多項式空間

数学において、多項式空間は、離散空間のアレクサンドロフ一点コンパクト化の位相冪の連続関数による像である位相空間である。

歴史

多項空間は、1970年にS.ムロフカによって二項空間の一般化として初めて研究されました。^[1]この理論はRHマーティ、ヤーノシュ・ゲルリッツ、マレー・G・ベルによってさらに発展させられ、^[2]ベルはより一般的な中心空間の概念を導入しました。^[1]

背景

位相空間Xの部分集合Kがコンパクトであるとは、 Kのすべての開被覆が有限部分被覆を含むことを言う。XがXのあるコンパクト部分集合の内部に存在するとき、X は点x ∈ Xにおいて局所コンパクトであるという。Xが局所コンパクト空間であるとは、空間内のすべての点において局所コンパクトであることを意味する。^[3]

真部分集合A ⊂ Xは、閉包Ā = Xが成り立つとき稠密であると言われる。その集合が可算な稠密部分集合を持つ空間は可分空間と呼ばれる。

非コンパクトかつ局所コンパクトであるハウスドルフ位相空間 に対して、アレクサンドロフの一点コンパクト化を と表記される集合 を持つ位相空間として定義する。ここで は位相が以下のように定義される: ^{[2] [4]} ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ ${\displaystyle \left\{\omega \right\}\cup X}$ ${\displaystyle \omega X}$ ${\displaystyle \omega \notin X}$ ${\displaystyle \tau _{\omega X}}$

• ${\displaystyle \tau _{X}\subseteq \tau _{\omega X}}$
• ${\displaystyle X\setminus C\cup \left\{\omega \right\}\in \tau _{\omega X}}$あらゆるコンパクト部分集合 に対して。 ${\displaystyle C\subseteq X}$

意味

を離散位相空間とし、を のアレクサンドロフ一点コンパクト化とする。ハウスドルフ空間が多項式であるとは、ある基数に対して連続な射影関数 が存在するときである。ここで は、自身を回乗じて得られる積空間である。^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f:\omega X^{\lambda }\rightarrow P}$ ${\displaystyle \omega X^{\lambda }}$ ${\displaystyle \omega X}$ ${\displaystyle \lambda }$

例

離散位相を持つ自然数の集合をとる。そのアレクサンドロフ一点コンパクト化は である。写像 を持つ同相写像を選び定義する。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \omega \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle h:\omega \mathbb {Z} ^{+}\rightarrow \left[0,1\right]}$

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} +\\0,&{\text{if }}x=\omega \end{cases}}}$

定義からは、ハイネ・ボレル法を使わずに、コンパクト性の定義から直接、像空間が多項式かつコンパクトであることがわかります。 ${\displaystyle h[\omega \mathbb {Z} ]=\left\{0\right\}\cup \left\{1/n\,:\,n\in \mathbb {N} \right\}}$

あらゆる二項空間（カントール集合^[6]の連続像であるコンパクト空間）は多項空間である。^[7]

X を可分コンパクト空間とする。X が計量化可能空間ならば、それは多項式空間である（逆もまた真である）。^[2]

プロパティ

空間の細胞性は ${\displaystyle c(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle c(X)=\sup \left\{\vert B\vert :B{\text{ is a disjoint collection of open sets of }}X\right\}}$$

空間のタイトネスは次のように定義されます。 、、 とします。 定義すると^[8] ${\displaystyle t(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle p\in {\bar {A}}}$ $${\displaystyle a(p,A):=\min \left\{\vert B\vert :p\in \mathrm {cl} _{X}(B),B\subseteq A\right\}}$$ $${\displaystyle t(p,X):=\sup \left\{a(p,A):A\subseteq X,p\in \mathrm {cl} _{X}(A)\right\}}$$ ${\displaystyle t(X):=\sup \left\{t(p,X):p\in X\right\}.}$

多項式空間の位相重みは 等式を満たす。^[9] ${\displaystyle w(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w(X)=c(X)\cdot t(X)}$

を多項式空間とし、とする。すると、かつ となる多項式空間が存在する。^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle P\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq P}$ ${\displaystyle c(P)\leq c(A)}$

多項式空間は、計量コンパクト空間を含み、積と連続像に関して閉じている位相空間の最小のクラスである。^[10]重みの多項式空間はすべて の連続像である。^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \leq 2^{\omega }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$

