– 797. Bibcode : 2002AmJPh..70..792L . doi : 10.1119/1.1479743 . ISSN 0002-9505 . 
5. Schwabl, Franz (2006-06-13). 「4.5 光子ガス」 .統計力学. Springer Science & Business Media. ISBN 9783540323433。
6. J. Klaers; J. Schmitt; F. Vewinger & M. Weitz (2010). 「光マイクロキャビティにおける光子のボーズ・アインシュタイン凝縮」. Nature . 468 ( 7323): 545– 548. arXiv : 1007.4088 . Bibcode : 2010Natur.468..545K . doi : 10.1038/nature09567 . PMID 21107426. S2CID 4349640 .  

さらに読む

• バイエルライン、ラルフ (2001年4月). 「とらえどころのない化学ポテンシャル」(PDF) . American Journal of Physics . 69 (4): 423– 434. Bibcode : 2001AmJPh..69..423B . doi : 10.1119/1.1336839 .
• Herrmann, F.; Würfel, P. (2005年8月). 「化学ポテンシャルがゼロでない光」(PDF) . American Journal of Physics . 73 (8): 717– 723. Bibcode : 2005AmJPh..73..717H . doi : 10.1119/1.1904623 .オリジナル(PDF)から2016年3月4日にアーカイブ. 2012年6月29日閲覧.

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