ポーカーの確率

ポーカーでは、5 枚のカードの各タイプのハンドの確率は、すべての可能なハンドの中でのそのタイプのハンドの割合を計算することによって計算できます。

歴史

確率とギャンブルは、ポーカーが発明されるずっと前から考えられていました。1400 年代後半の確率論の発展はギャンブルに起因すると考えられていました。高額の賭け金でゲームをプレイする場合、プレーヤーは勝つ可能性がどれくらいかを知りたかったのです。1494 年、フラ・ルカ・パチョーリは、確率に関する最初の書かれたテキストである著書「算術、幾何学、比例、比例法」を発表しました。パチョーリの研究に刺激を受けたジローラモ・カルダーノ(1501–1576) は、確率論をさらに発展させました。1550 年の彼の著書「ギャンブルの書」では、確率の概念と、それがギャンブルとどのように直接関係しているかについて論じました。しかし、彼の研究は死後に出版されたため、すぐには評価されませんでした。ブレーズ・パスカル(1623–1662) も確率論に貢献しました。友人のシュヴァリエ・ド・メレは熱心なギャンブラーで、ギャンブルで富を得ることを目標としていました。ド・メレはギャンブルに新しい数学的アプローチを試しましたが、期待した結果は得られませんでした。自分の戦略がうまくいかなかった理由を突き止めようと、パスカルに相談しました。パスカルのこの問題研究は、彼と数学者のピエール・ド・フェルマー（1601–1665）の間で重要な書簡の始まりとなりました。手紙を通して二人は意見を交換し続けました。これらの交流は、基礎的な確率論の構想につながりました。今日でも多くのギャンブラーは、ギャンブルにおいて情報に基づいた判断を下すために、確率論の基本概念に依拠しています。^[1]^[2]

周波数

5枚のポーカーハンド

ストレートポーカーや5 カードドローでは、ホールカードはなく、プレイヤーには 52 枚のカードデッキから 5 枚のカードが配られるだけです。

以下の表は、52枚のフルデッキからランダムに5枚のカードを抜き出し、その組み合わせを全て考慮した上で、各ハンドの（絶対）出現頻度を列挙したものです。ワイルドカードは考慮されていません。この表では、以下のようになります。

異なる手札とは、異なるスーツのカードではなく、手札の引き方の数です。特に、同じカードが複数枚ある場合は、1回だけカウントされ、複数回カウントされることはありません。
頻度とは、異なるスーツで同じカードの値を含む、手札を引く方法の数です。
与えられた役が配られる確率は、その役の配られる数（頻度）を5枚のカードの配られる数（標本空間; ）で割ることによって計算されます。例えば、ロイヤルフラッシュは4通りの配られ方（各スーツにつき1通り）があるので、確率は⁠ ${\textstyle {52 \choose 5}=2{,}598{,}960}$ 4/2,598,960⁠、つまり649,740回に1回です。つまり、この手札が引かれる確率は649,740回に1回、つまり約0.000154%と予想されます。
累積確率とは、指定されたハンドと同等かそれ以上のハンドを引く確率を指します。例えば、スリーカードを引く確率は約2.11%ですが、スリーカードと同等以上のハンドを引く確率は約2.87%です。累積確率は、あるハンドの確率と、それより上のハンドの確率を合計することで算出されます。
オッズは、手札が引けない可能性の数と、手札が引ける可能性の数の比として定義されます。統計学では、これはオッズ・アゲインストと呼ばれます。例えば、ロイヤルフラッシュの場合、ロイヤルフラッシュが出る可能性は4通り、それ以外の可能性は2,598,956通りあるため、ロイヤルフラッシュが出ない可能性は2,598,956 : 4、つまり649,739 : 1となります。オッズを求める式は(1/p) – 1 : 1とも表され、pは前述の確率です。
確率、累積確率、オッズに与えられた値は、簡潔にするために切り上げられています。ただし、個別のハンドと頻度の値は正確です。

ほとんどの科学計算用電卓のnCr関数またはnCk関数を使用して、手持ち周波数を計算できます。たとえば、nCrとを入力する52と、上記のようになります。5 ${\textstyle {52 \choose 5}=2{,}598{,}960}$

