ネヴァンリンナ – ピック補間

複素解析において、複素単位円内の点からなる初期データと、内の点からなる目標データが与えられたとき、ネヴァンリンナ・ピック補間問題は、すべての に対して、 となるようなデータを補間する正則関数を見つけることである。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$

${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=z_{i}}$、

すべて に対する制約に従います。 ${\displaystyle \left\vert \varphi (\lambda )\right\vert \leq 1}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {D} }$

ゲオルク・ピックとロルフ・ネヴァンリンナはそれぞれ 1916 年と 1919 年に独立してこの問題を解き、初期データとターゲット データで定義された行列が半正定値である場合にのみ補間関数が存在することを示しました。

背景

ネヴァンリンナ・ピック定理は、シュワルツの補題の点一般化を表す。シュワルツの補題の不変形は、正則関数 に対して、すべての に対して、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {D} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(\lambda _{1})-f(\lambda _{2})}{1-{\overline {f(\lambda _{2})}}f(\lambda _{1})}}\right|\leq \left|{\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}\right|.}$

と設定すると、この不等式は、 ${\displaystyle f(\lambda _{i})=z_{i}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1-|z_{1}|^{2}}{1-|\lambda _{1}|^{2}}}&{\frac {1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}{1-{\overline {\lambda _{1}}}\lambda _{2}}}\\[5pt]{\frac {1-{\overline {z_{2}}}z_{1}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}&{\frac {1-|z_{2}|^{2}}{1-|\lambda _{2}|^{2}}}\end{bmatrix}}\geq 0,}$

つまり、ピック行列は半正定値です。

シュワルツの補題と組み合わせると、 に対して、 となる正則関数が存在し、ピック行列 ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},z_{1},z_{2}\in \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \varphi (\lambda _{1})=z_{1}}$ ${\displaystyle \varphi (\lambda _{2})=z_{2}}$

${\displaystyle \left({\frac {1-{\overline {z_{j}}}z_{i}}{1-{\overline {\lambda _{j}}}\lambda _{i}}}\right)_{i,j=1,2}\geq 0.}$

ネヴァンリンナ・ピック定理

ネヴァンリンナ・ピック定理は、次のことを述べている。 が与えられたとき、ピック行列が ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},z_{1},\ldots ,z_{n}\in \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to {\overline {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=z_{i}}$

${\displaystyle \left({\frac {1-{\overline {z_{j}}}z_{i}}{1-{\overline {\lambda _{j}}}\lambda _{i}}}\right)_{i,j=1}^{n}}$

は半正定値である。さらに、関数 は、ピック行列の行列式が零である場合にのみ一意である。この場合、はブラシュケ積となり、次数はピック行列の階数に等しい（ただし、 がすべて同じである自明な場合を除く）。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle z_{i}}$

一般化

ドナルド・サラソンによるサラソン補間定理の研究に続き、ネヴァンリンナ＝ピック定理の一般化は作用素論における活発な研究分野となった。^{[ 1 ]}サラソンは、作用素縮約を用いたヒルベルト空間法を用いて、ネヴァンリンナ＝ピック定理の新たな証明を与えた。他のアプローチは、L. ド・ブランジュ、B. Sz.-Nagy、C. Foiasの研究によって発展した。

ハーディ空間H  ^2は再生核ヒルベルト空間であり、その再生核（セゲー核として知られる）は

${\displaystyle K(a,b)=\left(1-b{\bar {a}}\right)^{-1}.\,}$

このため、ピック行列は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \left((1-z_{i}{\overline {z_{j}}})K(\lambda _{j},\lambda _{i})\right)_{i,j=1}^{N}.\,}$

この解決策の説明は、ネヴァンリンナとピックの結果を一般化するためのさまざまな試みのきっかけとなりました。

ネヴァンリンナ・ピック問題は、与えられたデータセットを補間する正則関数を見つける問題に一般化できます。ここで、Rは複素平面の任意の領域です。 ${\displaystyle f:R\to \mathbb {D} }$

MBアブラハムセは、 Rの境界が有限個の解析曲線（例えばn  + 1）で構成される場合、補間関数fが存在するの は、

${\displaystyle \left((1-z_{i}{\overline {z_{j}}})K_{\tau }(\lambda _{j},\lambda _{i})\right)_{i,j=1}^{N}\,}$

は、 n -トーラス内のすべてに対して、半正定値行列である。ここで、s は、集合Rと関連した特定の再生核ヒルベルト空間の集合に対応する再生核である。また、ピック行列の1つが零行列式を持つ場合のみ、 fが一意であることが示される。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle K_{\tau }}$

注記

• ピックの元々の証明は、正の実部を持つ関数に関するものでした。線形分数ケーリー変換の下では、彼の結果は円板から円板への写像にも当てはまります。

• Pick-Nevanlinna 補間はAllen Tannenbaumによってロバスト制御に導入されました。

• 双円板から円板への正則写像のピック・ネヴァンリンナ問題は、ジム・アグラーによって解決されました。 ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$

参考文献

1. サラソン、ドナルド (1967). 「一般化された補間法」 ${\displaystyle H^{\infty }}$ . Trans. Amer. Math. Soc . 127 : 179–203 . doi : 10.1090/s0002-9947-1967-0208383-8 .

• アグラー、ジム、ジョン・E・マッカーシー（2002年）『ピック補間とヒルベルト関数空間』数学大学院出版、AMS、ISBN 0-8218-2898-3。
• アブラハムス, MB (1979). 「有限連結領域におけるピック補間定理」 .ミシガン数学ジャーナル26 ( 2): 195– 203. doi : 10.1307/mmj/1029002212 .
• Tannenbaum, Allen (1980). 「ゲイン係数に不確実性がある線形動的プラントのフィードバック安定化」. Int. J. Control . 32 (1): 1– 16. doi : 10.1080/00207178008922838 .

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Nevanlinna–Pick_interpolation&oldid=1311863773」より取得