ハーゲン・ポアズイユ方程式

Law describing the pressure drop in an incompressible and Newtonian fluid

流体力学において、ハーゲン・ポアズイユの法則、ポアズイユの法則、ポアズイユ方程式とも呼ばれるハーゲン・ポアズイユの式は、一定断面積の長い円筒管を流れる層流における非圧縮性ニュートン流体の圧力降下を与える物理法則です。これは、肺胞内の空気の流れ、またはストローや皮下注射針を通る流れにうまく適用できます。この法則は、 1838年にジャン・レオナール・マリー・ポアズイユ^[1]とゴットヒルフ・ハインリヒ・ルートヴィヒ・ハーゲン[ ^2]によって独立に実験的に導出され、1839年にハーゲン^[1]によって発表され、その後、1840～41年と1846年にポアズイユによって発表されました[1]。ポアズイユの法則の理論的根拠は、1845年にジョージ・ストークスによって示されました[ ^{3 ]。}

この式の仮定は、流体が非圧縮性かつニュートン流体であること、管径よりもかなり長い一定断面の円管を通る流れが層流であること、そして管内で流体の加速がないことです。速度と管径が閾値を超える場合、実際の流体の流れは層流ではなく乱流となり、ハーゲン・ポアズイユの式で計算されるよりも大きな圧力降下が生じます。

ポアズイユの法則は流体の粘性による圧力降下を記述するものです。流体では他の種類の圧力降下も発生する可能性があります（ここでデモンストレーションをご覧ください）。 ^[4]例えば、粘性流体を重力に逆らって押し上げるために必要な圧力には、ポアズイユの法則に必要な圧力とベルヌーイの法則に必要な圧力の両方が含まれるため、流体のどの点でも圧力はゼロより大きくなります（そうでなければ流れは発生しません）。

もう一つの例として、血液がより狭い狭窄部に流入する場合、その速度はより大きな直径の場合よりも速くなります（体積流量の連続性のため）。また、圧力はより大きな直径の場合よりも低くなります^[4]（ベルヌーイの法則のため）。しかし、血液の粘性により、流れの方向に沿って圧力降下が生じます。この圧力降下は、移動距離に比例します[ ^4]（ポアズイユの法則による）。これらの両方の効果が、実際の圧力降下に寄与します。

方程式

標準的な流体力学表記法では：^{[5] [6] [7]}

${\displaystyle \Delta p={\frac {8\mu LQ}{\pi R^{4}}}={\frac {8\pi \mu LQ}{A^{2}}},}$

どこ

Δ pは両端間の圧力差であり、

Lはパイプの長さ、

μは動粘度であり、

Qは体積流量、

Rはパイプの半径、

Aはパイプの断面積です。

この式はパイプの入口付近では成立しない。^{[8] : 3}

この式は、低粘性、幅広、短配管の限界では成立しません。低粘性や幅広配管では乱流が発生する可能性があり、ダルシー・ワイスバッハの式のようなより複雑なモデルを使用する必要があります。ハーゲン・ポアズイユの法則が成立するためには、配管の長さと半径の比がレイノルズ数の1/48より大きくなければなりません。 ^{[9]配管が短すぎる場合、ハーゲン・ポアズイユの式は物理的に不可能なほど高い流量をもたらす可能性があります。流れは}ベルヌーイの原理によって制限されますが、より制限の少ない条件下では、

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p={\frac {1}{2}}\rho {\overline {v}}_{\text{max}}^{2}&={\frac {1}{2}}\rho \left({\frac {Q_{\text{max}}}{\pi R^{2}}}\right)^{2}\\\Rightarrow \quad Q_{\max }{}&=\pi R^{2}{\sqrt {\frac {2\Delta p}{\rho }}},\end{aligned}}}$