位相空間がスースリン性を持つとは、 の互いに素で空でない開部分集合の無限族が存在しないことを意味する。^[11]がスースリン性を持ち、多項式であるとする。すると は二項式となる。^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

をカバーするために必要な離散集合の最小数を とし、における空でない開集合の最小の濃度を とする。 が多項式空間である場合、 となる。^[9] ${\displaystyle \mathrm {dis} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {dis} (X)\geq \Delta (X)}$

ラムゼーの定理

多項式空間の組合せ論におけるラムゼーの定理の類似物が存在する。これについて、ブール空間と多項式空間の関係を説明する。のすべての閉開部分集合の閉開代数を で表すとする。を基底とするコンパクトハウスドルフ空間としてブール空間を定義する。となる元を の生成集合という。 が最大で個の部分集合の和集合である場合、 は - 非連続集合であるといえる。ここで、 のそれぞれについて、は最大で 個の濃度の非連続集合である。がブール空間であり、 の生成集合が- 非連続である場合と が の閉部分空間に同相である場合に限り、 が の閉部分空間に同相であることがペトル・サイモンによって証明された。^[8]ブール空間についてマレー・ベルによって述べられた多項式空間のラムゼーのような性質は、次のようになる。すべての無数の閉開集合には、連結または非連結のいずれかである無数の部分集合が含まれる。^[13] ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle G\in CO(X)'}$ ${\displaystyle \langle \langle G\rangle \rangle =CO(X)}$ ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle G_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle G_{\alpha }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \kappa ^{\tau }}$

コンパクトさ

空間 のコンパクト数 (と表記) は、がn 元閉部分基底を持つ最小の数であると定義します。任意のコンパクト数を持つ多項式空間を構築できます。これを、1985 年に Murray Bell が証明した 2 つの定理を使用して示します。を集合のコレクションとし、を集合とします。集合を、サイズのすべての部分集合を 、サイズが最大で のすべての部分集合と表記します。かつすべての に対してである場合、 は n 連結であるという。のすべてのn 連結部分集合に空でない共通部分がある場合、は n 元であるという。がn元である場合、 もn 元で^あるため、 を持つすべての空間には を持つ閉 n 元部分基底があることに注意 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {cmpn} (X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left\{\bigcap {\mathcal {F}}:{\mathcal {F}}{\text{ is a finite subset of }}{\mathcal {S}}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [S]^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle 2\leq n<\omega }$ ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in [{\mathcal {S}}]^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {cmpn} (X)\leq n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle K\subset \bigcup {\mathcal {F}}\subset U}$

を無限集合とし、 となる数によってとなる。上の積位相を以下のように定義する： に対して、 とし、 とする。を集合とする。上の位相の閉開基底としてをとる。この位相はコンパクトかつハウスドルフである。および であって となるものに対して、 はの離散部分空間であり、したがって は離散部分空間の和である。^[14] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq n<\omega }$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s^{-}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\in F\}}$ ${\displaystyle s^{+}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\notin F\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigcup _{s\in S}\{s^{+},s^{-}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle [S]^{k}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle n+1}$

定理( の上限): の各全順序に対して、の- 元閉部分基底が存在する。 ${\displaystyle \mathrm {cmpn} \left([S]^{\leq n}\right)}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq 2n}}$

証明: に対して、とを定義します。 を設定します。、および となるに対して、が の -連結部分集合となるようにします。 であることを示します。 ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle L_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t<s\}|\leq n-1\}}$ ${\displaystyle R_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t>s\}|\leq n-1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\bigcup _{s\in S}\{L_{s},R_{s},s^{+}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{s}:s\in A\}\cup \{R_{s}:s\in B\}\cup \{s^{-}:s\in C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A\cup B\in \bigcap {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

位相空間と部分空間において、が 上の恒等写像であるとき、連続関数はのリトラクトであるといいます。 はのリトラクトであるといいます。 かつ がのリトラクトであるような開集合が存在するとき、は の近傍リトラクトであるといいます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle r:X\rightarrow A}$ ${\displaystyle r|_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\subset U\subset X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

定理（ の下限） がとなるようなものとしましょう。すると は となる任意の空間において近傍後退として埋め込むことができません。 ${\displaystyle \mathrm {cmpn} \left([S]^{\leq n}\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\leq n<\omega }$ ${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {cmpn} (K)\leq n}$