手	はっきりとした手	頻度	確率	累積確率	不利な状況	絶対頻度の数学的表現
ロイヤルフラッシュ	1	4	0.000154%	0.000154%	649,739 : 1	${4 \choose 1}$
ストレートフラッシュ（ロイヤルフラッシュを除く）	9	36	0.00139%	0.00154%	72,192.33 : 1	${10 \choose 1}{4 \choose 1}-{4 \choose 1}$
フォー・オブ・ア・カインド	156	624	0.02401%	0.0255%	4,164 : 1	${13 \choose 1}{4 \choose 4}{12 \choose 1}{4 \choose 1}$
フルハウス	156	3,744	0.1441%	0.17%	693.1667 : 1	${13 \choose 1}{4 \choose 3}{12 \choose 1}{4 \choose 2}$
フラッシュ（ロイヤルフラッシュとストレートフラッシュを除く）	1,277	5,108	0.1965%	0.37%	507.8019 : 1	${13 \choose 5}{4 \choose 1}-{10 \choose 1}{4 \choose 1}$
ストレート（ロイヤルフラッシュとストレートフラッシュを除く）	10	10,200	0.3925%	0.76%	253.8 : 1	${10 \choose 1}{4 \choose 1}^{5}-{10 \choose 1}{4 \choose 1}$
スリーオブアカインド	858	54,912	2.1128%	2.87%	46.32955 : 1	${13 \choose 1}{4 \choose 3}{12 \choose 2}{4 \choose 1}^{2}$
2組	858	123,552	4.7539%	7.63%	20.03535 : 1	${13 \choose 2}{4 \choose 2}^{2}{11 \choose 1}{4 \choose 1}$
1組	2,860	1,098,240	42.2569%	49.9%	1.366477 : 1	${13 \choose 1}{4 \choose 2}{12 \choose 3}{4 \choose 1}^{3}$
ペアなし/ ハイカード	1,277	1,302,540	50.1177%	100%	0.9953015 : 1	$\left[{13 \choose 5}-{10 \choose 1}\right]\left[{4 \choose 1}^{5}-{4 \choose 1}\right]$
合計	7,462	2,598,960	100%	---	0 : 1	${52 \choose 5}$

ロイヤルフラッシュはストレートフラッシュの一種です。4通り（各スーツにつき1通り）の出現が可能で、確率は0.000154%、オッズは649,739:1です。

エースローストレートとエースローストレートフラッシュをカウントしない場合、それぞれの確率は低下します。ストレートとストレートフラッシュは、それぞれ通常の9/10の確率になります。4つのストレートフラッシュがフラッシュになり、1,020のストレートがペアなしになります。

ポーカーではスーツの相対的な価値はないため、スーツを入れ替えることで片方のハンドがもう片方のハンドに変換できる場合、2つのハンドは同一とみなされます。例えば、3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠は、3♦ 7♦ 8♦ Q♥ A♥と同一のハンドです。これは、最初のハンドのクラブをすべてダイヤに、スペードをすべてハートに置き換えると、2番目のハンドが得られるためです。したがって、スーツの相対的な価値を無視した同一ハンドを除外すると、異なるハンドは134,459通りしかありません。

ポーカーの異なるハンドの数はさらに少なくなります。例えば、3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠と3♦ 7♣ 8♦ Q♥ A♥は、スーツの割り当てを無視した場合、片方のハンドには3つのスーツがあり、もう片方のハンドには2つのスーツしかないため、同一のハンドではありません。この違いは、さらにカードが続く場合、それぞれのハンドの相対的な価値に影響を与える可能性があります。しかし、この観点からは同一ではないとしても、どちらもAQ-8-7-3のハイカードハンドであるため、同等のポーカーハンドを形成します。ポーカーのハンドは7,462種類あります。

7枚のカードのポーカーハンド

最も普及しているポーカーの一種であるテキサスホールデムなどのポーカーの人気のあるバリエーションでは、 ^[3]プレイヤーは7枚のカードの中から最高の5枚のポーカーハンドを使用します。

頻度の計算方法は5枚の場合とほぼ同じですが^[4] 、 7枚の場合は2枚の追加カードがあるため、計算が複雑になります。7枚の場合の異なるハンドの総数はです。注目すべきは、ノーペアのハンドの確率がワンペアやツーペアのハンドの確率よりも低いことです。 ${\textstyle {52 \choose 7}=133{,}784{,}560}$

エースハイストレートフラッシュまたはロイヤルフラッシュは、残りの 2 枚のカードがどのような値でもかまわないため、ローストレートフラッシュ (それぞれ 4140) よりも若干頻度が高くなります (4324)。たとえば、キングハイストレートフラッシュでは、そのスートのエースを手に持つことはできません (エースハイになってしまうため)。