非圧縮性の流れでは 負の（絶対）圧力（ゲージ圧と混同しないでください）を持つことは不可能だからです。

ダルシー・ワイスバッハ方程式との関係

通常、ハーゲン・ポアズイユ流れは、上記の圧力降下の関係だけでなく、放物線状である層流プロファイルの完全な解も意味します。しかし、乱流の場合の有効乱流粘性を推定することにより、圧力降下の結果は乱流に拡張できます。ただし、乱流の流れプロファイルは厳密に言えば実際には放物線ではありません。層流でも乱流でも、圧力降下は壁の応力と関連しており、壁の応力がいわゆる摩擦係数を決定します。壁応力は、摩擦係数とレイノルズ数の関係が与えられれば、水力学の分野におけるダルシー・ワイスバッハの式によって現象的に決定できます。層流の場合、円形断面では次のようになります。

${\displaystyle \Lambda ={\frac {64}{\mathrm {Re} }},\quad \mathrm {Re} ={\frac {\rho vd}{\mu }},}$

ここで、Reはレイノルズ数、ρは流体の密度、vは平均流速で、層流の場合は最大流速の半分です。レイノルズ数を平均流速で定義すると、乱流の場合でもこの量が明確に定義されるのに対し、最大流速は明確に定義できないか、いずれにしても推測が難しいため、より有用です。この形式では、この法則は、円筒管内を非常に低速で流れる層流のダルシー摩擦係数、エネルギー（ヘッド）損失係数、摩擦損失係数、またはダルシー（摩擦）係数 Λを近似します。この法則のわずかに異なる形式の理論的導出は、1856年に Wiedman と 1858 年（1859、1860 年）に Neumann と E. Hagenbach によって独立して行われました。Hagenbach は、こ​​の法則をポアズイユの法則と呼んだ最初の人物でした。

この法則は、生理学の分野である血液レオロジーや血行動態学においても非常に重要です。^[10]

ポアズイユの法則は、1891 年にハーゲンバッハの研究に基づいて L. R. ウィルバーフォースによって乱流に拡張されました。

導出

ハーゲン・ポアズイユ方程式は、ナビエ・ストークス方程式から導出できます。均一な（円形）断面を持つパイプを通る層流は、ハーゲン・ポアズイユ流として知られています。ハーゲン・ポアズイユ流を支配する方程式は、以下の一連の仮定を置くことで、 3次元円筒座標 （r、θ、x）におけるナビエ・ストークス運動量方程式から直接導出できます。

1. 流れは安定している（⁠∂.../∂ t⁠ = 0 )。
2. 流体速度の半径方向成分と方位角成分はゼロです（u _r = u _θ = 0）。
3. 流れは軸対称である（⁠∂.../∂θ​⁠ = 0 )。
4. 流れが完全に発達している（⁠∂ u _x/∂ x⁠ = 0）。ただし、ここでは質量保存則と上記の仮定によってこれを証明できます。

すると、運動量方程式の角方程式と連続方程式は等式的に満たされる。動径運動量方程式は次のように簡約される。∂ p/∂ r⁠ = 0、つまり圧力 pは軸座標xのみの関数である。簡潔にするために、の代わりにuを用いる。軸運動量方程式は次のように簡略化される。 ${\displaystyle u_{x}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)={\frac {1}{\mu }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}}$

ここで、 μは流体の動粘性である。上式において、左辺はrのみの関数であり、右辺はxのみの関数であるため、両項は同じ定数でなければならない。この定数の評価は簡単である。パイプの長さをLとし、パイプの両端の圧力差をΔp（高圧-低圧）とすると、定数は単純に

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\Delta p}{L}}=G}$

Gが正となるように定義される。解は

${\displaystyle u=-{\frac {Gr^{2}}{4\mu }}+c_{1}\ln r+c_{2}}$

u はr = 0で有限である必要があるため、c ₁ = 0 となります。パイプ壁における滑りなし境界条件では、 r = R (パイプの半径)でu = 0となるため、 c ₂ = ⁠となります。GR ²/4μ​⁠ . こうして、最終的に次の放物線状の 速度プロファイルが得られます。