上記の 2 つの定理から、となるようなに対して、 となることが推測できます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq n<\omega }$ ${\displaystyle \mathrm {cmpn} \left([\omega _{1}]^{\leq 2n-1}\right)=n+1=\mathrm {cmpn} \left([\omega _{1}]^{\leq 2n}\right)}$

離散空間 のアレクサンドロフ一点コンパクト化を とすると、 となる。連続射影を で定義する。したがって、は多項式空間である。したがって、はコンパクト数 を持つ多項式空間である。^[14] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A=S\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle g:A^{n}\rightarrow [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle g((x_{1},...,x_{n}))=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\cap S}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$ ${\displaystyle \mathrm {cmpn} \left([\omega _{1}]^{\leq 2n-1}\right)=n+1}$

一般化

中心空間、ADコンパクト空間^[15]、ξ進空間^[16]は多項式空間の一般化である。

中心空間

を集合の集合とする。すべての有限部分集合 に対して が中心化されるとは、このことを言う。[ 17 ]^からの部分空間位相を持つブール空間 を定義する。が の連続像となるような集合が存在するとき、その空間は中心化されるという。^[18] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})=\{\chi _{T}:T{\text{ is a centred subcollection of }}{\mathcal {S}}\}}$ ${\displaystyle 2^{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})}$

中心空間は 2004 年に Murray Bell によって導入されました。

ADコンパクトスペース

を空でない集合とし、その部分集合の族 を考える。 が適切な族であるとは、次の条件を満たすときである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\land B\subseteq {\mathcal {A}}\Rightarrow B\in {\mathcal {A}}}$
• が与えられたとき、 のすべての有限部分集合が に含まれる場合、 となります。 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

をカントール立方体のサブセットとみなして位相空間として扱うことができ、この場合は と表記します。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D^{X}}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$

をコンパクト空間とする。集合と十分な族 が存在し、が の連続像となるとき、 はADコンパクト空間であるという。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle K}$

ADコンパクト空間はグジェゴシュ・プレバネクによって導入された。彼は、ADコンパクト空間が任意の積と非素和のアレクサンドロフ・コンパクト化に関して閉じていることを証明した。したがって、すべてのポリアディック空間はADコンパクト空間となる。ただし、逆は成り立たず、ポリアディックではないADコンパクト空間も存在する。^[15]

ξ進空間

とを基数とし、をハウスドルフ空間とする。からへの連続射影が存在するとき、はξ進空間であるという。^[16] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\kappa +1)^{\tau }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

ξ進空間はS.Mrówkaによって提案され、それに関する以下の結果はJános Gerlitsによって与えられました（それらはξ進空間の特別な場合であるため、多進空間にも適用されます）。^[19]

を無限基数とし、を位相空間とする。の空でない開部分集合の任意の族（ただし ）に対して、となる集合と点が見つかり、の各近傍に対して となるとき、 がという性質を持つという。 ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$ ${\displaystyle \{G_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |A|={\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle B\subset A}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle |B|={\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |\{\beta \in B:N\cap G_{\beta }=\emptyset \}|<{\mathfrak {n}}}$

がξ進空間であるとき、任意の無限基数に対して の性質を持つ。この結果から、無限ξ進ハウスドルフ空間は極限不連続空間にはなり得ないことがわかる。^[19] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

ヒアディック空間

ヒアディック空間はエリック・ファン・ダウエンによって導入された。^[20]ヒアディック空間は以下のように定義される。

をハウスドルフ空間とする。の超空間を で表す。の部分空間を で定義する。の基底は、の形式を持つ集合全体の族であり、は任意の整数であり、において開である。がコンパクトで、 からへの連続的な全射が存在するとき、ハウスドルフ空間はヒアディック空間であるという。^[21] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J_{2}(X)}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle \{F\in H(X):|F|\leq 2\}}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle \langle U_{0},\dots ,U_{n}\rangle =\{F\in H(X):F\subseteq U_{0}\cup \dots \cup U_{n},F\cap U_{i}\neq \emptyset {\text{ for }}0\leq i\leq n\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle Y}$

多項式空間はヒアディック空間である。^[22]

参照

• 二項空間
• エーベルライン・コンパクトム
• 石の空間
• ストーンチェフのコンパクト化
• 超コンパクトスペース

参考文献

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