手	頻度	確率	累積	不利な状況	絶対頻度の数学的表現
ロイヤルフラッシュ	4,324	0.0032%	0.0032%	30,939 : 1	${4 \choose 1}{47 \choose 2}$
ストレートフラッシュ（ロイヤルフラッシュを除く）	37,260	0.0279%	0.0311%	3,589.6 : 1	${9 \choose 1}{4 \choose 1}{46 \choose 2}$
フォー・オブ・ア・カインド	224,848	0.168%	0.199%	594 : 1	${13 \choose 1}{48 \choose 3}$
フルハウス	3,473,184	2.60%	2.80%	37.5 : 1	${\begin{aligned}&\left[{13 \choose 2}{4 \choose 3}^{2}{44 \choose 1}\right]\\+&\left[{13 \choose 1}{12 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 2}^{2}\right]\\+&\left[{13 \choose 1}{12 \choose 1}{11 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 2}{4 \choose 1}^{2}\right]\end{aligned}}$
フラッシュ（ロイヤルフラッシュとストレートフラッシュを除く）	4,047,644	3.03%	5.82%	32.1 : 1	${\begin{aligned}&\left[{4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 7}-217\right]\right]\\+&\left[{4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 6}-71\right]\times 39\right]\\+&\left[{4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 5}-10\right]\times {39 \choose 2}\right]\end{aligned}}$
ストレート（ロイヤルフラッシュ、ストレートフラッシュ、オーバーラップフラッシュを除く）	6,180,020	4.62%	10.4%	20.6 : 1	${\begin{aligned}&\left[217\times \left[4^{7}-756-4-84\right]\right]\\+&{}\left[71\times 36\times 990\right]\\+&\left[10\times 5\times 4\times \left[256-3\right]+10\times {5 \choose 2}\times 2268\right]\end{aligned}}$
スリーオブアカインド	6,461,620	4.83%	15.3%	19.7 : 1	$\left[{13 \choose 5}-10\right]{5 \choose 1}{4 \choose 1}\left[{4 \choose 1}^{4}-3\right]$
2組	31,433,400	23.5%	38.8%	3.26 : 1	${\begin{aligned}&\left[1277\times 10\times \left[6\times 62+24\times 63+6\times 64\right]\right]\\+&\left[{13 \choose 3}{4 \choose 2}^{3}{40 \choose 1}\right]\end{aligned}}$
1組	58,627,800	43.8%	82.6%	1.28 : 1	$\left[{13 \choose 6}-71\right]\times 6\times 6\times 990$
ペアなし/ ハイカード	23,294,460	17.4%	100%	4.74 : 1	$1499\times \left[4^{7}-756-4-84\right]$
合計	1億3378万4560	100%	---	0 : 1	${52 \choose 7}$

(示されている頻度は正確ですが、確率とオッズは概算です。)

ポーカーではスーツに相対的な価値がないため、スーツを入れ替えることで片方のハンドがもう片方のハンドに変換できる場合、2つのハンドは同一とみなされます。スーツの相対的な価値を無視して同一のハンドを除外すると、7枚のカードからなるハンドは6,009,159通りあります。

7枚のカードから成り立つ5枚のポーカーハンドの数は4,824通りです。意外かもしれませんが、これは5枚のカードから成り立つ5枚のポーカーハンドの数よりも少ないです。なぜなら、7枚のカードでは成立しない5枚のハンド（例えば、7ハイや8ハイ）もあるからです。

5枚のローボールポーカーハンド

ローボールと呼ばれるポーカーのバリエーションでは、ローハンドで勝ち手を決定します。ほとんどのローボールでは、エースが最下位カードとしてカウントされ、ストレートとフラッシュはローハンドではカウントされません。したがって、最下位のハンドはA-2-3-4-5の5ハイハンド（ホイールとも呼ばれます）です。確率は、5枚のカードの組み合わせの総数に基づいて計算されます。（示されている頻度は正確ですが、確率とオッズは概算です。） ${\textstyle {52 \choose 5}=2{,}598{,}960}$