${\displaystyle u={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right).}$

最大速度はパイプの中心線（r = 0）で発生し、u _max = ⁠GR ²/4μ​⁠。平均速度はパイプの断面積にわたって積分することで得られる。

${\displaystyle {u}_{\mathrm {avg} }={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}2\pi ru\mathrm {d} r={\tfrac {1}{2}}{u}_{\mathrm {max} }.}$

実験で容易に測定できる量は体積流量Q = π R ² u _avgである。これを整理するとハーゲン・ポアズイユの式が得られる。

${\displaystyle \Delta p={\frac {8\mu QL}{\pi R^{4}}}.}$

第一原理から直接始まる精巧な導出

ナビエ・ストークス方程式を直接使用するよりも長くなりますが、ハーゲン・ポアズイユ方程式を導く別の方法は次のとおりです。

パイプを通る液体の流れ

a)仮想的な薄層を示す管。b )管の断面は、異なる速度で移動する薄層を示している。管の端に近い薄層はゆっくりと移動し、中心に近い薄層は速く移動している。

液体が層流であると仮定する。円管内の層流とは、複数の円形の液体層（ラミナ）が存在し、それぞれの速度は管の中心からの半径距離によってのみ決定される。また、管の中心が最も速く移動し、管壁に接する液体は静止している（滑りなし条件のため）と仮定する。

液体の動きを理解するには、各層に作用するすべての力を知る必要があります。

1. 液体を管を通して押し出す圧力は、圧力変化と面積の積、すなわちF = − A Δ pです。この力は液体の運動方向と同方向です。負の符号は、 Δ p = p _end − p _top < 0と定義する従来の方法に由来します。
2. 粘性の影響により、チューブの中心に近い高速層から引っ張られることになります。
3. 粘性の影響は、チューブの壁のすぐ近くにある遅い層から発生します。

粘度

2つの流体がX方向に互いにすれ違う。上側の液体はより速く移動し、下側の液体によって負の方向に引っ張られる。一方、下側の液体は上側の液体によって正の方向に引っ張られる。

互いに接触している2つの液体層が異なる速度で移動すると、その間にせん断力が生じます。この力は接触面積Aと流れの方向に垂直な速度勾配に比例します。Δ v _x/Δ y⁠、比例定数（粘度）は次のように表される。

${\displaystyle F_{\text{viscosity, top}}=-\mu A{\frac {\Delta v_{x}}{\Delta y}}.}$

負の符号が付いているのは、図の上側の液体が、図の下側の液体によって減速されているからです。ニュートンの運動の第三法則によれば、遅い液体にかかる力は、速い液体にかかる力と等しく、反対方向の力（負の符号はありません）となります。この式は、接触面積が非常に大きいため、端からの影響を無視でき、流体がニュートン流体として振る舞うと仮定しています。

より速いラミナ

半径 rの薄板にかかる力を求めていると仮定します。上記の式から、接触面積と速度勾配を知る必要があります。薄板を半径r、厚さdr、長さΔ xのリングと考えてください。薄板と速度の速い方の薄板との接触面積は、単に円筒の表面積、つまりA = 2π r Δ xです。チューブ内の液体の速度の正確な形はまだわかりませんが、（上記の仮定から）半径に依存することはわかっています。したがって、速度勾配は、これら2つの薄板の交点における半径の変化に対する速度の変化です。その交点は半径rにあります。したがって、この力が液体の動きに対して正であること（ただし、速度の微分は負）を考慮すると、式の最終的な形は次のようになります。

${\displaystyle F_{\text{viscosity, fast}}=-2\pi r\mu \,\Delta x\,\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}}$

ここで、導関数の後の縦棒と下付き文字r は、半径rで導出されることを示します。

遅いラミナ

次に、遅い層からの抗力を求めましょう。速い層からの力と同じ値を計算する必要があります。この場合、接触面積はrではなくr + d rです。また、この力は液体の移動方向と反対方向であるため、負の値（速度の微分も負）になることを覚えておく必要があります。

