平面三元環

Construction in projective geometry

数学において、空でない集合 と三元写像からなる代数構造は 三元系と呼ばれることがある。平面三元環（PTR）または三元体は、マーシャル・ホール^[1]が座標を用いて射影平面を構成するために用いた特殊な三元系である。平面三元環は伝統的な意味での環ではないが、任意の体は、演算が によって定義される平面三元環を与える。したがって、平面三元環は、三元演算が加算と乗算の両方に置き換わる体の一般化と考えることができる。 ${\displaystyle (R,T)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T\colon R^{3}\to R\,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(a,b,c)=ab+c}$

用語には幅広いバリエーションがあります。ここで定義される平面三元環または三元体は、文献では他の名称で呼ばれており、「平面三元環」という用語は、ここで定義される系の変形を指すこともあります。「三元環」という用語は、多くの場合平面三元環を指しますが、単に三元系を指す場合もあります。

意味

平面三元環とは、0と1と呼ばれる少なくとも2つの異なる要素を含む集合であり、以下の5つの公理を満たす写像である。^[2] ${\displaystyle (R,T)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T\colon R^{3}\to R\,}$

1. ${\displaystyle T(a,0,b)=T(0,a,b)=b,\quad \forall a,b\in R}$;
2. ${\displaystyle T(1,a,0)=T(a,1,0)=a,\quad \forall a\in R}$;
3. ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R,a\neq c}$、となる唯一の が存在します: ; ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle T(x,a,b)=T(x,c,d)\,}$
4. ${\displaystyle \forall a,b,c\in R}$、となる唯一の が存在し、 ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle T(a,b,x)=c\,}$
5. ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R,a\neq c}$、方程式には一意の解があります。 ${\displaystyle T(a,x,y)=b,T(c,x,y)=d\,}$ ${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$

が有限のとき、第3公理と第5公理は第4公理の存在下では同値である。^[3] ${\displaystyle R}$

最初の 2 つの公理を満たす他のペア (0', 1') は見つかりません。 ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle T}$

二項演算

追加

を定義する。^[4]この構造は単位元0を持つループである。 ${\displaystyle a\oplus b=T(a,1,b)}$ ${\displaystyle (R,\oplus )}$

乗算

を定義する。集合はこの乗法の下で閉じている。また、この構造はループであり、単位元は1である。 ${\displaystyle a\otimes b=T(a,b,0)}$ ${\displaystyle R_{0}=R\setminus \{0\}\,}$ ${\displaystyle (R_{0},\otimes )}$

線形PTR

平面三元環が線型であるとは、 のときである。例えば、準体に関連付けられた平面三元環は（構成により）線型である。 ${\displaystyle (R,T)}$ ${\displaystyle T(a,b,c)=(a\otimes b)\oplus c,\quad \forall a,b,c\in R}$

射影平面との関連

平面三元環を確立するための射影平面の座標

平面三元環 が与えられれば、点集合Pと直線集合Lを持つ射影平面を次のように構成できる: ^{[5] [6]} (は にはない追加の記号である ことに注意)。 ${\displaystyle (R,T)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle R}$

させて

• ${\displaystyle P=\{(a,b)|a,b\in R\}\cup \{(a)|a\in R\}\cup \{(\infty )\}}$、 そして
• ${\displaystyle L=\{[a,b]|a,b\in R\}\cup \{[a]|a\in R\}\cup \{[\infty ]\}}$。

次に、次のようにして発生関係を定義します。 ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle ((a,b),[c,d])\in I\Longleftrightarrow T(a,c,d)=b}$

${\displaystyle ((a,b),[c])\in I\Longleftrightarrow a=c}$

${\displaystyle ((a,b),[\infty ])\notin I}$

${\displaystyle ((a),[c,d])\in I\Longleftrightarrow a=c}$

${\displaystyle ((a),[c])\notin I}$

${\displaystyle ((a),[\infty ])\in I}$

${\displaystyle ((\infty ),[c,d])\notin I}$

${\displaystyle ((\infty ),[a])\in I}$

${\displaystyle ((\infty ),[\infty ])\in I}$

適切な平面三元環から出発して、あらゆる射影平面をこのように構成できる。しかし、2つの非同型平面三元環から同型射影平面を構成することもできる。

逆に、任意の射影平面 π が与えられたとき、o、e、u、vの 4 つの点（いずれの点も同一直線上にはない）を選ぶことによって、 π に座標を導入することができる。その結果、これらの特別な点には、o = (0,0)、e = (1,1)、v = ( )、u = (0) の座標が与えられる。^[7]三項演算は、 を除く座標記号上で、点 ( x 、 y ) が ( a ) と (0, b ) を結んだ直線上にある場合に限り、 y = T( x 、 a 、 b ) によって定義される。射影平面を定義する公理は、これが平面三元環を与えることを示すために使用される。 ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

PTRの線形性は、関連する射影平面において成り立つ幾何学的条件と同等である。^[8]

直感

平面三元環（PTR）と2次元幾何学、特に射影幾何学とアフィン幾何学との関係は、まずアフィン幾何学の場合を調べることで最もよく説明されます。アフィン幾何学では、平面上の点は直交座標を用いて記述されます。この方法は、非デザルグ幾何学にも適用できます。非デザルグ幾何学では、座標成分は常にPTRの構造に従うことが示されます。対照的に、射影幾何学で典型的に用いられる同次座標は、非デザルグ幾何学では使用できません。したがって、射影平面を構築する最も単純な解析的方法は、アフィン平面から始めて、「無限遠直線」を追加することでそれを拡張することです。これは同次座標を回避します。

