ポアソン極限定理

確率論において、稀事象の法則、あるいはポアソン極限定理は、ある条件下ではポアソン分布が二項分布の近似として使用できることを述べています。 ^{[ 1 ]}この定理はシメオン・ドニ・ポアソン（1781–1840）にちなんで名付けられました。この定理の一般化はル・カムの定理です。

定理

が有限極限に収束するようなにおける実数列であるとする。このとき、 $p_{n}$ $[0,1]$ $np_{n}$ $\lambda$

\lim _{n\to \infty}{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{nk}=e^{-\lambda}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}

仮定する（ケースは簡単だ）。すると $\lambda >0$ $\lambda =0$

{\begin{aligned}\lim \limits _{n\rightarrow \infty}{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{nk}&=\lim _{n\to \infty}{\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}\left({\frac {\lambda}{n}}(1+o(1))\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda}{n}}(1+o(1))\right)^{nk}\\&=\lim _{n\to \infty}{\frac {n^{k}+O\left(n^{k-1}\right)}{k!}}}{\frac {\lambda ^{k}}{n^{k}}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}.\end{aligned}}

以来

\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}=e^{-\lambda }

これにより

{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.}

スターリング近似を使用すると、次のように書くことができます。

{\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&={\frac {n!}{(nk)!k!}}p^{k}(1-p)^{nk}\\&\simeq {\frac {{\sqrt {2\pin}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{{\sqrt {2\pi \left(nk\right)}}\left({\frac {nk}{e}}\right)^{nk}k!}}p^{k}(1-p)^{nk}\\&={\sqrt {\frac {n}{nk}}}{\frac {n^{n}e^{-k}}{\left(nk\right)^{nk}k!}}p^{k}(1-p)^{nk}.\end{aligned}}

賃貸と： $n\to \infty$ $np=\lambda$

{\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&\simeq {\frac {n^{n}\,p^{k}(1-p)^{nk}e^{-k}}{\left(nk\right)^{nk}k!}}\\&={\frac {n^{n}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{nk}e^{-k}}{n^{nk}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{nk}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{nk}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{nk}k!}}\\&\simeq {\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n}k!}}.\end{aligned}}

なので、次のようになります。 $n\to \infty$ $\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}\to e^{-x}$

{\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }e^{-k}}{e^{-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\end{整列}}

二項分布の通常の生成関数を使用して定理を証明することもできます。

G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)\equiv \sum _{k=0}^{N}\left[{\binom {N}{k}}p^{k}(1-p)^{Nk}\right]x^{k}={\Big [}1+(x-1)p{\Big ]}^{N}

二項定理により、積を一定に保ちながら極限をとると、次の式が得られます。 $N\rightarrow\infty$ $pN\equiv \lambda$

\lim _{N\rightarrow \infty }G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)=\lim _{N\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {\lambda (x-1)}{N}}\right]^{N}=\mathrm {e} ^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]x^{k}