${\displaystyle F_{\text{viscosity, slow}}=2\pi (r+\mathrm {d} r)\mu \,\Delta x\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r+\mathrm {d} r}}$

すべてをまとめると

管内を流れる層流の解を求めるには、最後にもう一つ仮定を置く必要があります。管内の液体は加速しておらず、ニュートンの第一法則により、正味の力は発生しません。正味の力が存在しないとすれば、すべての力を足し合わせてゼロになります。

${\displaystyle 0=F_{\text{pressure}}+F_{\text{viscosity, fast}}+F_{\text{viscosity, slow}}}$

または

${\displaystyle 0=-\Delta p2\pi r\,\mathrm {d} r-2\pi r\mu \,\Delta x\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}+2\pi (r+\mathrm {d} r)\mu \,\Delta x\,\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right\vert _{r+\mathrm {d} r}.}$

まず、すべてが同じ点で起こるようにするには、速度勾配のテイラー級数展開の最初の 2 つの項を使用します。

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r+\mathrm {d} r}=\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}+\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}\right|_{r}\,\mathrm {d} r.}$

この式はすべての層に対して有効である。すべての導関数が半径rにあると仮定しているので、同類項をグループ化し縦棒を省略すると、

${\displaystyle 0=-\Delta p2\pi r\,\mathrm {d} r+2\pi \mu \,\mathrm {d} r\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}+2\pi r\mu \,\mathrm {d} r\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}+2\pi \mu (\mathrm {d} r)^{2}\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}.}$

最後に、この式を微分方程式の形にして、 drの quadratic 項を削除します。

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}{\frac {\Delta p}{\Delta x}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}}$

上記の式はナビエ・ストークス方程式から得られる式と同じであり、ここからの導出は前と同じです。

パイプ内のポアズイユ流れの開始

一定の圧力勾配G = − ⁠d p/d x⁠ を長いパイプの両端に適用した場合、流れはすぐにポアズイユ分布を得るのではなく、時間の経過とともに発達し、定常状態でポアズイユ分布に達します。ナビエ・ストークス方程式は次のように帰着します。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {G}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)}$

初期条件と境界条件を用いて、

${\displaystyle u(r,0)=0,\quad u(R,t)=0.}$

速度分布は次のように表される。

${\displaystyle u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)-{\frac {2GR^{2}}{\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{3}}}{\frac {J_{0}(\lambda _{n}r/R)}{J_{1}(\lambda _{n})}}e^{-\lambda _{n}^{2}\nu t/R^{2}},\quad J_{0}\left(\lambda _{n}\right)=0}$

ここでJ ₀ ( ⁠λ _n r/R⁠ )は0次の第一種ベッセル関数であり、 λ _{n は}この関数の正根であり、 J ₁ ( λ _n )は1次の第一種ベッセル関数である。t → ∞のとき、ポアズイユ解が回復する。 ^[11]

環状断面におけるポアズイユ流れ

環状断面におけるポアズイユ流れ

R ₁が内筒の半径、R 2_が外筒の半径で、両端の間に一定の圧力勾配G = − ⁠d p/d x⁠、環状パイプを通る速度分布と体積流束は

${\displaystyle {\begin{aligned}u(r)&={\frac {G}{4\mu }}\left(R_{1}^{2}-r^{2}\right)+{\frac {G}{4\mu }}\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right){\frac {\ln(r/R_{1})}{\ln(R_{2}/R_{1})}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi }{8\mu }}\left[R_{2}^{4}-R_{1}^{4}-{\frac {\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right)^{2}}{\ln(R_{2}/R_{1})}}\right].\end{aligned}}}$

R ₂ = RかつR ₁がゼロに近づくと、元の問題に戻ります。^[12]

振動圧力勾配を有するパイプ内のポアズイユ流れ

振動圧力勾配を有するパイプを通る流れは、大動脈を通る血流に応用されている。^{[13] [14] [15] [16]}課せられた圧力勾配は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-G-\alpha \cos \omega t-\beta \sin \omega t}$