アフィン平面において、平面がデザルグ平面である場合、直線は傾きと切片の形式 で表すことができます。この表現は、PTRの三項演算を通じて非デザルグ平面にも拡張され、直線は と表すことができます。y軸に平行な直線は で表されます。 ${\displaystyle y=mx+c}$ ${\displaystyle y=T(x,m,c)}$ ${\displaystyle x=c}$

ここで、このセクションの冒頭で示した一般的な射影平面の解析的表現を導出する方法を示します。そのためには、 と表されるアフィン平面から、無限遠直線を追加することによって射影平面 の表現に移行します。正式には、射影平面は と記述されます。ここで、 は直交座標におけるアフィン平面を表し、すべての有限点を含み、 は無限遠直線を表します。同様に、は と表されます。ここで、はアフィン直線であり、これに独自の直交座標系が与えられ、そのアフィン直線上にない単一の点で構成されます。この単一の点は、記号 を使って表されます。 ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{2}:=R^{2}\cup R\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{1}:=R^{1}\cup R\mathbb {P} ^{0}}$ ${\displaystyle R^{1}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{0}}$ ${\displaystyle \infty }$

関連する代数構造

追加の代数的条件を満たすPTRには、別の名前が付けられます。これらの名前は文献において一貫して用いられているわけではありません。以下の名前と特性のリストは、Dembowski (1968, p. 129) から引用したものです。

加法ループが結合的である線型PTR （したがって群）は、カルティシアン群と呼ばれる。カルティシアン群では、写像

${\displaystyle x\longrightarrow -x\otimes a+x\otimes b}$、 そして ${\displaystyle x\longrightarrow a\otimes x-b\otimes x}$

は常に順列でなければなりません。カルティシアン群は加法による群なので、加法演算には単純な「+」を使用します。 ${\displaystyle a\neq b}$

擬体とは、右分配法則を満たす直角群である。任意の擬体における加法は可換である。 ${\displaystyle (x+y)\otimes z=x\otimes z+y\otimes z}$

半体とは左分配法則も満たす準体である。 ${\displaystyle x\otimes (y+z)=x\otimes y+x\otimes z.}$

平面近傍場は、乗法ループが結合的（したがって群）である準場です。すべての近傍場が平面近傍場であるわけではありません。

注記

1. ホール 1943
2. ヒューズ＆パイパー 1973、p.113、Thm.5.1。
3. ヒューズ＆パイパー 1973、p. 118、定理5.4
4. 文献では、この定義には2つのバージョンがあります。Hall (1959, p. 355)、Albert & Sandler (1968, p. 50)、Dembowski (1968, p. 128) が用いているのに対し、Hughes & Piper (1973, p. 117)、Pickert (1975, p. 38)、Stevenson (1972, p. 274) は、この定義を用いています。この違いは、これらの著者が平面を座標化する方法が異なることに起因しています。 ${\displaystyle a\oplus b=T(1,a,b)}$
5. RH Bruck,ユークリッド平面幾何学の基礎における最近の進歩、アメリカ数学月刊誌、第66巻、pp. 2-17 (1955) 付録I。
6. ホール 1943, p.247 定理5.4
7. これはいくつかの方法で行うことができます。Hall (1943) が用いた方法の簡潔な説明は、Dembowski (1968, p. 127) に記載されています。
8. デンボウスキー 1968, 129ページ

参考文献

• アルバート、A. エイドリアン；サンドラー、ルーベン (1968). 『有限射影平面入門』ニューヨーク：ホルト、ライナーハート、ウィンストン社。
• アーツィー、ラファエル(2008) [1965]、「第4章 公理的平面幾何学」、線形幾何学、ドーバー、ISBN 978-0-486-46627-9
• Benz, Walter; Ghalieh, Khuloud (1998)「射影平面の三元環に関連する群素」、Journal of Geometry、61 ( 1–2 ): 17– 31、doi :10.1007/bf01237490、S2CID  123135402
• Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 44、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-61786-8、MR  0233275
• Grari, A. (2004)、「二つの平面三元環が同型射影平面を誘導するための必要十分条件」、Arch. Math. (Basel)、83 (2): 183– 192、doi :10.1007/s00013-003-4580-9、S2CID  122203312
• ホール、マーシャル、ジュニア (1943)、「射影平面」、アメリカ数学会誌、54 (2)、アメリカ数学会: 229– 277、doi : 10.2307/1990331、ISSN  0002-9947、JSTOR  1990331、MR  0008892{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• ホール、マーシャル・ジュニア（1959年）『群論』ニューヨーク：マクミラン社、MR  0103215
• ヒューズ, DR (1955)、「平面三元環の加法ループと乗法ループ」、アメリカ数学会誌、6 (6): 973– 980、doi : 10.1090/s0002-9939-1955-0073568-8、MR  0073568
• ヒューズ、ダニエル・R.; パイパー、フレッド・C. (1973) 『射影平面』、大学院数学テキスト(6)、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0387900446、MR  0333959
• Martin, GE (1967)、「射影平面と同位体三元環」、アメリカ数学月刊誌、74 (10): 1185– 1195、doi :10.2307/2315659、hdl : 10338.dmlcz/101204、JSTOR  2315659、MR  0223972
• Pickert、Günter (1975)、Projektive Ebenen、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3540072802
• スティーブンソン、フレデリック（1972年）『射影平面』サンフランシスコ：WHフリーマン・アンド・カンパニー、ISBN 071670443-9

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