ピボタル量

Function of observations and unobservable parameters

統計学において、ピボタル量またはピボットとは、観測値と観測不可能なパラメータの関数であり、その関数の確率分布は未知のパラメータ（ニューサンスパラメータを含む）に依存しません。^{[1]ピボットは}統計量である必要はありません。関数とその値はモデルのパラメータに依存する可能性がありますが、その分布は依存してはなりません。 統計量である場合、補助統計量と呼ばれます

より正式には、^[2]はパラメータ（またはパラメータのベクトル）に依存する分布からのランダムサンプルとします。は、すべての に対して分布が同じであるランダム変数とします。この場合、はピボット量（または単にピボット）と呼ばれます。 ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g(X,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g}$

ピボット量は、異なるデータセットのデータを比較できるようにするために、正規化によく使用されます。位置パラメータと尺度パラメータのピボットを作成するのは比較的簡単です。前者の場合は位置が相殺されるように差を形成し、後者の場合は尺度が相殺されるように比率を形成します。

ピボット量は、統計量がパラメータに依存しないようにするため、検定統計量の構築に不可欠です。たとえば、スチューデントのt統計量は、分散（および平均）が未知の正規分布のものです。また、信頼区間を構築する1つの方法を提供し、ピボット量を使用するとブートストラップのパフォーマンスが向上します。補助統計量として、頻度主義予測区間（予測信頼区間）を構築するために使用できます。

例

正規分布

最も単純な重要な量の1つはZスコアです。平均と分散を持つ正規分布と観測値「x」が与えられた場合、Zスコアは ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }},}$

分布を持ちます。つまり、平均0、分散1の正規分布です。同様に、「n」標本の標本平均は標本分布を持つため、平均のZスコアは ${\displaystyle N(0,1)}$ ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2}/n)}$

${\displaystyle z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

分布も持ちます。これらの関数はパラメータに依存し、したがってパラメータが既知（統計ではない）の場合にのみ計算できますが、分布はパラメータとは無関係であることに注意してください。 ${\displaystyle N(0,1).}$

平均と分散が未知の正規分布からの独立した同一分布（iid）の観測値が与えられた場合、重要な量は関数から得ることができます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle g(x,X)={\frac {x-{\overline {X}}}{s/{\sqrt {n}}}}}$

ここで

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}}$

と

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}$

はそれぞれと の不偏推定値です。関数は、すでに観測された値のセットと同じ母集団から抽出される新しい値 に対するスチューデントのt統計量です ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle g(x,X)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

関数を使用するとがピボット量となり、これも自由度 のスチューデントt分布に従って分布します。必要に応じて、が関数 の引数として現れても、 の分布は観測値 を支配する正規確率分布のパラメータやに依存しません。 ${\displaystyle x=\mu }$ ${\displaystyle g(\mu ,X)}$ ${\displaystyle \nu =n-1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(\mu ,X)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$

これは、次の観測値の予測区間を計算するために使用できます予測区間：正規分布 を参照してください。 ${\displaystyle X_{n+1};}$

二変量正規分布

より複雑なケースでは、正確なピボットを構築することは不可能です。ただし、近似ピボットを使用すると、漸近正規分布への収束が改善されます。

相関が未知の二変量二変量正規分布から、サイズが のベクトルの標本が取得されるとします。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})'}$ ${\displaystyle \rho }$

の推定値は標本（ピアソン、モーメント）相関です 。 ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle r={\frac {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{s_{X}s_{Y}}}}$

ここで、はとの標本分散です。標本統計量は漸近的に正規分布します。 ${\displaystyle s_{X}^{2},s_{Y}^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\sqrt {n}}{\frac {r-\rho }{1-\rho ^{2}}}\Rightarrow N(0,1)}$。

しかし、分散安定化変換

${\displaystyle z={\rm {{tanh}^{-1}r={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}}}}$

フィッシャーの相関係数の「Z」変換として知られる方法は、未知のパラメータから漸近的に独立した分布を作成することを可能にします。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\sqrt {n}}(z-\zeta )\Rightarrow N(0,1)}$

ここで、は対応する分布パラメータです。有限の標本サイズの場合、確率変数はの分布よりも正規分布に近い分布を示します。正確な分散のより良い近似値を使用することで、標準正規分布にさらに近い近似値が得られます。通常の形式は次のとおりです。 ${\displaystyle \zeta ={\rm {tanh}}^{-1}\rho }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (z)\approx {\frac {1}{n-3}}}$。

ロバスト性

ロバスト統計の観点から見ると、重要な量はパラメータの変化に対して堅牢です（実際にはパラメータとは独立しています）。しかし、正規性の仮定に違反するなど、モデルの変化に対しては一般的に堅牢ではありません。これは、重要な量から導かれることが多い非ロバスト統計に対するロバスト批判の基本です。このような統計は、ファミリー内では堅牢かもしれませんが、ファミリー外では堅牢ではありません。

参照

• 正規化（統計）

参考文献

1. Shao, J. (2008). 「ピボタル量」.数理統計学（第2版）. ニューヨーク：シュプリンガー. pp.  471– 477. ISBN 978-0-387-21718-5。
2. DeGroot, Morris H.; Schervish, Mark J. (2011).確率と統計学（第4版）. ピアソン. p. 489. ISBN 978-0-321-70970-7。

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