ここで、 G、α、βは定数、ωは周波数である。速度場は次のように与えられる。

${\displaystyle u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+[\alpha F_{2}+\beta (F_{1}-1)]{\frac {\cos \omega t}{\rho \omega }}+[\beta F_{2}-\alpha (F_{1}-1)]{\frac {\sin \omega t}{\rho \omega }}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {ber} (kR)+\mathrm {bei} (kr)\mathrm {bei} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\\[6pt]F_{2}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {bei} (kR)-\mathrm {bei} (kr)\mathrm {ber} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\end{aligned}}}$

ここで、 berとbeiはケルビン関数であり、k ² = ⁠ρω/μ⁠。

平面ポアズイユ流れ

平面ポアズイユ流れ

平面ポアズイユ流れは、距離hで隔てられた2枚の無限に長い平行板の間に生じる流れであり、圧力勾配G = − ⁠d p/d x⁠は流れの方向に適用されます。流れは無限長であるため、本質的に一方向です。ナビエ・ストークス方程式は次のように簡約されます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }}}$

両方の壁が滑り止め状態

${\displaystyle u(0)=0,\quad u(h)=0}$

したがって、速度分布と単位長さあたりの体積流量は

${\displaystyle u(y)={\frac {G}{2\mu }}y(h-y),\quad Q={\frac {Gh^{3}}{12\mu }}.}$

いくつかの非円形断面を通るポアズイユ流れ

ジョセフ・ブシネスクは1868年に長方形の流路と正三角形の断面を持つ管、そして楕円形の断面を持つ管の速度プロファイルと体積流量を導出した。^[17] ジョセフ・プラウドマンは1914年に二等辺三角形について同様の結果を導出した。^[18] G = − ⁠d p/d x⁠動きと平行な方向に作用する一定の圧力勾配とする。

高さ0 ≤ y ≤ h、幅0 ≤ z ≤ lの長方形チャネル内の速度と体積流量は、

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}y(h-y)-{\frac {4Gh^{2}}{\mu \pi ^{3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{3}}}{\frac {\sinh(\beta _{n}z)+\sinh[\beta _{n}(l-z)]}{\sinh(\beta _{n}l)}}\sin(\beta _{n}y),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{h}},\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{3}l}{12\mu }}-{\frac {16Gh^{4}}{\pi ^{5}\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{5}}}{\frac {\cosh(\beta _{n}l)-1}{\sinh(\beta _{n}l)}}.\end{aligned}}}$

辺の長さが⁠の正三角形の断面を持つ管の速度と体積流量2時間/√3​⁠は

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&=-{\frac {G}{4\mu h}}(y-h)\left(y^{2}-3z^{2}\right),\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{4}}{60{\sqrt {3}}\mu }}.\end{aligned}}}$

直角二等辺三角形y = π、y ± z = 0における速度と体積流量は

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}(y+z)(\pi -y)-{\frac {G}{\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{3}\sinh(2\pi \beta _{n})}}\left\{\sinh[\beta _{n}(2\pi -y+z)]\sin[\beta _{n}(y+z)]-\sinh[\beta _{n}(y+z)]\sin[\beta _{n}(y-z)]\right\},\quad \beta _{n}=n+{\tfrac {1}{2}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi ^{4}}{12\mu }}-{\frac {G}{2\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{5}}}\left[\coth(2\pi \beta _{n})+\csc(2\pi \beta _{n})\right].\end{aligned}}}$

半軸aとbを持つ楕円断面の管の速度分布は^[11]である。

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu \left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}}\left(1-{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}\right),\\[6pt]Q&={\frac {\pi Ga^{3}b^{3}}{4\mu \left(a^{2}+b^{2}\right)}}.\end{aligned}}}$