手	はっきりとした手	頻度	確率	累積	不利な状況
5ハイ	1	1,024	0.0394%	0.0394%	2,537.05 : 1
6ハイ	5	5,120	0.197%	0.236%	506.61 : 1
7ハイ	15	15,360	0.591%	0.827%	168.20 : 1
8ハイ	35	35,840	1.38%	2.21%	71.52 : 1
9ハイ	70	71,680	2.76%	4.96%	35.26 : 1
10ハイ	126	129,024	4.96%	9.93%	19.14 : 1
ジャックハイ	210	215,040	8.27%	18.2%	11.09 : 1
クイーンハイ	330	337,920	13.0%	31.2%	6.69 : 1
キングハイ	495	506,880	19.5%	50.7%	4.13 : 1
合計	1,287	1,317,888	50.7%	50.7%	0.97 : 1

表からわかるように、プレイヤーがペア、スリーカード、フォーカードのないハンドを手に入れる確率は半分強です。(50.7%)

エースが低くない場合は、ハンドの説明を回転させて、ベストハンドとして 5 ハイを 6 ハイに、ワーストハンドとしてキングハイをエースハイに置き換えます。

ローボールでローハンドを計算する際に、ストレートやフラッシュを無視しないプレイヤーもいます。この場合、最低ハンドはA-2-3-4-6で、少なくとも2つのスーツを持ちます。上記の表では、確率は調整されており、「5ハイ」は記載されていない、「6ハイ」は1種類のハンド、「キングハイ」は330種類のハンドがあります。また、合計ラインも調整が必要です。

7枚のローボールポーカーハンド

ポーカーのいくつかのバリエーションでは、プレイヤーは7枚のカードから最も強い5枚のローハンドを選びます。ほとんどのローボールでは、エースが最下位カードとしてカウントされ、ストレートとフラッシュはローハンドにはカウントされません。そのため、最下位のハンドはA-2-3-4-5の5枚のハイハンド（ホイールとも呼ばれます）です。確率は、7枚のカードの組み合わせの総数に基づいて計算されます。 ${\textstyle {52 \choose 7}=133,784,560}$

この表は、少なくともワンペアを含む5枚のカードのハンドは含みません。「合計」は、プレイヤーが5枚のカードでペアのないローハンドを選択できる確率の95.4%を表します。

手	頻度	確率	累積	不利な状況
5ハイ	781,824	0.584%	0.584%	170.12 : 1
6ハイ	3,151,360	2.36%	2.94%	41.45 : 1
7ハイ	7,426,560	5.55%	8.49%	17.01 : 1
8ハイ	13,171,200	9.85%	18.3%	9.16 : 1
9ハイ	19,174,400	14.3%	32.7%	5.98 : 1
10ハイ	23,675,904	17.7%	50.4%	4.65 : 1
ジャックハイ	24,837,120	18.6%	68.9%	4.39 : 1
クイーンハイ	21,457,920	16.0%	85.0%	5.23 : 1
キングハイ	13,939,200	10.4%	95.4%	8.60 : 1
合計	1億2761万5488	95.4%	95.4%	0.05 : 1

(示されている頻度は正確ですが、確率とオッズは概算です。)

エースが低くない場合は、ハンドの説明を回転させて、ベストハンドとして 5 ハイを 6 ハイに、ワーストハンドとしてキングハイをエースハイに置き換えます。

ローボールでローハンドを計算する際に、ストレートやフラッシュを無視しないプレイヤーがいます。この場合、最低ハンドはA-2-3-4-6で、少なくとも2つのスーツを持ちます。上記の表では、確率を調整して「5ハイ」は除外し、「6ハイ」は781,824通り、「キングハイ」は21,457,920通りのハンドが存在するようにしています。また、トータルラインも調整が必要です。

参照

参考文献

^ 「確率論」。Science Clarified 。 2015年12月7日閲覧。
^ 「確率の簡潔な歴史」教師用リンク。 2015年12月7日閲覧。
^ 「最も人気のあるポーカーの遊び方」2019年8月14日。
^ 「テキサスホールデムの確率」。

外部リンク

ブライアン・アルスパックの数学とポーカーのページ 2015年4月9日アーカイブウェイバックマシン
MathWorld: ポーカー
条件付き計算を含むポーカーの確率
多数のポーカー確率表
5、6、7カードポーカーの確率
ホールデムポーカーの確率

[1] 「確率論」。Science Clarified 。 2015年12月7日閲覧。

[2] 「確率の簡潔な歴史」教師用リンク。 2015年12月7日閲覧。

[3] 「最も人気のあるポーカーの遊び方」2019年8月14日。

[4] 「テキサスホールデムの確率」。