ここで、a = bの場合には円管のポアズイユ流れが再現され、a → ∞の場合には平面ポアズイユ流れが再現される。また、カタツムリ状断面、半円に続くノッチ円形状断面、同心楕円間の環状断面、非同心円間の環状断面といった断面を用いたより明示的な解法も利用可能であり、Ratip Berker  [tr; de]によってレビューされている。^{[19] [20]}

任意の断面を通るポアズイユ流れ

任意の断面u ( y , z )を通る流れは、壁面上でu = 0という条件を満たす。支配方程式は^{[21]のように簡約される。}

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }}.}$

新たな従属変数を導入すると、

${\displaystyle U=u+{\frac {G}{4\mu }}\left(y^{2}+z^{2}\right),}$

すると、問題はラプラス方程式を積分することで簡単にわかる。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0}$

条件を満たす

${\displaystyle U={\frac {G}{4\mu }}\left(y^{2}+z^{2}\right)}$

壁に。

理想等温気体のポアズイユの式

管内の圧縮性流体の場合、体積流量 Q ( x )と軸方向速度は管に沿って一定ではないが、質量流量は管の長さに沿って一定である。体積流量は通常、出口圧力で表す。流体が圧縮または膨張すると、仕事が行われ、流体は加熱または冷却される。これは、流量が流体への熱伝達と流体からの熱伝達に依存することを意味する。流体の温度が周囲温度と平衡状態にある等温の理想気体の場合、圧力降下の近似的な関係式を導くことができる。 ^[22]定温過程（すなわち、は一定）における理想気体の状態方程式と質量流量保存則（すなわち、は一定）を用いると、 Qp = Q ₁ p ₁ = Q ₂ p ₂の関係が得られる。管の短い区間では、管を流れるガスは非圧縮性であると仮定できるため、ポアズイユの法則を局所的に適用することができる。 ${\displaystyle p/\rho }$ ${\displaystyle {\dot {m}}=\rho Q}$

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {8\mu Q}{\pi R^{4}}}={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi pR^{4}}}\quad \Rightarrow \quad -p{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}.}$

ここでは、局所的な圧力勾配は圧縮性の影響を及ぼさないほど大きくないと仮定しました。局所的には密度変化による圧力変化の影響を無視しましたが、長距離ではこれらの影響を考慮します。μは圧力に依存しないため、上記の式を長さLにわたって積分すると、

${\displaystyle p_{1}^{2}-p_{2}^{2}={\frac {16\mu LQ_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}.}$

したがって、パイプ出口における体積流量は次のように表される。

${\displaystyle Q_{2}={\frac {\pi R^{4}}{16\mu L}}\left({\frac {p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{p_{2}}}\right)={\frac {\pi R^{4}\left(p_{1}-p_{2}\right)}{8\mu L}}{\frac {\left(p_{1}+p_{2}\right)}{2p_{2}}}.}$

この式は、追加の補正係数を伴うポアズ​​イユの法則と見ることができる。p ₁ + p ₂/2ページ_2ページ⁠出口圧力に対する平均圧力を表します。

電気回路のアナロジー

電気はもともと流体の一種であると理解されていました。この水力学のアナロジーは、回路を理解する上で概念的に今でも有用です。このアナロジーは、回路ツールを用いて流体機械ネットワークの周波数応答を研究する際にも用いられ、この場合、流体ネットワークは水力回路と呼ばれます。ポアズイユの法則は、電気回路におけるオームの法則、 V = IRに対応します。流体に作用する正味の力はΔ F = S Δ p （ S = π r ²、すなわちΔ F = π r ² Δ P）に等しいため、ポアズイユの法則から次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \Delta F={\frac {8\mu LQ}{r^{2}}}}$。

電気回路の場合、nを自由荷電粒子の濃度（m ⁻³）、q *を各粒子の電荷（クーロン）とします。（電子の場合、q * = e =1.6 × 10 ⁻¹⁹  C） nQは体積Q内の粒子数、 nQq *はそれらの総電荷です。これは単位時間あたりに断面積を流れる電荷、つまり電流 Iです。したがって、 I = nQq *です。したがって、 Q = ⁠私/いいえ*⁠、そして

${\displaystyle \Delta F={\frac {8\mu LI}{nr^{2}q^{*}}}.}$

しかし、Δ F = Eqであり、qは管の体積内の総電荷量である。管の体積はπ r ² Lに等しいので、この体積内の荷電粒子の数はn π r ² Lに等しく、それらの総電荷量はq = n π r ² Lq *である。電圧 V = ELなので、

${\displaystyle V={\frac {8\mu LI}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)^{2}}}.}$

これはまさにオームの法則であり、抵抗 R = ⁠V/私⁠は次の式で表されます

${\displaystyle R={\frac {8\mu L}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)^{2}}}}$。

抵抗Rは抵抗器の長さLに比例するということは正しい。しかし、抵抗Rは半径rの4乗に反比例する。つまり、抵抗Rは抵抗器の断面積S = π r ²の2乗に反比例する。これは電気的な公式とは異なる。抵抗に関する電気的な関係式は以下の通りである。

${\displaystyle R={\frac {\rho L}{S}},}$

ここでρは抵抗率、つまり抵抗Rは抵抗器の断面積Sに反比例する。 ^{[23]ポアズイユの法則が抵抗}Rについて異なる式を導く理由は、流体の流れと電流の違いである。電子ガスは非粘性であるため、その速度は導体の壁までの距離に依存しない。抵抗は流れる電子と導体の原子との相互作用による。したがって、ポアズイユの法則と水力のアナロジーは、電気に適用する場合は、一定の範囲内でのみ有用である。オームの法則とポアズイユの法則はどちらも輸送現象を説明する。

医療用途 - 静脈アクセスと輸液供給

ハーゲン・ポアズイユの式は、様々なサイズの末梢カニューレおよび中心カニューレを用いて達成できる血管抵抗、ひいては静脈内（IV）液の流量を決定するのに役立ちます。この式によれば、流量は半径の4乗に比例します。つまり、カニューレの内径をわずかに大きくするだけで、IV液の流量が大幅に増加することを意味します。IVカニューレの半径は通常「ゲージ」で測定され、これは半径に反比例します。末梢IVカニューレは通常、（大きいものから小さいものの順に）14G、16G、18G、20G、22G、26Gで提供されています。例えば、カニューレの長さが同じであると仮定すると、14Gカニューレの流量は16Gカニューレの1.73倍、20Gカニューレの4.16倍になります。また、流量は長さに反比例するため、ラインが長いほど流量は低くなります。これは、緊急時には多くの臨床医が長くて細いカテーテルよりも短くて太いカテーテルを好むため、覚えておくことが重要です。臨床的にそれほど重要ではありませんが、流体バッグに圧力をかける、バッグを圧迫する、またはバッグを（カニューレの高さに対して）高く吊るすなどして圧力変化（ ∆ p ）を大きくすると、流量を速めることができます。粘性のある流体は遅く流れることを理解しておくことも有用です（例：輸血）。抗生物質や鎮痛剤などの流体をエラストマーポンプで送達することも、ポアズイユ流モデルの観点から理解できます。^[要出典]

参照

• クエットフロー
• ダーシーの法則
• パイプフロー
• 脈
• 波
• 油圧回路
• オストロモフ流

引用文献

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参考文献

• Sutera, SP; Skalak, R. (1993). 「ポアズイユの法則の歴史」. Annual Review of Fluid Mechanics . 25 : 1– 19. Bibcode :1993AnRFM..25....1S. doi :10.1146/annurev.fl.25.010193.000245.。
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• Bennett, CO; Myers, JE (1962).運動量、熱、および質量移動. McGraw-Hill.。

外部リンク

• べき乗則非ニュートン流体のポアズイユの法則
• わずかに先細りした管におけるポアズイユの法則
• ハーゲン・ポアズイユ方程式計算機

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